Delta并聯機器人軌跡規(guī)劃的研究與分析

趙鵬宇，王宗彥，閆旺星，丁培燎

(1.中北大學機械工程學院,山西 太原 030051) (2.山西省起重機數字化設計工程技術研究中心，山西 太原 030051)

隨著我國工業(yè)水平不斷提高，企業(yè)的生產效率將會是占據市場的主要因素之一。傳統(tǒng)的人工分揀裝箱速度已無法滿足當下企業(yè)的需求，同時生產過程中也存在人身安全問題，且目前我國人口老齡化問題凸顯，傳統(tǒng)行業(yè)開始面臨招工難的難題，因此工業(yè)自動化設備的市場需求逐年上升[1]。Delta并聯機器人是工業(yè)分揀機器人中的代表之一，其相比于串聯機器人具有結構簡單、定位精度高、運行速度快、加速度大等特點，它解決了傳統(tǒng)的人工分揀方式機械、重復的問題，目前已被應用在食品分揀、工件分類等工業(yè)場景中[2-4]。

Delta并聯機器人的軌跡規(guī)劃對其運行穩(wěn)定性有重要影響，本文對Delta并聯機器人進行建模，求取其工作空間，對比直線插補軌跡規(guī)劃算法與修正梯形軌跡規(guī)劃算法，證明修正梯形軌跡規(guī)劃算法的優(yōu)越性。

1 Delta并聯機器人建模

Delta并聯機器人模型如圖1所示，主要由靜平臺和動平臺、主動臂和從動臂、萬向節(jié)、球副、電機減速器等組成。靜平臺承載機器人的全部質量，需要固定，其上面安裝有3個伺服電機，以驅動3條完全相同的支鏈，通過轉動副連接電機與主動臂以及主動臂與從動臂。從動臂由4個球面副組成平行四邊形機構，動平臺連接末端執(zhí)行器，負責物體的抓取，通過3條支鏈的驅動可以實現機器人在X，Y，Z3個方向上的移動。其具體參數見表1。

圖1 并聯機器人模型

表1 并聯機器人尺寸參數 單位：mm

2 運動學分析及工作空間

工作空間是機器人末端執(zhí)行器可觸及的所有位置點的集合。本文是在正運動學基礎上進行的[5]，所以要對并聯機器人進行正運動學分析，在此之前需要對并聯機器人進行機構簡化，簡化后的機構簡圖如圖2所示，動平臺與靜平臺3條支鏈位置夾角為120°，即可以將兩個平臺簡化為兩個相似的等邊三角形，主動臂、從動臂用線段表示[6-7]。

圖2 并聯機器人機構簡圖

圖中A1A2A3為機器人靜平臺，C1C2C3為動平臺，A1B1,A2B2,A3B3為3個主動臂，長度均為L1，它們負責連接靜平臺與從動臂B1C1,B2C2,B3C3,從動臂長度均為L2。以靜平臺中心點建立的靜坐標系為O-XYZ，以動平臺中心建立的動坐標系為O′-X′Y′Z′。βi為主動臂運動過程中與靜平臺的夾角，OAi為靜平臺外接半徑，用R表示，OCi為動平臺外接圓半徑，用r表示，OO′=[x,y,z]T，記為靜坐標系原點與動坐標系原點之間的位置矢量。

靜平臺坐標系如圖3所示，α1，α2，α3表示3個主動臂與坐標軸的夾角。

圖3 靜平臺坐標系

對并聯機器人進行運動學建模的目的就是為了建立3個主動臂與靜平臺的夾角和靜平臺中心到動平臺的位置矢量關系。

運動學正解是通過已知的各關節(jié)矢量，求末端執(zhí)行器既動平臺中心相對于靜坐標系的位姿，根據空間關系可推導出具體方程式：

(1)

根據并聯機器人主動臂、從動臂的長度，給定主動臂的運動范圍，并根據實際應用中的工作場合確定最大與最小轉角，將轉角離散化并確定中心坐標，通過正解求解出每個轉角對應的點，將這些點的集合繪制出來就可以求得并聯機器人的工作空間。在進行軌跡規(guī)劃時并聯機器人的工作空間是重要的參數。利用MATLAB計算工作空間，結果如圖4所示。

圖4 機器人工作空間

在實際生產中，考慮到障礙物的高度或者取放時的高度差，通常將工作空間設置為圓柱形。根據工作空間可知X，Y，Z3個方向上的最值如下：xmax=658.4 mm，xmin=-659.2 mm，ymax=648.3 mm，ymin=-654.3 mm，zmax=-263.7 mm，zmin=-943.2 mm。

3 軌跡規(guī)劃

對于Delta并聯機器人來說，其在工作中都是從起始點開始加速，到一定位置后開始減速最后停在指定位置，起始點與目標點的速度和加速度都為0。軌跡規(guī)劃是在實際生產中對末端執(zhí)行器進行路徑規(guī)劃，根據機器人的工作空間確定起始點與目標點，確保兩點均落在工作空間內，并根據兩點之間是否有障礙物來確定末端執(zhí)行器的路線，以保證安全的工業(yè)生產環(huán)境。在進行軌跡規(guī)劃時還要盡可能減少速度與加速度的突變，以減少電機的剛性沖擊，提高機器人的重復定位精度和使用壽命。根據第2節(jié)求得的并聯機器人工作空間，本文將并聯機器人的起始點設置為(-180,0，-700)，目標點設置為(180,0,-700),障礙高度為50 mm，單次軌跡運行時間為0.3 s。

目前常用的軌跡規(guī)劃方法有直線插補軌跡規(guī)劃算法和修正梯形軌跡規(guī)劃算法[8-10]。直線插補軌跡規(guī)劃算法會使機器人在位移方向產生速度與加速度突變，導致并聯機器人剛性沖擊較大。其運行軌跡如圖5所示。

圖5 直線插補軌跡規(guī)劃算法的門型軌跡

為了保證并聯機器人平穩(wěn)運行，其運行軌跡函數關于時間t的一二階導數應是連續(xù)函數。本文將Delta并聯機器人末端執(zhí)行器在工作中的軌跡分為5段，具體如圖6所示。

圖6 改進的并聯機器人軌跡

P2-P3,P4-P5段采用圓弧插值法對之前的直角部分進行過渡，其余部分采用直線插值法。

根據圖6的分段軌跡，沿路線采樣得到各個段點的速度以及加速度，為了使機器人加減速快速平穩(wěn)并方便計算，采用修正梯形軌跡規(guī)劃算法。

設T為一次運行的時間，s為位移，a為加速度。首先采用修正梯形算法將加速度曲線分成5個周期，用公式表達如下：

(2)

式中：amax為最大加速度。對式(2)進行二次積分得到位移公式：

(3)

(4)

(5)

利用MATLAB2019b進行修正梯形軌跡模擬，利用工作空間所確定的起始點與目標點得到修正梯形的軌跡，如圖7所示。

圖7 修正梯形軌跡

4 實驗仿真

在MATLAB2019b中通過運動學逆解求解出直線插補軌跡算法的軌跡對應的3個電機轉動數據，再計算利用修正梯形軌跡規(guī)劃算法優(yōu)化后的軌跡對應的3個電機轉動數據，設置每隔0.005 s進行一次對應電機轉角的求解。將Delta并聯機器人模型與電機轉角數據導入ADAMS2019中進行仿真，得到X軸方向上的速度、加速度、位移的變化曲線，如圖8～13所示。

圖8 直線插補軌跡規(guī)劃算法速度變化

圖9 修正梯形軌跡規(guī)劃算法速度變化

圖8為并聯機器人在直線插補軌跡運行時的速度變化情況，其中有5個明顯的變化拐點，表明這5個部分的速度發(fā)生了突變，造成機器人的位移曲線也產生了突變，如圖10所示，從而造成圖12所示的機器人加速度瞬間增加又瞬間下降，導致機器人運行時剛性沖擊大，震動劇烈。而并聯機器人軌跡經過修正梯形軌跡規(guī)劃算法優(yōu)化后，速度曲線沒有出現突變的拐點，如圖9所示，位移曲線也更加平穩(wěn)，如圖11所示，優(yōu)化后加速度曲線也較為平緩，如圖13所示。由此表明，經過修正梯形軌跡規(guī)劃算法優(yōu)化后的并聯機器人運動學和動力學性能更好，減少了運動中的剛性沖擊。

圖10 直線插補軌跡規(guī)劃算法位移變化

圖11 修正梯形軌跡規(guī)劃算法位移變化

圖12 直線插補軌跡規(guī)劃算法加速度變化

圖13 修正梯形軌跡規(guī)劃算法加速度變化

5 結束語

本文首先對并聯機器人進行實體建模，利用運動學正解求解出了所建并聯機器人模型的工作空間，根據工作空間選取實驗仿真需要用到的起始點與目標點。然后通過軌跡規(guī)劃分析對比了并聯機器人在直線插補軌跡和修正梯形軌跡運行時的區(qū)別，證明了利用修正梯形軌跡規(guī)劃算法進行優(yōu)化后，并聯機器人在速度、加速度方面更加平滑，可以有效提高并聯機器人連續(xù)運行的平穩(wěn)性。本文對并聯機器人進行了仿真分析，實際的應用中還應該考慮工業(yè)生產環(huán)境、電機型號等因素，使Delta并聯機器人更加穩(wěn)定、高效。