不連續(xù)多目標(biāo)博弈的逼近定理

牟玉霜,賈文生

(貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

J.F. Nash[1-2]提出了在博弈論中重要的解概念——Nash均衡,并利用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理和Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明了均衡點(diǎn)的存在性.之后一些學(xué)者也給出了Nash均衡的存在性定理,這些存在性定理大多數(shù)要求支付函數(shù)是連續(xù)的.然而,在一些重要的經(jīng)濟(jì)模型中,支付函數(shù)往往是不連續(xù)的,于是許多學(xué)者將連續(xù)性條件減弱,引入偽連續(xù)、轉(zhuǎn)移連續(xù)、擬弱轉(zhuǎn)移連續(xù)等各種不連續(xù)的條件,并得到了Nash均衡的存在性結(jié)果[3-5].由于博弈問題的解一般來說不是唯一的,所以均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性研究便成為了博弈論的重要課題之一.文獻(xiàn)[6]證明了:當(dāng)支付發(fā)生擾動(dòng)時(shí),若由支付函數(shù)定義的Ky Fan 函數(shù)是廣義正擬轉(zhuǎn)移連續(xù)的,則該博弈存在本質(zhì)的Nash均衡.文獻(xiàn)[7]研究了當(dāng)支付和策略都擾動(dòng)時(shí)滿足廣義支付條件且支付函數(shù)之和上半連續(xù)的博弈的通有穩(wěn)定性.2019年,V. Scalzo[8]引入了一種不連續(xù)條件——廣義單偏離性,并證明了具有廣義單偏離性的n人非合作博弈存在Nash均衡;進(jìn)一步地,V. Scalzo將廣義單偏離性加強(qiáng)為正廣義單偏離性,給出了具有正廣義單偏離性的博弈Nash均衡的存在性和通有穩(wěn)定性結(jié)果.

一方面,在實(shí)際問題中,局中人的支付函數(shù)一般是多目標(biāo)的,因此,多目標(biāo)博弈更加符合應(yīng)用問題的背景.1959年,L.S. Shaply等[9]引入了多目標(biāo)博弈均衡點(diǎn)的概念.Yang Hui等[10]證明了支付函數(shù)是連續(xù)的多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash均衡及其本質(zhì)連通區(qū)的存在性.Jia Wensheng等[11]給出了在具有連續(xù)支付函數(shù)的廣義多目標(biāo)多主從博弈中弱Pareto-Nash均衡的存在性和通有穩(wěn)定性結(jié)果.文獻(xiàn)[12]得到了具有模糊約束映射的廣義多目標(biāo)博弈均衡點(diǎn)的通有穩(wěn)定性及其本質(zhì)連通區(qū)的存在性結(jié)果.文獻(xiàn)[13]對(duì)在偽連續(xù)條件下廣義多目標(biāo)博弈弱Pareto-Nash均衡及其本質(zhì)連通區(qū)的存在性進(jìn)行了研究.

另一方面,在完全理性下,每個(gè)局中人在決策時(shí)都能選擇對(duì)自己最有利的策略,這種假設(shè)過于理想化,在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性.1955年,H.A. Simon[14]提出了有限理性理論,他認(rèn)為有3個(gè)因素會(huì)影響人們的決策結(jié)果:首先,決策者可以選擇近似的策略;其次,每個(gè)決策者可以選擇近似的函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù);最后,在具體的計(jì)算中,求解方法也是近似的.因此,人們達(dá)到的是在有限理性下的“滿意解”,而不是在完全理性下的“最優(yōu)解”.2001年,L. Anderlini等[15]建立了帶有抽象理性函數(shù)的有限理性模型,但是該模型的假設(shè)條件太強(qiáng),在很多重要的博弈模型中都無法滿足.Yu Chao等[16]將L. Anderlini等[15]的假設(shè)條件減弱,并將改進(jìn)后的有限理性模型應(yīng)用到均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性研究中.

逼近定理是許多問題穩(wěn)定性和求解算法研究的重要內(nèi)容,也是大多數(shù)算法的理論基礎(chǔ).俞建[17]給出了在偽連續(xù)條件下n人非合作博弈問題和多目標(biāo)最優(yōu)化問題的逼近定理.文獻(xiàn)[18]證明了在偽連續(xù)下均衡問題的逼近定理.文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]分別得到了在連續(xù)條件下變分不等式問題和群體博弈問題的逼近定理.文獻(xiàn)[21]對(duì)向量均衡問題的逼近定理進(jìn)行了研究.目前,有關(guān)不連續(xù)博弈的研究大多數(shù)聚焦于均衡點(diǎn)的存在性和通有穩(wěn)定性,對(duì)于不連續(xù)多目標(biāo)博弈問題逼近定理的研究相對(duì)較少.受到以上工作的啟發(fā),本文從逼近的角度在有限理性下研究近似弱Pareto-Nash均衡能否收斂于一類不連續(xù)多目標(biāo)博弈精確解的問題.

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹多目標(biāo)博弈模型.

定義2[23]設(shè)X和Y是2個(gè)拓?fù)淇臻g,K:X→P0(Y)是一個(gè)集值映射,其中P0(Y)表示Y的所有非空子集的集合.

1)若對(duì)Y中任意的開集V,K(x)?V,存在x的開鄰域Ox,使得?x′∈Ox,有K(x′)?V,則稱K關(guān)于x是上半連續(xù)的;

2)若對(duì)Y中任意的開集V,V∩K(x)≠?,存在x的開鄰域Ox,使得?x′∈Ox,有V∩K(x′)≠?,則稱K關(guān)于x是下半連續(xù)的;

3)若K關(guān)于x既是上半連續(xù)的,又是下半連續(xù)的,則稱K關(guān)于x是連續(xù)的.

V. Scalzo[8]引入了正廣義單偏離性的概念,將其推廣到向量值函數(shù)的情形.

定義3多目標(biāo)博弈Ω滿足向量值的正廣義單偏離性,若x∈X不是Ω的均衡點(diǎn),?y∈X,j∈N和A={(a,a,…,a)∈Rk:a≥0},有

Fj(yj,x-j)-Fj(x)∈intA,

存在x的一個(gè)開鄰域Ux和具有非空凸緊值的上半連續(xù)映射ζx:Ux→P0(X),使得?x′∈Ux和y′∈ζx(x′),?i∈N,有

Fi(y′i,x′-i)-Fi(x′)∈intA.

注21)Fi(y′i,x′-i)-Fi(x′)∈intA表示?l=1,2,…,k,fli(y′i,x′-i)-fli(x′)>a(a>0).注意到當(dāng)k=1時(shí),定義3即為文獻(xiàn)[8]中的定義4.

2)向量值的正廣義單偏離性表示當(dāng)x不是均衡點(diǎn)時(shí),存在局中人i可以選擇由一個(gè)具有非空凸緊值的上半連續(xù)映射決定的策略y′,即使其他局中人選擇輕微偏離x的策略,y′在一個(gè)局部保障水平上也能對(duì)所有的目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生嚴(yán)格更優(yōu)的回報(bào).

引理1[17]設(shè){Tn}是在度量空間X中的一列非空有界子集,T是在X中的非空有界子集,O是在X中的開集.若O∩T≠?且h(Tn,T)→0(n→∞),其中h是在X上的Hausdorff距離,則存在正整數(shù)M,使得?n≥M,O∩Tn≠?.

引理2[17]設(shè){Tn}是在度量空間X中的一列非空有界子集,T是在X中的緊子集.若h(Tn,T)→0(n→∞),xn∈Tn,則存在{xn}的子序列{xnr},使得xnr→x∈T.

2 不連續(xù)多目標(biāo)博弈的逼近定理

定理1設(shè)(Xi,di)是一個(gè)度量空間,假設(shè)下列條件成立:

即?m≥M2,?l=1,2,…,k,有

這與條件3)矛盾.

注31)若k=1,則定理1為滿足正廣義單偏離性的n人非合作博弈問題的逼近定理;

若在定理1中xm∈Sm,m=1,2,…,則結(jié)論仍然成立.

推論1設(shè)(Xi,di)是一個(gè)度量空間,假設(shè)下列條件成立:

則

若在定理1中Sm=S,m=1,2,…,則結(jié)論仍然成立.

推論2設(shè)(Xi,di)是一個(gè)度量空間,假設(shè)下列條件成立:

則

3 結(jié)論

本文在有限理性下對(duì)滿足一類不連續(xù)條件的多目標(biāo)博弈問題的逼近定理進(jìn)行了研究.運(yùn)用集值分析的方法,在一定條件下證明了對(duì)于一類不連續(xù)多目標(biāo)博弈的弱Pareto-Nash均衡可以用在有限理性下的近似解來逼近在完全理性下的精確解.為有關(guān)不連續(xù)多目標(biāo)博弈問題的穩(wěn)定性和求解算法提供了理論支撐,并顯示了可以用有限理性逼近完全理性.