無限深方勢阱本征值和本征態(tài)的三種求解方法

李海鳳，陳康康

(西安工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)學(xué)院物理系，陜西 西安 710021)

一維無限深方勢阱是量子力學(xué)教材中詳細(xì)講解的知識，對廣大學(xué)生了解量子物理理論具有重要的意義[1-8].雖然它是一個基本且簡單的模型，但它的理論結(jié)果在許多實際的復(fù)雜系統(tǒng)中有著非凡的應(yīng)用，比如，低維量子受限系統(tǒng)[2].在大多數(shù)傳統(tǒng)教材中[4-7]，只局限于推導(dǎo)一維無限深方勢阱，而二維或三維情況較少涉及[8]，幾乎不講，并且勢阱的邊界范圍或是(0，a)，或是(-a，a).

教材中，一般利用常規(guī)方法，即勢阱將空間分成幾個區(qū)間，每個區(qū)間求解定態(tài)薛定諤方程，利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，即相鄰兩個區(qū)域的波函數(shù)在邊界處相等，可以求出該模型體系的能量本征值和對應(yīng)的本征態(tài).若勢阱左邊界為0，求解過程比較簡單.若勢阱關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，波函數(shù)將分奇、偶宇稱兩種情況，求解過程變得不那么簡單.

本文將超越特殊勢阱邊界值情況，利用3種不同的方法，推導(dǎo)在任意的勢阱邊界值情況下，一維、二維、三維無限深方勢阱的能量本征值和本征態(tài).

1 三種方法

1.1 常規(guī)方法

一維無限深方勢阱是一個理想的模型.在一定的約束條件下，許多系統(tǒng)都可以近似為一維無限深方勢阱問題來處理.質(zhì)量為m的粒子被左、右無窮大的勢能限定于一維有限的空間[b，c]中運動.設(shè)勢能函數(shù)為

(1)

其中x是粒子在勢阱內(nèi)運動的坐標(biāo)，如圖1所示.

圖1 一維無限深方勢阱

在阱外其他位置，勢能無窮大，粒子不可能有概率出現(xiàn)在該范圍，則ψ(x)=0.

在b

(2)

將上式移項、化簡得

(3)

(4)

這是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程，通解形式為

ψ(x)=Asin(αx+δ)

(5)

根據(jù)波函數(shù)的單值性和連續(xù)性，在勢阱邊界處，滿足ψ(b)=0，ψ(c)=0，即

ψ(b)=Asin(αb+δ)=0

(6)

ψ(c)=Asin(αc+δ)=0

(7)

則有αc+δ=nπ，αb+δ=0或αc+δ=0，αb+δ=nπ，其中n=1，2，3，…，每組兩式相減，得

(8)

或

(9)

能量本征值為

(10)

將式(8)與式(9)分別代入式(5)得到對應(yīng)的波函數(shù)：

(11)

或

(12)

式(12)經(jīng)過如下推導(dǎo)，比較容易發(fā)現(xiàn)與式(11)描述微觀粒子的同一個運動狀態(tài)：

(13)

(14)

或

(15)

勢阱外波函數(shù)為0.

1.2 駐波方法

下面我們利用一維固定均勻弦振動產(chǎn)生駐波的思想，來解釋一維無限深方勢阱模型.式(4)的形式解也可以寫成如下形式：

ψ(x)=Beiα(x-δ′)+B′e-iα(x-δ′)

(16)

這是兩個運動方向相反的平面波的疊加.

(17)

利用邊界條件ψ(b)=0，ψ(c)=0，即

(18)

(19)

求解上面兩式，可以得δ′=b和B′=-B，或者δ′=c和B′=-B.最終對應(yīng)的本征波函數(shù)為

(20)

或

(21)

與式(13)推導(dǎo)思路相似，比較容易得到式(20)與式(21)描述相同的量子態(tài)，這里可以將虛單位“i”吸收到波函數(shù)前面的歸一化因子中，這樣我們就得到與第一種方法相同的結(jié)果.

1.3 坐標(biāo)系平移方法

根據(jù)量子力學(xué)傳統(tǒng)教材[4-7]，勢阱范圍x∈(0，a)，一維無限深方勢阱模型能量本征值和對應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)為

(22)

(23)

其中n=1，2，3，….定義新的變量x′=x+b，它的范圍是從b到a+b.若c=a+b，則x′∈(b，c).經(jīng)過變量替換x=x′-b，比較容易得到

(24)

(25)

當(dāng)然，若我們將傳統(tǒng)教材中波函數(shù)的結(jié)果用另外一個勢阱邊界值表示

(26)

則經(jīng)過上述變量替換，可以得到任意邊界情況下一維無限深方勢阱波函數(shù)的等價描述：

(27)

綜上所述，3種方法得到的結(jié)果彼此之間相互等價.第1種方法，比較中規(guī)中矩，嚴(yán)格求解定態(tài)薛定諤方程.第2種方法，利用經(jīng)典駐波思想，比較直觀形象，可加深理解無限深方勢阱模型的結(jié)果.第3種方法，基于已有結(jié)果，通過坐標(biāo)變換，比較容易得到任意邊界條件下的結(jié)果.通過上述3種方法，我們比較容易看出，一維任意邊界條件無限深方勢阱的能量本征值和本征波函數(shù)均與阱寬相關(guān).

如圖2所示，左邊3幅子圖，勢阱范圍是x∈(0.2 nm，0.4 nm)，右邊3幅子圖，勢阱范圍是x∈(0.3 nm，0.7 nm)，自上而下n分別取1，2，3，縱軸是概率密度，即單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率.從左至右，阱寬增加，概率分布形狀輪廓不變，峰值降低，變得越來越平緩(或非局域).相反，從右至左，阱寬減小，概率分布形狀輪廓不變，峰值升高，變得越來越陡峭(或局域).

圖2 一維任意邊界無限深方勢阱前3個概率密度

通過無限深方勢阱模型能量本征值公式，顯而易見，隨著阱寬增加，能量本征值減少，而隨著阱寬減小，能量本征值升高.

除此之外，任意邊界無限深方勢阱模型的本征波函數(shù)與邊界值有關(guān)，正弦三角函數(shù)可以寫成坐標(biāo)變量減去勢阱左邊界值，也可以寫成坐標(biāo)變量減去勢阱右邊界值，兩種表述等價，描述微觀粒子相同的量子態(tài).由于波函數(shù)求歸一化因子時，只能得到歸一化系數(shù)的模，其具體表達(dá)式不唯一，存在相因子eiφ的不確定性，其中φ∈[0，2π]，相因子可任意取值，例如，取±1，±i等.

最終，我們得到任意邊界值條件下一維無限深方勢阱模型的能量本征值和對應(yīng)的本征波函數(shù)的通式：

(28)

(29)

或

(30)

2 二維和三維無限深方勢阱

2.1 二維無限深方勢阱

二維無限深方勢阱是典型的二維受限系統(tǒng)，我們將一維固定均勻弦振動產(chǎn)生駐波的思路拓展到二維情況，將其看成x和y兩個維度固定均勻弦振動，在空間相互疊加形成的駐波現(xiàn)象.

如果勢阱是二維的，那么勢能函數(shù)為

(31)

根據(jù)定態(tài)薛定諤方程：

(32)

設(shè)定態(tài)波函數(shù)和能量本征值為

ψ(x，y)=φ(x)φ(y)，E=Ex+Ey

(33)

利用分離變量法：

(34)

通過一維無限深方勢阱的結(jié)果，比較容易得到二維任意邊界無限深方勢阱的能量本征值：

(35)

和對應(yīng)的本征態(tài)：

(36)

其中n1，n2=1，2，3，…，x方向阱寬c1-b1，y方向阱寬c2-b2.對于二維無限深方勢阱波函數(shù)公式，我們只展示了其中一種表達(dá)式，當(dāng)然也可以用另外一個邊界值表示，或者兩個邊界值均展現(xiàn)在表達(dá)式中.

如圖3所示，勢阱范圍x∈(0.2 nm，0.4 nm)并且y∈(0.1 nm，0.5 nm)，圖3(a)n1=1，n2=2，圖3(b)n1=2，n2=1，圖3(c)n1=2，n2=2，圖3 (d)n1=3，n2=3.綜上，我們可以看出不論勢阱是長方形，還是正方形，二維受限系統(tǒng)的概率分布圖，仍然是駐波圖，只是概率分布范圍，以及波峰值(概率密度最大值)不同.

圖3 二維任意邊界無限深方勢阱概率密度

2.2 三維無限深方勢阱

如果勢阱是三維的，那么勢能函數(shù)為

(37)

可將三維無限深方勢阱模型看作一個在盒子中運動的微觀粒子，盒子內(nèi)粒子感受的勢能為0，盒子外粒子感受到的勢能為無窮大，粒子完全被束縛在盒子內(nèi)運動.

與上述計算過程類似，求解得出三維任意邊界無限深方勢阱的能量本征值為

E=Ex+Ey+Ez=

(38)

和對應(yīng)的本征態(tài)為

(39)

其中n1，n2，n3=1，2，3，….c1-b1是x方向阱寬，c2-b2是y方向阱寬，c3-b3是z方向阱寬.

研究三維無限深方勢阱，有助于研究高維受限量子系統(tǒng)，并且這類精確可解模型的結(jié)果，為發(fā)展近似方法提供了比較的基準(zhǔn).

3 結(jié)論

本文通過3種不同方法推導(dǎo)了一維任意邊界情況下無限深方勢阱模型的本征問題，求解了能量本征值和對應(yīng)的本征波函數(shù)，不同方法得到的結(jié)果，彼此之間互相等價.本文的重要結(jié)果，得到了一維任意邊界無限深方勢阱模型能量本征值和本征態(tài)的通式，這兩個重要的物理量均與勢阱寬度有關(guān)，并且本征波函數(shù)與邊界值有關(guān).基于一維情況的結(jié)果，我們拓展得到了二維和三維任意邊界無限深方勢阱模型能量本征值和本征態(tài).

這3種方法對于深刻理解無限深方阱模型具有重要意義.對于簡單量子系統(tǒng)模型的研究，為今后研究復(fù)雜量子系統(tǒng)奠定了理論基礎(chǔ).希望本文對量子理論的課堂教學(xué)及學(xué)生對量子力學(xué)抽象概念的理解和掌握具有較大幫助.