一個(gè)關(guān)聯(lián)對(duì)數(shù)函數(shù)的Hilbert型不等式

有名輝，范獻(xiàn)勝，何振華

(1.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，浙江 杭州 310053；2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003)

0 引言

(1)

其中π是式(1)成立的最佳常數(shù)。此外，文[1]中還給出了如下與式(1)類(lèi)似的不等式：

(2)

其中π2是式(2)成立的最佳常數(shù)。通常，式(2)被稱(chēng)為Hilbert型不等式。百余年來(lái)，特別是20世紀(jì)90年代后期以來(lái)，以楊必成，Krnic等為代表的數(shù)學(xué)工作者利用近代分析的相關(guān)技巧，通過(guò)構(gòu)建新的核函數(shù)，并不斷對(duì)核函數(shù)進(jìn)行參數(shù)化，并考慮離散形態(tài)、半離散形態(tài)、高維推廣以及系數(shù)加強(qiáng)，構(gòu)建了大量新穎且富有價(jià)值的新成果[2-14]。本文的主要構(gòu)想源于以下不等式(見(jiàn)文[15]):

(3)

其中β>0，μ(x)=x1-2β，ν(y)=y1-2β。

通過(guò)引入對(duì)數(shù)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)復(fù)合型的新的核函數(shù)，將建立以下Hilbert型不等式：

(4)

以及

(5)

其中μ(x)=x2，ν(y)=y2。

更一般地，通過(guò)引入多個(gè)參變量，構(gòu)造一個(gè)含對(duì)數(shù)函數(shù)的積分核函數(shù)，并同時(shí)考慮齊次型和非齊次型兩種形式，采用統(tǒng)一的處理方法，建立式(4)及式(5)的統(tǒng)一推廣。 首先給出下列引理。

1 引理

引理1a,b>0，a+b=s，φ(x)=cotx，則

(6)

證明 由于φ(x)=cotx的部分分式展開(kāi)形式如下[16]：

(7)

(8)

由式(8)便可得式(6)。

(9)

證明因ρ+β1>0，ρ+β2>0，故

(10)

又因ρ<0，則

(11)

利用分部積分，并把式(10)和式(11)的結(jié)果代入，可得

(12)

(13)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變量替換，可類(lèi)似算得

(14)

結(jié)合式(12)、式(13)和式(14)，并利用引理1的結(jié)果，可得(9)。

且fn(x)及gn(y)定義如下：

(15)

證明作代換xγ1yγ2=t，可得

(16)

當(dāng)γ2>0及γ2<0時(shí)，交換積分順序，總能算得

(17)

將式(17)代入到式(16)，令n→∞，并利用由勒貝格控制收斂定理及式(9)，則有式(15)。

2 主要結(jié)果

(18)

證明由H?lder不等式[16]，得

(19)

作變量代換xγ1yγ2=t，通過(guò)簡(jiǎn)單細(xì)致的計(jì)算，并借助式(9)，可知

(20)

類(lèi)似的計(jì)算，可得

(21)

把式(20)及式(21)代入到式(19)，則可得

(22)

若式(22)可取等號(hào)，則一定有不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)A和B,滿足

a.e.于R+×R+，即

Axp(1-ργ 1)fp(x)=Byq(1-ργ 2)-1gq(y)

a.e.于R+×R+。故有常數(shù)C，使得

Axp(1-ργ 1)fp(x)=C

a.e.于R+，以及

Byq(1-ργ 2)gq(y)=C

最后還需證明式(18)中的常數(shù)因子

使得式(18)的常數(shù)因子換成k后式(18)依舊正確。即

(23)

把引理3中的fn(x)和gn(y)分別替代式(18)中的f(x)和g(y),并利用式(15)，易得

K(x,y)fn(x)gn(y)dxdy

k|γ1|-1/p|γ2|-1/q

令n→∞，則有

這與假設(shè)形成矛盾。因而式(18)的常數(shù)因子為最佳值。定理1獲證。

在定理1中，令β1=2β，β2=β，則有

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(24)

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(25)

其中μ(x)=xp(1+β/2)-1，ν(y)=yq(1+β/2)-1。

在式(25)中，令β=1，p=q=2，則可得式(4)。

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(26)

其中μ(x)=xp(1-β/2)-1，ν(y)=yq(1-β/2)-1。在式(26)中，令β=1，p=q=2，則可得如下基本的Hilbert型不等式。

其中μ(x)=x3p/2-1，ν(y)=yq/2-1。

在定理1中，令β1=3β，β2=β，則有

‖f‖p,μ‖g‖q,ν

(27)

(28)

其中μ(x)=xp(1+β/2)-1，ν(y)=yq(1+β/2)-1。

在式(28)中，令β=1，p=q=2則可得式(5)。