裂隙砂巖破壞過程中的能量耗散與破碎分形特征研究

劉享華，張 科,，吳文遠(yuǎn)

(昆明理工大學(xué) a.建筑工程學(xué)院；b.電力工程學(xué)院，昆明 650500)

物質(zhì)破壞是能量轉(zhuǎn)化作用下的一種狀態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象[1]。巖體受載變形并破壞實(shí)質(zhì)上是不可逆的熱力學(xué)過程，能量的耗散和釋放至關(guān)重要[2]。因此，從能量轉(zhuǎn)化作用角度研究巖體破裂機(jī)制得到眾多學(xué)者的青睞[3-7]。

上述研究主要針對(duì)完整巖石，但是工程巖體中常孕育著不同尺度、特性的地質(zhì)結(jié)構(gòu)面，不僅控制著巖體的變形破裂行為，而且對(duì)能量耗散和釋放規(guī)律也有一定的影響。因此，筆者在不同裂隙傾角砂巖試件單軸壓縮試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，分析了裂隙砂巖變形破裂過程中的能量演化特征，引入分形理論定量表征了破壞后碎屑尺度分布的分形特征，初步探究了裂隙砂巖耗散應(yīng)變能、抗壓強(qiáng)度以及分形維數(shù)之間的相關(guān)性，從能量的角度揭示巖石破壞過程中應(yīng)力釋放和耗散的規(guī)律，對(duì)闡明巖石的破壞機(jī)理提供參考。

1 試件制備及試驗(yàn)方案

1.1 試件制備

圖1 試件尺寸圖局部Fig.1 Geometry of specimen

本次試驗(yàn)選取紅砂巖作為研究對(duì)象，巖樣取自云南省楚雄彝族自治州，表面光滑平整，呈致密塊狀構(gòu)造。為了避免巖石各向異性的影響，選用同一塊紅砂巖板進(jìn)行切割，并打磨成尺寸為120 mm×60 mm×25 mm(長(zhǎng)×寬×厚)的長(zhǎng)方體，如圖1所示。采用高速水刀切割技術(shù)加工長(zhǎng)度為2l=26 mm的預(yù)制裂隙，裂隙中點(diǎn)與試件中心點(diǎn)重合，裂隙分布如圖1所示。裂隙傾角β分別設(shè)置為15°、30°、45°、60°和75°共5種情況，每種裂隙傾角制備2個(gè)試樣。在預(yù)制裂隙中插入云母片，用于模擬閉合型裂隙。制備好的裂隙砂巖試件如圖2所示。

1.2 試驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)方案

單軸壓縮試驗(yàn)加載設(shè)備采用WAW1000型電液伺服萬能材料試驗(yàn)機(jī)，具有剛度大、穩(wěn)定性好以及測(cè)量精度高等特點(diǎn)。試驗(yàn)開始前，將砂巖試件放置于試驗(yàn)機(jī)上，在試件上下端面加設(shè)剛性墊片，以減小加載過程中的摩擦效應(yīng)。本次試驗(yàn)采用位移加載控制，加載速率設(shè)置為0.3 mm/min。試驗(yàn)機(jī)配套軟件自動(dòng)記錄試驗(yàn)過程中的軸向載荷和位移數(shù)據(jù)。采用高清攝像機(jī)記錄裂紋萌生、擴(kuò)展和貫通的全過程，攝像機(jī)放置于距離試件正面1 m處。試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)5種裂隙傾角試件的破壞模式基本一致，都表現(xiàn)為沿裂隙面發(fā)生剪切破壞。

圖2 待試驗(yàn)的試件Fig.2 Specimens to be tested

2 能量耗散特征

能量耗散和釋放在巖石的變形破壞中起著重要的作用。從能量轉(zhuǎn)化的意義上講，巖石的破壞，包括裂隙的萌生、擴(kuò)展和貫通，本質(zhì)上是一個(gè)熱力學(xué)過程，伴隨著能量的耗散和釋放。能量耗散導(dǎo)致巖石內(nèi)部發(fā)生劣化，能量釋放導(dǎo)致巖石結(jié)構(gòu)突變，而當(dāng)應(yīng)變能急劇釋放，巖石將發(fā)生破壞，在某些特定條件下，這是造成重大地質(zhì)災(zāi)害的因素之一。因此，有必要對(duì)變形和破壞過程中巖石的能量耗散和釋放規(guī)律進(jìn)行研究。

2.1 應(yīng)變能計(jì)算方法

假定單軸壓縮試驗(yàn)環(huán)境與外界不存在熱交換效應(yīng)，忽略巖塊彈射而轉(zhuǎn)化的動(dòng)能，則外力所做功(試驗(yàn)機(jī)對(duì)試件做的功)的總輸入能量U即為總應(yīng)變能，根據(jù)熱力學(xué)第一定律可以得到單軸壓縮過程中應(yīng)變能的計(jì)算公式[1]

U=Ue+Ud。

(1)

式中：Ue為彈性應(yīng)變能；Ud為耗散應(yīng)變能。巖石吸收的總應(yīng)變能U轉(zhuǎn)化為可釋放的彈性應(yīng)變能Ue被儲(chǔ)存在試件內(nèi)以及用于損傷擴(kuò)展消耗掉的耗散應(yīng)變能Ud。圖3為單軸壓縮加載中試件的彈性應(yīng)變能Ue與耗散應(yīng)變能Ud之間的關(guān)系。

圖3 試件單軸壓縮加載中耗散應(yīng)變能Ud與可釋放應(yīng)變能Ue的關(guān)系[1]Fig.3 Relationship between dissipation strain energy and releasable strain energy during uniaxial compression test

由于整個(gè)試驗(yàn)過程中只有軸向應(yīng)力對(duì)試件做功，故根據(jù)熱力學(xué)理論，U、Ue和Ud可分別通過以下公式求得：[1]

(2)

(3)

Ud=U-Ue。

(4)

式中：σ為軸向應(yīng)力；ε為應(yīng)變；Eu為卸載彈性模量。

本次研究沒有進(jìn)行卸載試驗(yàn)，故未得到卸載彈性模量Eu。為了方便計(jì)算，采用初始彈性模量E0替代卸載彈性模量Eu。梁昌玉等[13]和李樹剛等[14]通過對(duì)砂巖進(jìn)行加卸載試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，初始彈性模量E0與卸載彈性模量Eu非常相近，并論證了采用E0代替Eu的合理性。因此，式(3)可進(jìn)一步改寫為

(5)

2.2 裂隙砂巖變形破裂過程中的能量演化特征

圖4 破壞模式、應(yīng)力應(yīng)變曲線以及應(yīng)變能演化曲線Fig.4 Dependences of failure mode,stress,and strain energies on strain

峰后破壞階段(階段Ⅳ)：應(yīng)力達(dá)到峰值后，裂紋的快速擴(kuò)展和貫通導(dǎo)致試件失去承載力并發(fā)生破壞。在應(yīng)力下跌過程中(C點(diǎn)到D點(diǎn))，彈性應(yīng)變能曲線逐漸下降，而耗散應(yīng)變能曲線快速上升。峰值點(diǎn)以前，外力對(duì)試件做的功被試件的自身變形轉(zhuǎn)化為彈性應(yīng)變能，少部分能量被試件損傷擴(kuò)展消耗掉。隨著砂巖試件損傷逐步累積，試件慢慢發(fā)生劣化，耗散應(yīng)變能也不斷增大，達(dá)到一定程度后導(dǎo)致試件強(qiáng)度喪失。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到峰值強(qiáng)度后，大量彈性應(yīng)變能急劇釋放，其中一些能量轉(zhuǎn)化為其他形式的能量耗散掉，其形式包括裂紋擴(kuò)展所需的表面能、微裂隙間相互摩擦的摩擦熱能和振動(dòng)彈射碎片的機(jī)械能等。彈性應(yīng)變能釋放量越多，釋放速率越快，試件張性破壞特性越明顯，裂隙砂巖試件被破碎成更小的碎片，導(dǎo)致更嚴(yán)重的破壞。

2.3 能量耗散與抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系

峰值應(yīng)力點(diǎn)是裂隙砂巖試件強(qiáng)度喪失至整體失穩(wěn)破壞的臨界點(diǎn)。裂隙砂巖在達(dá)到峰值強(qiáng)度之前，總應(yīng)變能U和彈性應(yīng)變能Ue逐漸增加；而耗散應(yīng)變能Ud隨著應(yīng)力的增大經(jīng)歷了由緩慢增長(zhǎng)到突然增長(zhǎng)的變化過程。在一定荷載水平下，由于其微裂紋擴(kuò)展、貫通以及破裂面摩擦錯(cuò)動(dòng)，使巖石的黏聚力減小，耗散應(yīng)變能增加。達(dá)到峰值強(qiáng)度后，彈性應(yīng)變能急劇釋放使裂紋的不穩(wěn)定擴(kuò)展和貫通加劇，導(dǎo)致試件破裂面擴(kuò)大直至巖石失穩(wěn)破壞。

裂隙傾角與峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能之間的關(guān)系如圖5所示。圖6為試件裂隙傾角與抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系。需要指出的是，當(dāng)裂隙傾角β=75°時(shí)，只有1個(gè)試件的試驗(yàn)結(jié)果有效，這是因?yàn)樵摻M其余試件表面均存在明顯缺陷。隨著裂隙傾角增大，試件峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能和抗壓強(qiáng)度均呈現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律。當(dāng)裂隙傾角β=30°時(shí)，試件抗壓強(qiáng)度和耗散應(yīng)變能均為最小值。結(jié)合圖5和6可知，試件峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能和抗壓強(qiáng)度之間可能存在正相關(guān)關(guān)系。為此，采用最小二乘法對(duì)峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能和抗壓強(qiáng)度進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖7所示，峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能和抗壓強(qiáng)度間近似呈線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)R2為0.87，擬合公式見式(6)。左建平等[16]研究發(fā)現(xiàn)煤巖峰前積蓄的能量與單軸抗壓強(qiáng)度大致呈正比關(guān)系。

Ud=2.77×10-3σc-6.41×10-2，R2=0.87。

(6)

耗散應(yīng)變能的演化使裂隙砂巖的強(qiáng)度發(fā)生劣化，最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。試件抗壓強(qiáng)度越高，破壞前積聚的可釋放彈性應(yīng)變能越多，破壞時(shí)轉(zhuǎn)化成的耗散應(yīng)變能越多，損傷程度越高。換句話說，能量耗散與裂隙砂巖的損傷以及強(qiáng)度劣化直接相關(guān)。

圖5 裂隙傾角與耗散應(yīng)變能之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between flaw inclination and dissipation strain energy

圖6 裂隙傾角與抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between flaw inclination and compressive strength

圖7 抗壓強(qiáng)度與耗散應(yīng)變能之間的關(guān)系Fig.7 Relationship between compressive strength and dissipation strain energy

3 破碎分形特征

分形幾何可以定量描述自然界中復(fù)雜無序而具有某種內(nèi)在規(guī)律的對(duì)象，為人們從局部認(rèn)識(shí)整體，從無限認(rèn)識(shí)有限提供了有力的工具，因此廣泛應(yīng)用于巖石破碎學(xué)等研究領(lǐng)域[17-19]。巖石破碎是其內(nèi)部裂紋不斷起裂、擴(kuò)展和最終貫通的結(jié)果，這個(gè)從細(xì)觀發(fā)展到宏觀破碎的過程具有分形特性。而巖石的宏觀斷裂是由小破裂發(fā)展聚集導(dǎo)致的，小破裂又是由微裂紋的萌生擴(kuò)展而成，這種自相似行為必然導(dǎo)致破碎后碎屑尺度也具有自相似特征。另一方面，巖石破壞后的碎屑包含許多有用的信息，不僅能直接反映巖體的破壞特性，還可以間接反映巖石的加載路徑、加載應(yīng)力狀態(tài)和能量演化等[20]。因此，采用分形維數(shù)表征試件破壞后碎屑尺度分布的分形特征，對(duì)研究裂隙砂巖的破壞機(jī)制具有一定的理論意義。

3.1 分形維數(shù)計(jì)算方法

m(r)/m=(r/a)k。

(7)

式中：m為碎屑總質(zhì)量；r為等效粒徑，即篩徑；m(r)為篩徑小于r的碎屑質(zhì)量；a為碎屑平均尺寸。

將式(7)兩邊取對(duì)數(shù)，繪制lg[m(r)/m]-lgr雙對(duì)數(shù)曲線，采用最小二乘法線性擬合，k為擬合曲線的斜率。則碎屑尺度分布的分形維數(shù)D定義為[19]：

D=3-k。

(8)

上述方法計(jì)算得出的分形維數(shù)D的范圍介于0 ～ 3。當(dāng)0

3.2 分形維數(shù)計(jì)算結(jié)果

圖8為典型裂隙砂巖試件(β=45°)單軸壓縮試驗(yàn)后的碎屑，破壞后的碎屑主要呈不規(guī)則的碎塊狀、碎片狀、顆粒狀等。根據(jù)上述計(jì)算分形維數(shù)的方法，對(duì)不同裂隙傾角砂巖試件的碎屑采用篩分法進(jìn)行篩分，篩徑選用10，5，2，1，0.5，0.25,0.075 mm共7種，采用精密電子秤稱量每種等級(jí)篩分出的碎屑質(zhì)量。將碎屑按粒徑大小劃分為4個(gè)粒級(jí)：微粒碎屑(d<0.075 mm)、細(xì)粒碎屑(0.075 mm≤d<5 mm)、中粒碎屑(5 mm≤d<10 mm)和粗粒碎屑(d≥10 mm)。計(jì)算不同裂隙傾角試件各粒級(jí)的質(zhì)量占比，微粒碎屑、細(xì)粒碎屑、中粒碎屑和粗粒碎屑的質(zhì)量百分比分別為0.0084%～0.037%、0.063%～0.88%、0.09%～0.52%和97.88%～99.52%。裂隙砂巖破壞產(chǎn)生的碎屑中，粗粒碎屑的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他粒級(jí)碎屑質(zhì)量的總和，細(xì)粒碎屑的質(zhì)量占比大于中粒碎屑，微粒碎屑的質(zhì)量占比最小。

圖8 單軸壓縮試驗(yàn)后的碎屑分類(根據(jù)粒徑，單位：mm)Fig.8 Classification of fragments after uniaxial compression test

根據(jù)式(7)和(8)計(jì)算不同裂隙傾角下砂巖試件的分形維數(shù)。圖9為典型裂隙砂巖試件(β=45°)破壞后碎屑尺度分布的lg[m(r)/m]-lgr關(guān)系。計(jì)算結(jié)果表明所有試件的相關(guān)系數(shù)R2均大于0.85，因此lg[m(r)/m]和lgr之間具有高度相關(guān)性[21]。再結(jié)合式(7)和(8)中分形維數(shù)的定義可知，試件破壞后的碎屑尺度分布展現(xiàn)出明顯的分形行為。圖10為不同裂隙傾角試件的分形維數(shù)，位于2.58 ～ 2.64。高峰等[22]計(jì)算了完整巖石在單軸壓縮試驗(yàn)后的分形維數(shù)，在1.7 ～ 2.0范圍內(nèi)。這說明裂隙巖石單軸壓縮后的破碎程度高于完整巖石，破壞過程中產(chǎn)生的細(xì)粒碎屑和微粒碎屑含量增加，所以分形維數(shù)更大。

圖9 碎屑lg r-lg[m(r)/m]關(guān)系Fig.9 Relationship between lg r and lg[m(r)/m]

圖10 裂隙傾角與分形維數(shù)之間的關(guān)系Fig.10 Relationship between flaw inclination and fractal dimension

從圖10中還發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與裂隙傾角密切相關(guān)，隨著裂隙傾角增大，分形維數(shù)表現(xiàn)出先減小后增大的變化規(guī)律；當(dāng)裂隙傾角β=30°時(shí)，分形維數(shù)最小，這與抗壓強(qiáng)度的變化規(guī)律相似。

3.3 抗壓強(qiáng)度與分形維數(shù)之間的關(guān)系

結(jié)合圖6和圖10分析可得，試件抗壓強(qiáng)度越大，破壞時(shí)斷裂次數(shù)越多，破碎程度越嚴(yán)重，細(xì)粒碎屑和微粒碎屑的質(zhì)量占比越大，導(dǎo)致分形維數(shù)越高。進(jìn)一步研究抗壓強(qiáng)度和分形維數(shù)之間的關(guān)系，最小二乘法線性擬合結(jié)果如圖11所示，表明試件抗壓強(qiáng)度與分形維數(shù)呈線性關(guān)系，擬合相關(guān)系數(shù)R2為0.87，擬合公式見式(9)。陳新等[23]在含裂隙的類巖石試件單軸壓縮試驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了類似的規(guī)律。

D=2.43×10-3σc+2.46，R2=0.87。

(9)

由此可見，裂隙砂巖破壞后碎屑的分形維數(shù)可以用來描述裂隙砂巖破碎程度。

圖11 抗壓強(qiáng)度與分形維數(shù)的關(guān)系Fig.11 Relationship between compressive strength and fractal dimension

4 能量耗散與破碎分形特征之間的力學(xué)機(jī)制及關(guān)系

上述研究表明，巖石試件抗壓強(qiáng)度和耗散應(yīng)變能呈線性相關(guān)，可用以下公式表征：

σc∝Ud。

(10)

巖石試件抗壓強(qiáng)度越大，破壞時(shí)的碎屑尺度越小，即微粒、細(xì)粒碎屑含量增加，此時(shí)lg[m(r)/m]-lgr雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的斜率值k也就越小，分形維數(shù)增大。抗壓強(qiáng)度與分形維數(shù)之間的力學(xué)機(jī)制可用以下公式表征：

(11)

結(jié)合式(10)和(11)不難得出，耗散應(yīng)變能與分形維數(shù)之間也存在正相關(guān)關(guān)系，即峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能越大，分形維數(shù)則越大。兩者之間的力學(xué)機(jī)制可采用以下公式表征：

Ud∝D。

(12)

對(duì)耗散應(yīng)變能與分形維數(shù)進(jìn)行最小二乘法線性擬合分析，擬合結(jié)果如圖12所示，擬合公式如式(13)，進(jìn)一步證明了兩者之間存在正相關(guān)關(guān)系：

D=2.52+0.81Ud，R2=0.86。

(13)

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，裂隙砂巖單軸壓縮破壞后碎屑尺度隨耗散應(yīng)變能增大而減小，這是由于耗散應(yīng)變能足夠大時(shí)，新生裂紋快速萌生、擴(kuò)展，最終破碎分離，伴隨著更小尺度碎屑產(chǎn)生。因此，裂隙砂巖的破碎塊度越小，破壞時(shí)需要消耗的能量越多。

圖12 耗散應(yīng)變能與分形維數(shù)的關(guān)系Fig.12 Relationship between dissipation strain energy and fractal dimension

需要說明的是，巖石是一種有著復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)的地質(zhì)體[24]，不可避免地導(dǎo)致本次試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有離散性，但抗壓強(qiáng)度、耗散應(yīng)變能和分形維數(shù)三者兩兩之間仍表現(xiàn)出明顯的總體規(guī)律，如圖7、11和12所示，相應(yīng)的擬合相關(guān)系數(shù)R2均大于0.86。在今后的研究工作中，將增加試件數(shù)量，進(jìn)一步驗(yàn)證和完善本文中提出的研究結(jié)論。

5 結(jié) 論

從能量角度出發(fā)，研究了含不同裂隙傾角的砂巖試件在單軸壓縮作用下的能量耗散、力學(xué)特性以及破壞后的碎屑尺度分布特征，討論了三者之間的關(guān)系，得出了以下結(jié)論。

1)不同裂隙傾角的巖體應(yīng)變能演化過程大致相同，都經(jīng)歷了初始?jí)好茈A段、彈性變形階段、塑性變形階段以及峰后破壞階段。

2)裂隙砂巖試件的抗壓強(qiáng)度和峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能表現(xiàn)出相似的變化規(guī)律。隨著裂隙傾角增大，兩者均表現(xiàn)為先減小后增大的趨勢(shì)。當(dāng)裂隙傾角β=30°時(shí)，耗散應(yīng)變能和抗壓強(qiáng)度都最小。數(shù)據(jù)擬合結(jié)果表明，抗壓強(qiáng)度和峰值應(yīng)力點(diǎn)耗散應(yīng)變能近似呈正相關(guān)關(guān)系。

3)篩分試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)試件受壓破壞后的碎屑尺度分布具有分形特征，計(jì)算所得的分形維數(shù)介于2.58～2.64之間，大于完整巖石的分形維數(shù)。隨著裂隙傾角增大，分形維數(shù)表現(xiàn)為先減小后增大的變化規(guī)律，與抗壓強(qiáng)度的變化規(guī)律類似。試件抗壓強(qiáng)度與碎屑尺度分布分形維數(shù)近似呈正相關(guān)關(guān)系。

4)能量耗散與破碎分形特征之間關(guān)系的研究結(jié)果表明，裂隙巖體能量耗散與破碎分形特征之間具有較好的相關(guān)性。這是因?yàn)閹r體抗壓強(qiáng)度越高，表明抵抗外力破壞的能力越強(qiáng)，所需的耗散應(yīng)變能也就越大，導(dǎo)致試件破碎程度越高，相應(yīng)的分形維數(shù)隨之增大。