在實(shí)踐中反思 在反思中優(yōu)化
——以“環(huán)形跑道問題”為例

■陸祥雪 吳秋芳

知識(shí)與能力是教師專業(yè)發(fā)展的兩個(gè)方面。知識(shí)主要包括教育知識(shí)和學(xué)科知識(shí)兩個(gè)方面，這兩個(gè)方面融合為一體形成學(xué)科教學(xué)知識(shí)（簡(jiǎn)稱PCK）。顧泠沅先生認(rèn)為教學(xué)案例是發(fā)展PCK的重要載體。為了探求環(huán)形跑道問題中的相等關(guān)系，筆者先組織學(xué)生模擬跑，再用幾何畫板模擬實(shí)驗(yàn)。通過(guò)不斷優(yōu)化，發(fā)展了教師的教學(xué)能力，促進(jìn)了教師的專業(yè)發(fā)展。

一、教學(xué)實(shí)施

問題1:運(yùn)動(dòng)場(chǎng)環(huán)形跑道周長(zhǎng)400m，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋叮麄儚耐黄瘘c(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，5min后小紅第一次與爺爺相遇。請(qǐng)問:小紅和爺爺跑步的速度各是多少？

這是蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“用一元一次方程解決問題”中的問題4。教材在分析中直接給出這個(gè)問題的數(shù)量關(guān)系式：小紅跑的路程-爺爺跑的路程=400。

那么，教師在授課時(shí)，怎么來(lái)闡述這個(gè)相等關(guān)系呢？

師：這個(gè)問題中的相等關(guān)系是什么呢？

生1：第一次相遇時(shí)，小紅比爺爺多跑一圈。

師：你是怎么知道的？

（學(xué)生1沉默。）

師：好！為了驗(yàn)證這位同學(xué)所說(shuō)的相等關(guān)系，我們用幾何畫板做個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)。如圖1，我們用實(shí)心點(diǎn)表示小紅，空心點(diǎn)表示爺爺，為了方便區(qū)分，我們將小紅與爺爺?shù)耐慌艿溃蛛x為兩個(gè)同心圓，不過(guò)我們認(rèn)為它們的半徑是相同的。圖中的“動(dòng)畫點(diǎn)”就相當(dāng)于小紅與爺爺起跑的“發(fā)令槍”，我只要一點(diǎn)擊，兩個(gè)點(diǎn)就運(yùn)動(dòng)起來(lái)了?，F(xiàn)在我開始點(diǎn)擊“動(dòng)畫點(diǎn)”，請(qǐng)同學(xué)們注意觀察小紅比爺爺多跑了多少？

在學(xué)生觀看兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，教師手握鼠標(biāo)，當(dāng)實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)第一次相遇，再次點(diǎn)擊“動(dòng)畫點(diǎn)”停止運(yùn)動(dòng)（如圖2）。

圖2

師：好！我們現(xiàn)在停止運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問，小紅與爺爺?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，小紅比爺爺多跑了多少？

生1：多跑了一圈。

師：你是怎么知道的？

（學(xué)生1還是沉默。）

師：我們重新演示一遍。

師：當(dāng)實(shí)心點(diǎn)（小紅）再次回到起點(diǎn)時(shí)（如圖3）（此時(shí)教師點(diǎn)擊“動(dòng)畫點(diǎn)”按鈕，使兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止），此時(shí)實(shí)心點(diǎn)（小紅）已經(jīng)跑了多少？

圖3

生1：一圈。

師：當(dāng)實(shí)心點(diǎn)（小紅）第一次與空心點(diǎn)（爺爺）相遇時(shí)，小紅比爺爺多跑了多少？

生1：還是一圈。

師：請(qǐng)你解釋一下原因。

生1：因?yàn)閺男〖t再回到起點(diǎn)到追上爺爺（第一次相遇），小紅與爺爺跑的路程是相同的，而在此之前，小紅已經(jīng)跑了一圈，所以小紅比爺爺多跑了一圈。

師：很好！那就請(qǐng)你到黑板上來(lái)完整地解答這個(gè)問題。

師：接下來(lái)我們?cè)倏匆幌逻@道題的變式題。如圖4，小明與小華在一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的正方形ABCD的跑道上練習(xí)跑步，小明的速度為每分鐘200米，小華的速度為每分鐘150米，小明、小華分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向跑。請(qǐng)問：當(dāng)小明和小華首次相遇時(shí)，此題的相等關(guān)系又是什么？

圖4

生2：小明比小華多跑了300米。

師：為什么？

生2：小明跑到小華的起點(diǎn)B時(shí)，小明跑了300米，當(dāng)小明首次與小華相遇時(shí)，小明比小華多跑了300米。

師：同意的請(qǐng)舉手。

二、教學(xué)改進(jìn)

起初，設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，為了尋找相等關(guān)系，教師請(qǐng)兩名學(xué)生到講臺(tái)來(lái)，站在同一個(gè)位置。一名學(xué)生扮演“小紅”，另一名學(xué)生扮演“爺爺”，沿教室內(nèi)的過(guò)道，來(lái)模擬跑。教師提醒學(xué)生注意觀察小紅比爺爺多跑了多少。于是，兩名學(xué)生在教室內(nèi)跑了起來(lái)。教師問：“小紅是不是比爺爺多跑了一圈？”有學(xué)生說(shuō)“是的”，但大多數(shù)學(xué)生不發(fā)聲。教師發(fā)現(xiàn)回答的人很少，就覺得可能有學(xué)生沒有看清，于是，又重新演示了一遍。當(dāng)教師再次提問時(shí)，學(xué)生的回答還是很少，說(shuō)明大多數(shù)學(xué)生沒有看清問題中的相等關(guān)系。

設(shè)計(jì)模擬跑的目的是用實(shí)際情境幫助學(xué)生尋找問題中的相等關(guān)系，提升學(xué)生的參與度，提高學(xué)習(xí)興趣。但學(xué)生并沒有通過(guò)這個(gè)模擬跑的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題中的相等關(guān)系。另外，教師在學(xué)生沒有辦法說(shuō)明“小紅比爺爺多跑一圈”的情況下，也沒有幫助學(xué)生解決這個(gè)疑惑，而是選擇避而不談。筆者對(duì)此教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行反思，問題出在何處？在教室里模擬跑，學(xué)生的注意力僅是集中在兩個(gè)學(xué)生身上，而不能觀察到兩個(gè)學(xué)生的行進(jìn)路徑。找到問題的癥結(jié)，筆者做出幾點(diǎn)改進(jìn)。

改進(jìn)的目標(biāo)是化不可視的行進(jìn)路徑為可視。于是，有了兩個(gè)改進(jìn)的方案：一是用線示法，將小紅與爺爺跑的路線畫出來(lái)，如圖5，讓學(xué)生直觀地比較小紅比爺爺多跑了多少。在起點(diǎn)與相遇點(diǎn)之間，小紅與爺爺有一段路程是一樣的，如果我們把它們擦除，剩下的部分恰好是一圈。二是用幾何畫板來(lái)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，這樣小紅與爺爺跑的路徑可視性更強(qiáng)，且不需要場(chǎng)地。

圖5

三、教學(xué)反思

從最初設(shè)計(jì)到優(yōu)化后的最終設(shè)計(jì)，經(jīng)歷了“設(shè)計(jì)—實(shí)施—反思—改進(jìn)”的循環(huán)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程不但提高了課堂教學(xué)效率，而且促進(jìn)了教師自身發(fā)展。

1.“設(shè)計(jì)—改進(jìn)”促進(jìn)終身學(xué)習(xí)。

在“環(huán)形跑道問題”中，學(xué)生不能探索出相等關(guān)系，所以需要改進(jìn)設(shè)計(jì)，打破原有的知識(shí)、思維框架，否則只能墨守成規(guī)，不斷退步。

現(xiàn)代教育技術(shù)已經(jīng)得到了很大的發(fā)展，雖然知識(shí)是古老而陳舊的，但借助新技術(shù)，知識(shí)以新的面貌呈現(xiàn)。其實(shí)，只要用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示就能解決這個(gè)問題。利用軟件對(duì)動(dòng)點(diǎn)的追蹤功能，學(xué)生可以很全面地從整體上觀察兩人的跑步路徑，而不是在教室或操場(chǎng)上只能看到局部的情形。這就是PCK分類中的一類，即將特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生的策略知識(shí)。

2.“設(shè)計(jì)—改進(jìn)”促進(jìn)深度思考。

利用幾何畫板讓學(xué)生直觀地觀察小紅比爺爺多跑了一圈，但學(xué)生受路徑重疊的影響，效果反而不如圖5的“線示法”。學(xué)生在解決變式題時(shí)受挫，這都促使我們?nèi)シ此?，去進(jìn)行更深度的思考，觸及問題的本質(zhì)，由教師的深度思考去引導(dǎo)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。其實(shí)，這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)，讓我們從直觀上獲得了感性知識(shí)，同時(shí)，還體現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性特點(diǎn)。怎么說(shuō)明這個(gè)從實(shí)驗(yàn)中獲得的相等關(guān)系？這就需要教師在備課時(shí)做充分思考。我們?yōu)槭裁匆獜倪\(yùn)動(dòng)過(guò)程中抽出圖3，而不是僅僅出現(xiàn)起點(diǎn)與終點(diǎn)的圖1或圖2，目的就是為進(jìn)行理性的解釋鋪路。當(dāng)小紅再回到起點(diǎn)時(shí)，她已經(jīng)跑了一圈，小紅從現(xiàn)在到與爺爺?shù)谝淮蜗嘤?，兩人所跑的路程相同，所以小紅比爺爺多跑了一圈。根據(jù)學(xué)生回答的情況，可以多次重復(fù)演示，并在小紅回到起點(diǎn)時(shí)停留，讓學(xué)生觀察，找準(zhǔn)觀察的對(duì)象。這實(shí)際上就是基于同一個(gè)起點(diǎn)，如何比較小紅和爺爺所跑路程的長(zhǎng)短問題。學(xué)生在明晰這點(diǎn)之后，就可以扔掉“直觀”的拐杖，解決相關(guān)的變式題。實(shí)踐證明，教師利用改進(jìn)優(yōu)化后的方案實(shí)施教學(xué)，學(xué)生解答變式題的準(zhǔn)確率提高很多。

3.“設(shè)計(jì)—改進(jìn)”促進(jìn)“四個(gè)理解”。

章建躍博士提出“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)”。我們要充分掌握這四個(gè)“理解”間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容。信息技術(shù)起輔助作用，還得結(jié)合學(xué)生的想象力。對(duì)七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，形象思維占主導(dǎo)地位，所以我們通過(guò)幾何畫板來(lái)直觀、整體地呈現(xiàn)小紅及爺爺跑的過(guò)程，有助于學(xué)生突破難點(diǎn)，理解相等關(guān)系。教師應(yīng)樹立終身學(xué)習(xí)的理念，與時(shí)俱進(jìn)，只有常備一桶活水，方能澆灌新時(shí)代的花朵。