基于2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

文杰，馬春生，劉建國，李瑞琴，屈淑維

基于2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

文杰，馬春生，劉建國，李瑞琴，屈淑維

（中北大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030051）

隨著產(chǎn)品的種類的豐富，出現(xiàn)了各類產(chǎn)品噴碼方式不同的問題。為使得噴碼機(jī)適用于不同產(chǎn)品，文中提出一種轉(zhuǎn)動(dòng)幅度較大的2-RCU/CUR機(jī)構(gòu)，用于多種類產(chǎn)品噴碼。應(yīng)用螺旋理論對2-RCU/CUR機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，并用改進(jìn)的G-K公式進(jìn)行驗(yàn)證，用閉環(huán)矢量法對機(jī)構(gòu)的位置分析進(jìn)行反解，在SolidWorks軟件中繪制出機(jī)構(gòu)模型，最后用Matlab軟件對機(jī)構(gòu)工作空間編程求解并繪制出工作空間。2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，分別為2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和1個(gè)移動(dòng)自由度，在機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)，動(dòng)平臺繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可達(dá)90°，且在工作空間內(nèi)沒有奇異位型。2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單且穩(wěn)定，工作精度高，工作空間較大，可以適用于多種產(chǎn)品噴碼流程，可以提高經(jīng)濟(jì)效益。

2-RCU/CUR；自由度；位置反解；工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載力大，相比串聯(lián)機(jī)構(gòu)有著更高的精密度，在實(shí)際的生產(chǎn)中具有很重要的應(yīng)用價(jià)值。包裝流水線上要求作業(yè)機(jī)器有著更高的精密度和更長的壽命，并聯(lián)機(jī)構(gòu)完全符合這一需求，并且并聯(lián)機(jī)構(gòu)可適用于多種類產(chǎn)品的包裝流水線。

周毅鈞等[1]對2RPU/2SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析并求解；任鑫等[2]提出一種2（2-UPR+RPU）串并聯(lián)形式的混聯(lián)機(jī)構(gòu)使其能夠在工業(yè)生產(chǎn)中得以應(yīng)用；柴馨雪等[3]針對包裝生產(chǎn)線上需對食品、電子元器件等產(chǎn)品進(jìn)行分揀的功能需求，提出一種新穎的（2-RPU/RPS）&R混聯(lián)機(jī)構(gòu)；米文博等[4]聯(lián)合使用SolidWorks和Matlab軟件驗(yàn)證2-UPR/RSPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間；朱旭彪[5]對2-PRU-UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、性能優(yōu)化以及樣機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

現(xiàn)今市面上的噴碼機(jī)只適用于單一產(chǎn)品，靈活性較差，不能在多種表面進(jìn)行噴碼操作，為了使噴碼機(jī)的適用性更廣，靈活性更高，文中提出一種2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)來解決這種問題。

1 機(jī)構(gòu)構(gòu)型描述及坐標(biāo)系建立

2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)由3條支鏈、動(dòng)平臺和定平臺3部分組成，其中含有2條RCU支鏈和1條CUR支鏈，2條RCU支鏈與CUR支鏈皆由1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R、1個(gè)圓柱副C和1個(gè)萬向鉸U組成，見圖1。

圖1 2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2 自由度分析

構(gòu)出2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖并建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，見圖2。定平臺123與動(dòng)平臺123皆為等邊三角形，其中點(diǎn)到123的距離為，到123的距離為，定坐標(biāo)系軸從等邊三角形123的中點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)垂直于23，軸垂直于定平臺點(diǎn)指向動(dòng)平臺，軸根據(jù)右手螺旋法確定。動(dòng)坐標(biāo)系0軸從等邊三角形123的中點(diǎn)點(diǎn)垂直指向23，0軸垂直于動(dòng)平臺豎直向上，0軸根據(jù)右手螺旋法確定。

圖2 2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系

基于螺旋理論[6-8]對CUR支鏈自由度進(jìn)行分析，對支鏈CUR建立局部坐標(biāo)系，1軸與定坐標(biāo)系軸平行，1軸沿C副指向動(dòng)平臺，由右手螺旋法確立1軸，求得運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(1)

對式（1）求反螺旋，計(jì)算可得約束螺旋系為：

(2)

對其余2條RCU支鏈建立局部坐標(biāo)系并進(jìn)行分析，求得運(yùn)動(dòng)螺旋系分別為：

(3)

(4)

對式（3—4）求解，解得2條RCU支鏈的約束螺旋分別為：

(5)

對動(dòng)平臺分析可知，動(dòng)平臺共受3個(gè)約束力，并且3個(gè)約束力在同一平面內(nèi)，但是沿著不同的方向，根據(jù)3條線矢共面不共點(diǎn)原理，這3個(gè)約束力線失限制了動(dòng)平臺沿著平行于水平面的移動(dòng)和繞豎直方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。結(jié)合3個(gè)支鏈的約束螺旋，求得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

(6)

即機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度，分別為軸方向上的移動(dòng)，繞軸以及軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)修正的G-K公式求解機(jī)構(gòu)的自由度：

(7)

式中：為機(jī)構(gòu)的階；為機(jī)構(gòu)中包括機(jī)架總的活動(dòng)構(gòu)件數(shù)量；為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；f為第個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)目。其中=6，=8，=9，自由度數(shù)目和為15，求得=3，即機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度，與螺旋理

論計(jì)算結(jié)果相同。

3 位置逆解

3.1 對CUR支鏈進(jìn)行位置反解

用閉環(huán)矢量法[9]對機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解[10-11]，即給定動(dòng)平臺坐標(biāo)參數(shù)()，在已知?jiǎng)悠脚_位姿情況下，通過反解求得機(jī)構(gòu)的各個(gè)桿長()。已知定平臺半徑為，動(dòng)平臺半徑為，1桿長度為4，假設(shè)1桿長度為1，如圖1所示在定坐標(biāo)系-下1點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(8)

在動(dòng)坐標(biāo)系-000下1點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(9)

由定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)變到動(dòng)坐標(biāo)系的型姿態(tài)矩陣為：

(10)

分析可得點(diǎn)1在定坐標(biāo)系下的表達(dá)式為：

(11)

(12)

根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可求得：

(13)

3.2 對RCU支鏈的位置反解

對2條RCU支鏈進(jìn)行分析，構(gòu)出閉環(huán)矢量圖見圖3。

圖3 RCU支鏈閉環(huán)矢量圖

在定平臺坐標(biāo)系下，2和3的坐標(biāo)為：

(14)

在動(dòng)平臺坐標(biāo)系000下，2和3的坐標(biāo)為：

(15)

對機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，得到RCU支鏈的位置矢量關(guān)系為：

i

=2,3 (16)

代入后解出桿長：

(17)

4 工作空間

對機(jī)構(gòu)進(jìn)行工作空間分析可以更加形象具體地了解到機(jī)構(gòu)的實(shí)際工作空間，工作空間主要受機(jī)構(gòu)桿件長度、運(yùn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)角范圍以及機(jī)構(gòu)奇異位型影 響[12-14]。假設(shè)定平臺半徑為50 mm，動(dòng)平臺半徑為40 mm，桿件123的桿長為100 mm，伸長量為100 mm，4桿長為60 mm，R副轉(zhuǎn)角限制為?30°～30°，U副轉(zhuǎn)角限制為?90°～90°，編寫Matlab程序，通過對機(jī)構(gòu)各個(gè)運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行約束，限制轉(zhuǎn)動(dòng)副的旋轉(zhuǎn)角度，限制移動(dòng)副的變化長度，對機(jī)構(gòu)位置反解進(jìn)行計(jì)算，求出機(jī)構(gòu)在空間內(nèi)的可達(dá)點(diǎn)并且記錄下來，然后使用boundary與trisurf函數(shù)描繪出機(jī)構(gòu)的邊界點(diǎn)并繪制出工作空間[15-17]，求得最終的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)空間見圖4。對姿態(tài)空間圖分析可得，2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)無奇異位置，并且可以觀察出在平面內(nèi)動(dòng)平臺繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度可達(dá)90°，有較大的工作空間。

圖4 2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間

5 工程應(yīng)用

當(dāng)前的噴碼設(shè)備僅僅適用于1個(gè)或幾個(gè)產(chǎn)品，適用性較差，一些手持噴碼機(jī)更是需要人工操作，效率低、成本高，造成人力資源的浪費(fèi)。文中提出的2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)有3個(gè)自由度，沿軸方向移動(dòng)，繞軸與軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此機(jī)構(gòu)工作空間大，有較好的運(yùn)動(dòng)性能，在空間內(nèi)機(jī)構(gòu)可以上下移動(dòng)，可以滿足不同高度的產(chǎn)品。如圖5所示，機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度使得機(jī)構(gòu)對各種方形、帶有斜面以及其他形狀的包裝盒與包裝瓶都可進(jìn)行精準(zhǔn)有效的噴碼操作。當(dāng)傳送帶將需要噴碼的一類產(chǎn)品傳輸過來時(shí)，調(diào)整噴碼裝置的角度，當(dāng)噴碼裝置動(dòng)平臺達(dá)到合適角度時(shí)，機(jī)構(gòu)開始工作，對這類產(chǎn)品進(jìn)行噴碼，當(dāng)需要給另

一種類產(chǎn)品進(jìn)行噴碼操作時(shí)，只需調(diào)整動(dòng)平臺的角度即可。

圖5 噴碼實(shí)例分析

通過使用2-RCU/CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)對產(chǎn)品進(jìn)行噴碼，可大幅度降低產(chǎn)品生產(chǎn)成本，提高噴碼機(jī)的運(yùn)動(dòng)性能以及適用產(chǎn)品的多樣性，機(jī)構(gòu)在工作時(shí)速度快且平穩(wěn)，具有很高的工作精度，可滿足大多數(shù)產(chǎn)品的生產(chǎn)需求，提高產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)的效率。

6 結(jié)語

對2-RCU/CUR機(jī)構(gòu)進(jìn)行建模并分析，此機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，其中有2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和1個(gè)移動(dòng)。用改正的G-K公式對機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行驗(yàn)證，接著對機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置反解分析并在Matlab中求解并繪制出機(jī)構(gòu)工作空間，可以看出機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)連續(xù)無空洞，明顯看出此并聯(lián)機(jī)構(gòu)在各個(gè)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)幅度都很大，可以滿足很多產(chǎn)品噴碼工作的需要，適用于多種產(chǎn)品不同方位的噴碼流程。

[1] 周毅鈞, 陳業(yè)富, 蘇榮海. 2RPU/2SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[J]. 機(jī)床與液壓, 2020, 48(21): 26-30.

ZHOU Yi-jun, CHEN Ye-fu, SU Rong-hai. Workspace and Kinematics Analysis of 2RPU/2SPS Parallel Mechanism[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2020, 48(21): 26-30.

[2] 任鑫, 薄瑞峰, 武小惟, 等. 2(2-UPR+RPU)串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置和工作空間分析[J]. 機(jī)械傳動(dòng), 2020, 44(7): 66-70.

REN Xin, BO Rui-feng, WU Xiao-wei, et al. Location and Workspace Analysis of 2(2-UPR+RPU) Serial-parallel Hybrid Mechanism[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2020, 44(7): 66-70.

[3] 柴馨雪, 楊泳, 徐靈敏, 等. 2-UPR-RPU并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模與性能分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2020, 56(13): 110-119.

CHAI Xin-xue, YANG Yong, XU Ling-min, et al. Dynamic Modeling and Performance Analysis of a 2-UPR-RPU Parallel Manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2020, 56(13): 110-119.

[4] 米文博, 馬春生, 李瑞琴, 等. 應(yīng)用于藥品包裝生產(chǎn)線的2-UPR/RSPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析[J]. 包裝工程, 2021, 42(3): 171-176.

MI Wen-bo, MA Chun-sheng, LI Rui-qin, et al. Workspace of 2-UPR/RSPR Parallel Mechanism Applied to Medicine Packaging Production Line[J]. Packaging Engineering, 2021, 42(3): 171-176.

[5] 朱旭彪. 2-PRU-UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)[D]. 杭州: 浙江理工大學(xué), 2018: 1-14.

ZHU Xu-biao. Kinematic Analysis and Optimization Design of a 2-PRU-UPR Parallel Manipulator[D]. Hangzhou: Zhejiang Sci-Tech University, 2018: 1-14.

[6] 馬春生, 汪輝, 李瑞琴, 等. 一種3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析與動(dòng)態(tài)仿真[J]. 機(jī)床與液壓, 2017, 45(11): 1-4.

MA Chun-sheng, WANG Hui, LI Rui-qin, et al. Position Analysis and Dynamic Simulation for a Kind of 3-PUPU Parallel Mechanism[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2017, 45(11): 1-4.

[7] 葉偉, 謝鎮(zhèn)濤, 李秦川. 一種可用于微創(chuàng)手術(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與性能優(yōu)化[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2020, 56(19): 103-112.

YE Wei, XIE Zhen-tao, LI Qin-chuan. Kinematics Analysis and Performance Optimization of a Parallel Manipulator for Minimally Invasive Surgery[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2020, 56(19): 103-112.

[8] 李學(xué)波, 龐粟元. 多臺螺桿式空壓機(jī)并聯(lián)系統(tǒng)的能耗改善分析[J]. 流體機(jī)械, 2020, 48(11): 53-57.

LI Xue-bo, PANG Su-yuan. Energy Saving Analysis of Screw Air Compressor Parallel System[J]. Fluid Machinery, 2020, 48(11): 53-57.

[9] 張東勝, 許允斗, 姚建濤, 等. 2RPU/UPR+RP五自由度混聯(lián)機(jī)器人靜剛度分析[J]. 中國機(jī)械工程, 2018, 29(6): 712-719.

ZHANG Dong-sheng, XU Yun-dou, YAO Jian-tao, et al. Static Stiffness Analysis of 2RPU/UPR+RP 5-DOF Hybrid Manipulators[J]. China Mechanical Engineering, 2018, 29(6): 712-719.

[10] 鄧云蛟, 段艷賓, 李建軍, 等. 基于工作空間的混聯(lián)式極化天線機(jī)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計(jì)及其力學(xué)分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2021, 57(5): 81-89.

DENG Yun-jiao, DUAN Yan-bin, LI Jian-jun, et al. Parametric Design of Hybrid Polarization Antenna Mechanism Based on Workspace and Its Mechanical Analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2021, 57(5): 81-89.

[11] 尹曉秦, 馬春生, 米文博, 等. 含有閉環(huán)的并聯(lián)貼標(biāo)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[J]. 包裝工程, 2021, 42(3): 185-189.

YIN Xiao-qin, MA Chun-sheng, MI Wen-bo, et al. Kinematic Analysis of Labeling Mechanism Based on Closed-Loop Parallel Mechanism[J]. Packaging Engineering, 2021, 42(3): 185-189.

[12] ZARKANDI S. Kinematic Analysis and Workspace Optimization of a Novel 4R;SP?+?PS Parallel Manipulator[J]. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2021, 49(1): 131-153.

[13] GABARDI M, SOLAZZI M, FRISOLI A. An Optimization Procedure Based on Kinematics Analysis for the Design Parameters of a 4-UPU Parallel Manipulator[J]. Mechanism and Machine Theory, 2018, 133: 211-228.

[14] KOFINAS N, ORFANOUDAKIS E, LAGOUDAKIS M G. Complete Analytical Forward and Inverse Kinematics for the NAO Humanoid Robot[J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems, 2015, 77(2): 251-264.

[15] WU Guang-lei, BAI Shao-ping. Design and Kinematic Analysis of a 3-RRR Spherical Parallel Manipulator Reconfigured with Four-Bar Linkages[J]. Robotics and Computer Integrated Manufacturing, 2019, 56: 55-65.

[16] 梅瑛, 沈祚, 許文文, 等. 新型((3-RPR+R)&UPS)+P混聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)的位置逆解和工作空間分析[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究, 2020, 36(3): 40-43.

MEI Ying, SHEN Zuo, XU Wen-wen, et al. Position Inverse Solution and Workspace Analysis of a Novel((3-RPR+R)&UPS)+P hybrid Machine Tool Mechanism[J]. Machine Design & Research, 2020, 36(3): 40-43.

[17] ABHILASH N, STéPHANE C, PHILIPPE W. Kinematic Analysis of the 3-RPS-3-SPR Series-Parallel Manipulator[J]. Robotica, 2018, 37(7): 1240-1266.

Kinematics Analysis Based on 2-RCU/CUR Parallel Mechanism

WEN Jie, MA Chun-sheng, LIU Jian-guo, LI Rui-qin, QU Shu-wei

(School of Mechanical Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China)

With the variety of products being enriched, the labeling methods for various products are also different. The work aims to propose a 2-RCU/CUR mechanism with large rotation that can be used to label different products, so as to make the marking machines suitable for various products. The degree of freedom of 2-RCU/CUR mechanism was analyzed by screw theory and verified by the improved G-K formula. The closed-loop vector method was used to carry out inverse kinematics on the position of the mechanism, and the mechanism model was drawn in SolidWorks software. Finally, the workspace of the mechanism was programmed and solved by Matlab software and the workspace was drawn by this software. The 2-RCU/CUR parallel mechanism had three degrees of freedom, two for rotation and one for movement. In the workspace of the mechanism, the rotation of the moving platform reached 90° around theaxis, and there was no singularity mode in the workspace. The 2-RCU/CUR parallel mechanism has a simple and stable structure, with high working accuracy and large workspace and can be applied to a variety of product labeling processes to improve the economic benefits.

2-RCU/CUR; degree of freedom; inverse kinematics; workspace

TB486；TH112

A

1001-3563(2022)03-0228-06

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.03.028

2021-06-08

山西省自然科學(xué)基金（201801D121183）；山西省回國留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目（2021-114）

文杰（1998—），男，中北大學(xué)碩士生，主攻機(jī)構(gòu)理論與機(jī)器人技術(shù)。

馬春生（1974—），男，博士，中北大學(xué)副教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)理論與機(jī)器人技術(shù)。