基于粘彈性人工邊界的掉層結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析

舒丞 吳永紅 杜孟翔

(昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650500)

0 引言

近年來，隨著城市化進(jìn)程不斷的加快，而我國以山地和丘陵地形為主的中西部地區(qū)平地資源非常有限，為了滿足社會發(fā)展的需要，擴(kuò)展山地建筑的趨勢已然勢不可擋。由于山地建筑結(jié)構(gòu)受力、變形特點(diǎn)、動力響應(yīng)等方面具特殊性[1]，在進(jìn)行山地建筑結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析需要充分考慮山地地形陡坎所帶來的地震動的影響，在結(jié)構(gòu)底部的地震動輸入不再準(zhǔn)確，必須計(jì)入山地土體與結(jié)構(gòu)的相互作用的影響[2]。而在對山地土體-結(jié)構(gòu)相互作用體系進(jìn)行動力分析時(shí)，半無限地基土體的模擬與地震動輸入是不可避免的兩大問題，二者都將直接影響到分析結(jié)果。

地基是一個半無限空間介質(zhì)，分析區(qū)域是無限大的。而無限區(qū)域難以在模擬中實(shí)現(xiàn)，故需要從半無限介質(zhì)中截取出有限的計(jì)算區(qū)域，將無限區(qū)域化為有限區(qū)域。在計(jì)算區(qū)域輸入地震波后，波不會向遠(yuǎn)域地基逸散，而會在邊界面處發(fā)生反射，使整個模型產(chǎn)生新的地震響應(yīng)[3]。目前有兩種方法可以較好解決波在邊界上發(fā)生反射的問題：一是設(shè)置動力人工邊界，保證地震波傳至人工邊界時(shí)被吸收而非發(fā)生反射；二是將整個地基模型設(shè)置得足夠大，使得波因土體自身的阻尼到邊界時(shí)被大部分消耗，或是使反射波在所取計(jì)算時(shí)間內(nèi)無法反射到達(dá)計(jì)算區(qū)域從而確保了計(jì)算的準(zhǔn)確性，由于隨著模型區(qū)域的變大，對計(jì)算機(jī)硬件要求也隨著變高，計(jì)算分析的時(shí)間將大大加長，甚至無法完成計(jì)算，所以第二種方法很少應(yīng)用于模型的計(jì)算分析，而是用于驗(yàn)證人工邊界準(zhǔn)確性的參考模型?，F(xiàn)階段常用的人工邊界有粘性邊界、粘彈性邊界、投射邊界、旁軸近似邊界，其中粘彈性人工邊界不僅克服了粘性邊界低頻失穩(wěn)且不能模擬遠(yuǎn)域地基的彈性恢復(fù)性能的問題[4]，而且在各種大型通用有限元軟件中已初步實(shí)現(xiàn)，在土-結(jié)相互作用數(shù)值模擬分析中得到了廣泛的應(yīng)用。

本文基于大型有限元軟件Abaqus，編寫粘彈性人工邊界的施加程序并通過算例對比驗(yàn)證了邊界與地震動輸入的準(zhǔn)確性。然后采用基于粘彈性人工邊界的有限元模型對山地地形掉層框架進(jìn)行地震響應(yīng)分析，得出山地陡坎地震響應(yīng)差的變化規(guī)律。

1 粘彈性人工邊界理論

粘彈性人工邊界的本質(zhì)是在介質(zhì)邊界截?cái)嗵幵O(shè)置連續(xù)分布的彈簧并聯(lián)阻尼器的系統(tǒng)，它既能吸收反射波的能量，又能模擬半無限介質(zhì)的彈性恢復(fù)能力，而且還克服了粘性邊界低頻失穩(wěn)的問題。彈簧剛度K與阻尼系數(shù)C由介質(zhì)的材料所決定，計(jì)算公式如下：

切向人工邊界：

(1)

法向人工邊界：

(2)

其中式(1)、式(2)中αT、αN為粘彈性邊界的切向修正系數(shù)和法向修正系數(shù)，其取值參考劉晶波等[5-6]的研究，見表1；G為介質(zhì)的剪切模量；R為地震波源至相應(yīng)人工邊界節(jié)點(diǎn)的距離；ρ為介質(zhì)的密度；CS與CP分別為介質(zhì)的剪切波波速與壓縮波波速，可由下列公式計(jì)算得出：

表1 修正系數(shù)ɑN 與ɑT的取值

(3)

(4)

(5)

通過式(1)—式(5)計(jì)算出KBN、CBN、KBT、CBT后，在對應(yīng)的邊界節(jié)點(diǎn)處施加法向彈簧-阻尼器單元與切向彈簧-阻尼器單元即可完成粘彈性邊界的施加。然而在實(shí)際的工程分析中，計(jì)算模型的邊界節(jié)點(diǎn)數(shù)量龐大，通過逐點(diǎn)添加彈簧與阻尼器單元的邊界施加方式效率十分低下，模型的前處理工作將耗費(fèi)大量時(shí)間，所以本文基于粘彈性人工邊界理論，編制了可以實(shí)現(xiàn)粘彈性人工邊界自動批量施加的Matlab程序。

2 粘彈性人工邊界的施加與地震動輸入

2.1 等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算

圖1為粘彈性邊界所在的人工邊界節(jié)點(diǎn)的示意圖，彈簧與阻尼器一端與人工邊界節(jié)點(diǎn)連接，另一端固定。盡管粘彈性邊界能夠很好的模擬無限地基的阻尼輻射作用，保證了在土體模型計(jì)算區(qū)域內(nèi)的反射波和散射波在邊界上不發(fā)生反射，但是在設(shè)置粘彈性人工邊界后，加速度形式的地震動輸入不再適用于外源波動問題，需要將地震波轉(zhuǎn)化為等效荷載，并以集中力的形式施加在邊界節(jié)點(diǎn)上來實(shí)現(xiàn)地震動輸入。何健濤等[7]通過彈性力學(xué)與波動理論，把自由場的應(yīng)力求解化解為了自由場的速度求解，得出作用在人工邊界上的等效集中力為：

圖1 粘彈性邊界示意

(6)

(7)

將式(7)代入線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得：

(8)

2.2 粘彈性邊界波動輸入及其準(zhǔn)確性驗(yàn)證

圖2給出了程序流程，基于式(1)—式(8)使用Matlab計(jì)算出各個邊界節(jié)點(diǎn)的相關(guān)參數(shù)并編寫了彈簧-阻尼器單元與等效節(jié)點(diǎn)力自動施加的程序，生成的程序符合Abaqus軟件inp計(jì)算文件的格式，程序通過寫入*Spring/Dashpots字符來輸入彈簧-阻尼器，寫入*Load與*Amplitude關(guān)鍵字來實(shí)現(xiàn)等效節(jié)點(diǎn)力的輸入，最后將相應(yīng)的inp文件導(dǎo)入Abaqus從而實(shí)現(xiàn)對模型的粘彈性人工邊界的施加與等效節(jié)點(diǎn)力的地震波輸入。

圖2 程序流程

上述程序計(jì)算可方便、有效的完成模型各個節(jié)點(diǎn)彈簧-阻尼器以及等效節(jié)點(diǎn)力的輸入，從而完成粘彈性邊界的施加與地震動輸入。下面將通過一數(shù)值算例驗(yàn)證粘彈性單元及波動輸入的準(zhǔn)確性：

算例模型如圖3所示，計(jì)算區(qū)域大小為400 m×400 m×600 m，網(wǎng)格大小△x=20 m介質(zhì)的彈性模量E=3.23 MPa，泊松比為v=0.3，剪切波波速與壓縮波波速通過式(3)—式(5)可得到CS=803.74 m/s，CP=1 392.01 m/s，介質(zhì)密度ρ=2 000 kg/m3，模型設(shè)置A、B兩個參考點(diǎn)，分別位于模型底面中心與頂面中心，從模型底部分別入射S波與P波，位移方程均為：

圖3 算例模型

(9)

采用Abaqus對其進(jìn)行動力時(shí)程分析，時(shí)間間隔△t=0.01 s，總計(jì)算時(shí)間取3 s。圖4—圖5給出了參考點(diǎn)A與參考點(diǎn)B在S波入射時(shí)的x向位移響應(yīng)與P波入射時(shí)z向位移響應(yīng)，由兩個參考點(diǎn)的位移時(shí)程曲線可以看出：由模型底部入射的S波首先在參考點(diǎn)A產(chǎn)生位移響應(yīng)，隨后經(jīng)0.746 s(600/CS=0.746)后達(dá)到參考點(diǎn)B，且此時(shí)參考點(diǎn)B入射波與反射波疊加，位移響應(yīng)為A點(diǎn)的2倍，在經(jīng)模型頂部自由表面反射后，在1.493 s(1200/CS=1.493)時(shí)再次到達(dá)模型底部A點(diǎn)產(chǎn)生位移響應(yīng)，最后S波完全穿過模型底面，向地基無限遠(yuǎn)域傳播，模型內(nèi)部的位移響應(yīng)消散。P波入射時(shí)模型的響應(yīng)規(guī)律與S波入射完全一致，符合波動理論均勻介質(zhì)的動力響應(yīng)規(guī)律[8]。由此可以說明本文編寫的粘彈性邊界與地震動等效節(jié)點(diǎn)力的輸入程序的正確性與精確性。

圖4 S波入射位移響應(yīng)

圖5 P波入射位移響應(yīng)

3 工程案例分析

3.1 計(jì)算模型

以山地地形掉層框架結(jié)構(gòu)為例，分析陡坎上、下兩端地震動差為山地地形結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)帶來的影響。如圖6所示分別設(shè)置考慮土-結(jié)相互作用的模型與剛性地基假設(shè)的模型，上部結(jié)構(gòu)均為4×5跨鋼筋混凝土掉層框架，各向跨度均為6 m，樓層布置為坎上6層坎下2層，掉層跨數(shù)為2跨，層高為3.6 m，結(jié)構(gòu)按7度 (0.15g) 設(shè)防要求來進(jìn)行設(shè)計(jì), 場地類別二類, 設(shè)計(jì)地震動分組第一組，樓面恒荷載為2.5 kN/m2(不包含自重)，活荷載為2.0 kN/m2，填充墻線荷載取8 kN/m，然后根據(jù)規(guī)范要求[8]，采用PKPM程序進(jìn)行結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析、荷載組合和構(gòu)件配筋，完成上部結(jié)構(gòu)建模后通過接口軟件導(dǎo)入Abaqus。對于不考慮陡坎上下兩端地震動差采用剛性地基的模型，直接在上部結(jié)構(gòu)的底層柱端進(jìn)行邊界條件的設(shè)置；對于考慮上下兩端地震動差而采用土-結(jié)相互作用體系的模型，進(jìn)行上部結(jié)構(gòu)和土體-樁基礎(chǔ)模型的裝配(采用一柱一樁基礎(chǔ))。構(gòu)件截面及材料參數(shù)見表2(樁基礎(chǔ)為直徑1 m長度9 m的混凝土圓樁)。

(a)剛性地基假設(shè)模型

(b)土-結(jié)相互作用體系模型

表2 上部結(jié)構(gòu)構(gòu)件參數(shù)(梁柱樁)

地基土體長寬高分別為100 m、50 m、30 m，土體采用均質(zhì)土，不考慮不同土質(zhì)條件的多層土在地震波的傳播過程中在各土層分層面的反復(fù)折射、反射給地震波帶來的影響。為了研究不同條件的陡坎土體對上、下接地端及上部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響，取3種地基土體分別進(jìn)行分析，命名為土體1、2、3，陡坎高度依據(jù)結(jié)構(gòu)掉層層數(shù)定為7.2 m，各土體參數(shù)如表3所示。

表3 土體參數(shù)

3.2 地震波信息

選取EL-Centro波N-S方向?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，地震波的持時(shí)均取20 s，為研究算例在大震下的響應(yīng)規(guī)律，將其幅值調(diào)整為0.2g(7度罕遇地震)后再進(jìn)行輸入，圖7為經(jīng)調(diào)幅后地震波的加速度時(shí)程曲線。

圖7 地震波加速度時(shí)程曲線

3.3 大震作用下的動力響應(yīng)

將剛性地基下的結(jié)構(gòu)模型記為M-1,3種地基土體的土-結(jié)相互作用的結(jié)構(gòu)模型記為M-2-1、M-2-2、M-2-3，為研究上、下接地端地震動輸入的差異，在模型M-1各柱底端同步輸入地震加速度時(shí)程，模型M-2使用本文的粘彈性人工邊界及等效節(jié)點(diǎn)力自動施加程序在土體模型底部進(jìn)行地震波的加載，各模型地震波輸入完成后分別進(jìn)行動力時(shí)程分析。4個模型在相同的地震波作用下的加速度峰值響應(yīng)如表4所示，可以看出：①不考慮陡坎上、下地震動差的模型M-1與考慮陡坎上、下地震動差的模型M-2相比，頂層加速度增幅系數(shù)明顯增大；②結(jié)構(gòu)頂層峰值加速度響應(yīng)最大的為采用土體1的結(jié)構(gòu)模型M-2-1，其次為M-1，M-2-2的響應(yīng)介于M-1與M-2-3之間，采用土體3的結(jié)構(gòu)模型M-2-3響應(yīng)最??；③考慮陡坎上、下端地震動差異的模型M-2中，采用土體3的模型結(jié)構(gòu)M-2-3地面加速度增幅系數(shù)和陡坎地面加速度峰值響應(yīng)均為最小，M-2-2次之，M-2-1最大；④3種條件的土體對地震波均有不同程度的放大作用，對于陡坎上下兩端地面的峰值加速度響應(yīng)，土質(zhì)條件最差的土體1的響應(yīng)最大，且上下兩端地震動差值達(dá)到了0.42g，而土質(zhì)條件最好的土體3的響應(yīng)最小，上下兩端地震動差為0.21g，土體2介于兩者之間，上下兩端地震動差為0.35g?？梢娫谳^為軟弱的土體場地建立的山地地形結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時(shí)，需要注意考慮陡坎土體對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的放大效應(yīng)。

表4 模型地震加速度峰值響應(yīng)

對各個模型進(jìn)行動力時(shí)程分析，圖8為4個模型在大震作用下的最大層間位移沿樓層的分布?？梢钥闯觯鹘Y(jié)構(gòu)層間位移曲線沿樓層變化的整體規(guī)律基本相似，在坎上一層時(shí)各結(jié)構(gòu)的層間位移達(dá)到了最大值，驗(yàn)證了山地掉層結(jié)構(gòu)位于陡坎上端的上接地層為薄弱樓層的結(jié)論。采用軟弱土體場地的結(jié)構(gòu)模型M-2-1的各層層間位移均較大且大于其余3個結(jié)構(gòu)模型，其與其他結(jié)構(gòu)模型的響應(yīng)差在結(jié)構(gòu)的上接地層與掉層樓層更為明顯。而采用土質(zhì)條件相對較好的土體結(jié)構(gòu)模型M-2-2的上接地層與掉層樓層的層間位移均小于M-2-1和剛性地基假設(shè)的模型，整體層間位移響應(yīng)稍大于采用土體3的結(jié)構(gòu)模型M-2-3。可見陡坎采用軟弱土體結(jié)構(gòu)時(shí)與剛性地基假設(shè)結(jié)構(gòu)相對比，掉層結(jié)構(gòu)在土-結(jié)相互作用下會變得更加不利，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震分析時(shí)需要考慮山地地形陡坎給掉層結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)帶來的影響，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)還需采取一定的構(gòu)造措施來改進(jìn)掉層結(jié)構(gòu)的薄弱樓層。

圖8 各結(jié)構(gòu)最大層間位移

4 結(jié)語

本文基于粘彈性人工邊界理論，編制了可以實(shí)現(xiàn)粘彈性人工邊界與等效地震節(jié)點(diǎn)力自動批量施加的Matlab程序，從而實(shí)現(xiàn)了土-結(jié)相互作用模型地震的有效輸入，提高了模型的前處理效率。將用此方法輸入的粘彈性人工邊界應(yīng)用于山地地形掉層框架的動力響應(yīng)分析，并與剛性地基假設(shè)的掉層結(jié)構(gòu)做對比，可以得出結(jié)論：對于位于較為軟弱的土體場地的掉層結(jié)構(gòu)，陡坎對地震作用的放大效應(yīng)較為明顯，掉層結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)顯著增大，其上接地層與掉層樓層與土質(zhì)條件較好的場地結(jié)構(gòu)相比較顯得尤為不利，在對其進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)可采取加強(qiáng)接地層的非接地柱其下層的梁、柱構(gòu)件和設(shè)置拉梁等措施來改善掉層結(jié)構(gòu)的抗震性能。