一道中考數(shù)學新定義問題的多角度分析

北京市三帆中學 陳立雪 王麗萍

2011年起，新定義問題作為北京中考數(shù)學試題的最后一道壓軸題，一直受到高度的關注。這類問題“要求學生通過現(xiàn)場學習，理解新定義，結合所掌握的知識和思想方法分析新定義的幾何含義，借助幾何直觀，探索問題與問題之間在數(shù)量和空間上的關系，發(fā)現(xiàn)解決問題的方法”，不僅能考查學生對數(shù)學基本知識、技能和思想方法的掌握情況，還能考查學生運用所學知識分析和解決問題的能力。本文以2012年北京中考數(shù)學壓軸題的一道新定義問題為例，從定義本身、軌跡、函數(shù)、不等式四個不同的角度探討該問題的解法，挖掘其中的數(shù)學內涵。

一、問題及分析

問題（2012北京中考數(shù)學第25題）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：若｜x1-x2｜≥｜y1-y2｜，則點P1與P2的“非常距離”為｜x1-x2｜；若｜x1-x2｜＜｜y1-y2｜，則點P1與P2的“非常距離”為｜y1-y2｜。例如，點P1（1，2），點P2（3，5），因為｜1-3｜＜｜2-5｜，所以點P1與P2的“非常距離”為｜2-5｜＝3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點）。

圖1

①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標；

②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線上的一個動點，

①如圖2所示，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；

圖2

②如圖3所示，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應的點E和點C的坐標。

圖3

（一）從定義本身的角度解決問題

新定義問題的核心就是定義本身，學生通過題目的敘述認識定義的內涵，通過對實例的辨析來認識定義的外延。但是數(shù)學定義本身的抽象性、表述的多樣性、內涵的深刻性都是理解的難點。在初中數(shù)學中，通常用“文”或“圖”的形式表述數(shù)學定義，而“式”的表述形式相對較少且比較簡單。在高中數(shù)學中主要用“文”和“式”的形式表述數(shù)學定義，不過“式”的形式更復雜、內涵更深刻。比如，在初中數(shù)學中，用“在一個平面內，一條線段繞它的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形”“到定點的距離等于定長的點的集合”等“文”的形式表示圓的定義，沒有出現(xiàn)圓的“式”的定義形式，而在高中數(shù)學中出現(xiàn)了用方程（x-x0）2＋（y-y0）2＝r2表示圓心在（x0，y0）且半徑為r的圓。又如，直線方程在初中數(shù)學中只有斜截式，而在高中數(shù)學中還有“一般式”“點斜式”“截距式”等形式。

這道中考題給出了平面直角坐標系中2個點的“非常距離”的定義，即平面內兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”為max｛｜x1-x2｜，｜y1-y2｜｝，這是屬于“式”的表述形式。若用“文”的形式，則可表述為平面內兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”為這兩點在水平方向的距離｜x1-x2｜與豎直方向的距離｜y1-y2｜的最大值。這兩種表述形式都比較抽象，不好理解。如果能將定義的“式”或“文”的表述形式進一步轉化為“圖”的表述形式，則有助于學生理解這個定義和解決問題。

如圖4所示，過點P1（x1，y1）畫直線y＝x＋b與直線y＝-x＋d，則：

圖4

當點P2（x2，y2）在這兩條直線上或位于圖中陰影區(qū)域時，｜x1-x2｜≥｜y1-y2｜，此時點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）的“非常距離”為｜x1-x2｜；

當點P2（x2，y2）位于圖中白色區(qū)域時，｜x1-x2｜＜｜y1-y2｜，此時點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）的“非常距離”為｜y1-y2｜。

以上就得到了“非常距離”定義更為直觀的“圖”的表述形式。下面，我們綜合運用該定義的三種表述形式解決問題。

圖5

所以，點B坐標為（0，2）或（0，-2），點A與點B的“非常距離”的最小值為

（二）從軌跡的角度解決問題

在初中數(shù)學中雖然沒有出現(xiàn)“軌跡”一詞，但是學生仍然接觸了一些描述點的軌跡的概念。例如，圓是到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡），角平分線是到角兩邊距離相等的點的集合（軌跡）。這些與高中解析幾何中的某些概念可以聯(lián)系起來，例如，橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的點的軌跡，拋物線是到定點和定直線距離相等的點的軌跡。需要指出的是，初中研究點的軌跡，多著眼圖形的幾何性質，而高中則是從對“軌跡”的直觀認識上升到圖形與方程的關系，用代數(shù)的語言來描述圖形的幾何特征。

下面，我們從動點軌跡的角度解決這個新定義問題。

設P1（x1，y1）為平面上的定點，動點P2（x2，y2）到P1（x1，y1）的“非常距離”為定值d。由定義可知，如果｜x1-x2｜≥｜y1-y2｜，則｜x1-x2｜＝d，｜y1-y2｜≤d；如果｜x1-x2｜＜｜y1-y2｜，則｜y1-y2｜＝d，｜x1-x2｜＜d。所以，與定點P1的“非常距離”恒為d的動點軌跡是如圖8所示的正方形。

圖8

根據(jù)上面的分析，我們可以得到這個新定義問題的如下解法。

圖9

②當正方形的邊長從0逐漸增大，且剛好與y軸有公共點時，如圖10所示，得到點A與點B的“非常距離”的最小值為

圖10

（2）①當動點到定點D（0，1）的“非常距離”d從0逐漸增大時，如果所得的動點軌跡剛好與直線有公共點，則這個公共點就是所求的點C，如圖11所示。解方程組，則點C和點D的“非常距離”最小，且最小值為

圖11

②當點E是圓O上任意一點時，類似于①的情形，可以找到“非常距離”最小時對應的點C。如圖12所示，過點E作直線的垂線段EF，垂足是F。由于∠CEF的大小不變，故當EF最短時，CE也最短，相應的“非常距離”也最小。

圖12

如圖13所示，過點O作直線的垂線段OF，交圓O于E。容易計算得則點C與點E的“非常距離”最小，最小值為1。

圖13

在本部分，我們將“非常距離”的定義從“式”的形式轉化為“圖”的形式，使定義更加直觀，進而可以采用數(shù)形結合的方法解決問題。2013年，屈奇峰深入地研究了“非常距離”下的圓、中垂線和第一定義下的圓錐曲線。

（三）從函數(shù)的角度解決問題

函數(shù)的學習貫穿了整個中學階段，初中階段學習函數(shù)要求理解函數(shù)與對應的方程、不等式的關系；而高中階段學習函數(shù)要求能對簡單的實際問題，選擇適當?shù)暮瘮?shù)構建數(shù)學模型來解決問題。

下面，我們從函數(shù)的角度解決前面的新定義問題。

在平面直角坐標系xOy中，對任意兩點P1（x1，y1）與P2（x2，y2），記z1＝｜x1-x2｜，z2＝｜y1-y2｜，則點P1與P2的“非常距離”為z3＝max｛z1，z2｝．借助函數(shù)z1，z2，z3的在平面直角坐標系下的圖象，我們便可以得到這個新定義問題的一種解法。

圖14

①由圖象知，當z3＝2時，｜t｜＝2，t＝±2，所以點B的坐標為（0，±2）；

②由圖象知，z3的最小值為

（2）設點C的坐標為

①已知D（0，1），則它們都是關于x的函數(shù)，其圖象如圖15所示。由此可以得到z3＝max｛z1，z2｝的圖象（圖15所示粗線部分）。

圖15

由z3的圖象知，函數(shù)z3在點M取最小值。

所以，點C與點D的“非常距離”的最小值為此時

②設點E（u，v），則z1＝其中u2＋v2＝1。將它們視作關于x的函數(shù)，畫出圖象，如圖16所示，由此可得到z3＝max｛z1，z2｝的圖象，圖16所示粗線部分。

圖16

由z3的圖象知，z3在點M處取最小值。下面來求點M的坐標。

令a＝3u-4v，則要使z3的值最小，即要使a＝3u-4v的值最小。

考慮點E的坐標為（u，v），所以點E在一組平行直線上。又因為點E在單位圓O上，所以要使直線與圓O有公共點。如圖17所示，當a取最小值時，直線與圓相切于點E。

圖17

此時，點E的坐標為

初中階段學習的函數(shù)概念突出了“變化”的特征。本部分內容從函數(shù)的角度解決問題，首先通過構造函數(shù)，描述“非常距離”隨點的位置的變化而變化的情況，然后通過求函數(shù)的最小值使問題得到解決。其中，構造函數(shù)是關鍵，將函數(shù)的解析式和圖象結合起來完成這個過程，既使“變化”的情況精確、直觀，又符合初中學生的認知特點。

（四）從不等式的角度解決問題

對于前面a＝3u-4v的最小值，我們還可以從不等式的角度來解決。眾所周知，對任意實數(shù)a，b，c，d，下面的式子始終成立：

其中等號成立當且僅當ad＝bc。

因為點E（u，v）在單位圓O上，所以u2＋v2＝1。于是，

所以｜3u-4v｜≤5，即-5≤3u-4v≤5。

接下來，我們考慮等號成立的條件。

從不等式的角度解決問題，突出了對代數(shù)式進行變形和推理的過程，難點在于對等號成立的條件的分析。相比前兩種方法，這種方法是對純粹的數(shù)量關系進行分析和推理，具有較強的技巧性和抽象性。

二、對問題的回顧與反思

本文選取了一道與“距離”有關的新定義問題，以初中學生可以接受的知識為載體，分別從定義本身、動點的軌跡、函數(shù)與不等式的角度探究問題解法。從這道題的不同解法中，我們可以看到分析和解決新定義問題的一些典型思想和方法，希望對初三備考及初高中知識銜接有積極的意義。

（一）用不同的語言描述數(shù)學概念

在新定義問題中，新的數(shù)學概念的出現(xiàn)，通常是建立在學生已有數(shù)學知識的基礎上的，而描述這個新概念的內涵，可以用圖、文、式等形式。如果學生能通過自己的理解加工，將新概念轉化成不同的表述方式，就能更全面地把握概念的內涵與外延。尤其當這個概念既有“式”或“文”的表述，又有“圖”的表述時，就更便于從形的方面直觀認識和分析，從數(shù)的方面準確計算和驗證，使問題解決起來更加得心應手。

（二）用運動的視角分析變化過程

動點的位置發(fā)生變化，數(shù)量關系也會發(fā)生變化，這是很多新定義問題的特點。此時可以從全局著眼，考查動點在完整運動過程中的變化趨勢，以便找到普遍規(guī)律或抓住關鍵節(jié)點。比如，在這道中考題中，多處出現(xiàn)了“某點是某圖形上的一個動點”這樣的條件。在第一種方法中，考查動點C的完整運動過程：從形的角度看，點C是從直線的左側無窮遠向右一直運動；從數(shù)的角度看，點C的橫坐標取值可以為全體實數(shù)。

（三）用函數(shù)的方法解決變化問題

函數(shù)是描述變化過程的數(shù)學工具，在分析變化過程后，借助函數(shù)的方法刻畫這個過程。一方面，函數(shù)的解析式能準確刻畫變量之間的數(shù)量關系；另一方面，函數(shù)的圖象可以把復雜的變化過程直觀化。在上面的第三種解法中，我們把函數(shù)的解析式和圖象有機地結合起來，更加精確且直觀地刻畫了動點C的變化過程。

（四）用更高的觀點看待問題背景

這道中考題中的“非常距離”可以看作平面上兩點的閔可夫斯基距離的一種特殊情形。具體設p≥1為常數(shù)，A（x1，y1）與B（x2，y2）是平面上任意兩點，則點A與B的閔氏距離定義為

特別地，當p＝2時，點A與B的閔可夫斯基距離就是大家常用的歐氏距離；當p＝1時，點A與B的閔可夫斯基距離又叫“曼哈頓距離”，它被形象地稱為“出租車距離”或“城市街區(qū)距離”；當p→∞時，點A與B的閔可夫斯基距離又叫“切比雪夫距離”，也就是這道中考題中的“非常距離”。

需要指出的是，閔可夫斯基距離的定義可以推廣到高維空間中，它在機器學習、聚類分析、倉庫物流等方面有廣泛的應用。