福克態(tài)視角下的弱測(cè)量放大

李 剛

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000)

0 引言

在1988年，弱測(cè)量理論由Aharonov等[1]人提出，通常被稱之為弱值放大(Weak value amplification,WVA)。目前為止，弱測(cè)量已成為最有前途的精密測(cè)量工具之一，它已應(yīng)用于各個(gè)研究領(lǐng)域，包括解釋一些違反直覺的量子悖論[2-4]。在弱測(cè)量中，指針與被測(cè)量系統(tǒng)是弱耦合的。與投影測(cè)量(強(qiáng)測(cè)量)對(duì)比，如果指針的初始波函數(shù)的寬度很大，則在弱測(cè)量中指針的輸出信號(hào)(即指針觀測(cè)量的值)會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出系統(tǒng)觀察量的特征值的范圍。這個(gè)結(jié)論歸因于指針的量子態(tài)疊加(量子干涉效應(yīng))：當(dāng)被測(cè)量系統(tǒng)發(fā)生接近正交的后選擇后，指針上兩個(gè)或多個(gè)略有不同的高斯態(tài)的疊加[1,5]使得系統(tǒng)觀測(cè)量的值超出其特征值的范圍。最近發(fā)現(xiàn)，弱測(cè)量可以幫助測(cè)量較小的物理量[6]或?qū)^小的物理參數(shù)進(jìn)行靈敏地估計(jì)[7-8]，然而傳統(tǒng)技術(shù)很難直接檢測(cè)到它們。大多數(shù)弱測(cè)量方案都可以通過經(jīng)典波動(dòng)力學(xué)來解釋[7-9]。此外，更多有關(guān)弱測(cè)量的研究可以參考這些文獻(xiàn)[10-11]。

盡管有很多關(guān)于弱測(cè)量的研究方案，但是弱測(cè)量放大的精確解研究不是很多。下面我們從任意量子態(tài)指針入手對(duì)量子弱測(cè)量放大進(jìn)行詳細(xì)的討論，試圖找到滿足弱測(cè)量放大精確解那一類量子態(tài)指針。

1 任意量子態(tài)指針的弱測(cè)量放大

不失一般性，本文考慮一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)弱測(cè)量方案[1]。在標(biāo)準(zhǔn)弱測(cè)量方案中，系統(tǒng)和指針之間的相互作用哈密頓量是

(1)

(2)

(3)

對(duì)被測(cè)系統(tǒng)執(zhí)行后選擇作用，即對(duì)被測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行投影測(cè)量|ψf〉〈ψf|，指針態(tài)變?yōu)?/p>

(4)

其中系統(tǒng)的后選擇態(tài)|ψf〉=cosθ|a1〉-eiφsinθ|a2〉。

劉凱玉[27]研究了經(jīng)過堿化和氨化處理秸稈的奶牛瘤胃NDF降解率，結(jié)果表明，堿化秸稈的NDF有效降解率顯著高于干秸稈（P＜0.05），而且堿化秸稈的NDF慢速降解部分較氨化秸稈提高了17.25%。Pan等[28]的研究表明，尿素和氫氧化鈉處理都會(huì)提高秸稈的NDF的有效降解率，但氫氧化鈉的作用更明顯。華金玲等[29]以成年公羊?yàn)榛A(chǔ)研究了氨化秸稈各時(shí)間段的NDF降解率，試驗(yàn)表明氨化秸稈的NDF降解率顯著高于相應(yīng)時(shí)間點(diǎn)的未處理秸稈，NDF的最大降解量提高了22.83%。孫國強(qiáng)等[30]指出，將尿素和氫氧化鈣按玉米秸風(fēng)干質(zhì)量的4%添加時(shí)，72 h NDF瘤胃降解率顯著高于未處理玉米秸。

僅考慮這種情況，即χ?1和φ?1，以及當(dāng)θ=π/4-ε(ε?1)，等式(4)的指針態(tài)可以近似為

(5)

指針觀察量M(M=p,q)的平均平移被如下表達(dá)式給出

〈M〉=Tr(Mρfm)/Tr(ρfm)-Tr(ρm)

(6)

其中Tr(ρfm)表示歸一化系數(shù)。

將等式(5)代入Tr(Mρfm)，可以獲得

Tr(Mρfm)≈[(4ε2+φ2)〈M〉ρm+i2εχ(a2-a1)〈[M,q]〉ρm+φχ(a2-a1)〈{M,q}〉ρm

+χ2(a2-a1)2〈qMq〉ρm]/4

(7)

其中Tr(·ρm)可以用〈·〉ρm表示，[·]和{·}分別表示對(duì)易和反對(duì)易規(guī)則[12-13]，并且歸一化系數(shù)是

W0=Tr(ρfm)≈[(4ε2+φ2)+2φχ(a2-a1)〈q〉ρm+χ2(a2-a1)2〈q2〉ρm]/4

(8)

將等式(7)和(8)代入(6)，可以獲得

+χ2(a2-a1)2〈qMq〉ρm]/4-〈M〉ρm

(9)

等式(9)表示基于后選擇弱測(cè)量的任意量子態(tài)指針的平均平移。

2 偶宇稱態(tài)指針的弱測(cè)量放大

假設(shè)指針初始態(tài)ρm是偶宇稱態(tài)，即ρm(-q)=ρm(q)，等式(9)的表達(dá)式可以變?yōu)?/p>

〈M〉=W-1[i2εχ(a2-a1)〈[M,q]〉ρm+φχ(a2-a1)〈{M,q}〉ρm]/4

(10)

其中W=[4ε2+φ2+χ2(a2-a1)2〈q2〉ρm]/4是歸一化系數(shù)。從等式(10)可以看出，指針的平均平移是由i2εχ(a2-a1)〈[M,q]〉ρm和χ(a2-a1)〉{M,q}〉ρm決定。前者和后者都是由等式(5)指針態(tài)的干涉項(xiàng)引起的。換一句話說，理解弱測(cè)量放大的關(guān)鍵是后選擇測(cè)量后不同指針態(tài)之間的相干性。

考慮等式(8)的兩種情況：一個(gè)是，當(dāng)φ=0和ε≠0時(shí)，等式(10)變?yōu)?/p>

(11)

另一個(gè)是，當(dāng)φ≠0和ε=0時(shí)，等式(10)變?yōu)?/p>

(12)

3 結(jié)論

總之，本文利用任意量子態(tài)指針研究了弱測(cè)量放大效應(yīng)，并給出基于后選擇弱測(cè)量的任意量子態(tài)指針的平均平移。當(dāng)指針態(tài)是偶宇稱態(tài)時(shí)，在動(dòng)量空間或者位置空間中，不僅可以給出指針的微弱平均平移的放大解析式，也可以給出其最大放大值。例如，當(dāng)指針處于基態(tài)、相干態(tài)、壓縮態(tài)和熱態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)指針的微弱平均平移最大放大值可以達(dá)到相應(yīng)的量子態(tài)的漲落程度。與大多數(shù)標(biāo)準(zhǔn)弱測(cè)量放大方案相比[3,7-9,11,14]，這類偶宇稱態(tài)使得弱測(cè)量放大有了精確解，從而更容易找到弱測(cè)量放大極限[11,16]。前者是在弱值放大機(jī)制(Weak value amplification regime)下給出近似解，而后者是找到一類量子態(tài)給出弱測(cè)量放大解析解，從而實(shí)現(xiàn)在弱值放大機(jī)制下和超出弱值放大機(jī)制(Outside weak value amplification regime)下觀測(cè)量子效應(yīng)。因此這些結(jié)果不僅豐富了弱測(cè)量理論，也加深了人們對(duì)弱測(cè)量的理解。