基于壓縮感知的OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)方法

李貴勇，呂京昭，陳 博，秦 紅，方澤圣

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)作為一種多載波調(diào)制技術(shù)，已成為寬帶無(wú)線(xiàn)通信的核心技術(shù)。在OFDM系統(tǒng)中，接收端需要獲取信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)用來(lái)恢復(fù)發(fā)送的信號(hào)，因此對(duì)信道估計(jì)技術(shù)的研究十分重要。

傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法，如最小二乘(Least Squares，LS)[1]和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)[2]算法雖然復(fù)雜度較低，但由于巨大的導(dǎo)頻開(kāi)銷(xiāo)導(dǎo)致頻帶利用效率降低。2006年，Donoho等人提出了壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論[3-5]，該理論表明，當(dāng)信號(hào)是稀疏的或可壓縮的時(shí)，可以從有限的樣本值中重建信號(hào)；正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)[6]算法是一種經(jīng)典的貪婪算法，其可以通過(guò)較少的計(jì)算量可靠地重建信號(hào)；正則化正交匹配追蹤(Regularized Orthogonal Matching Pursuit，ROMP)[7]算法一次可以選擇多列原子，再通過(guò)正則標(biāo)準(zhǔn)篩選，可實(shí)現(xiàn)原子快速和有效地選擇；壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)[8]算法每次迭代選擇的原子可能會(huì)在下一次迭代中被丟棄。但以上算法的弊端是需要已知信道稀疏度，稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit, SAMP)[9]算法不需要將稀疏度作為已知條件，但該算法通過(guò)固定步長(zhǎng)估計(jì)稀疏度，會(huì)出現(xiàn)欠估計(jì)和過(guò)估計(jì)問(wèn)題。

針對(duì)實(shí)際信道稀疏度未知的情況，本文提出了一種基于Dice系數(shù)的稀疏度自適應(yīng)正交匹配追蹤(Sparsity Adaptive Dice Orthogonal Matching Pursuit，SADOMP)算法，該算法不需要已知信道稀疏度，且性能要優(yōu)于經(jīng)典信道估計(jì)算法。

1 OFDM系統(tǒng)模型

OFDM系統(tǒng)通過(guò)在發(fā)送端插入已知的導(dǎo)頻信號(hào)輔助信道估計(jì)，發(fā)送端添加循環(huán)前綴(Cyclic Prefix，CP)的過(guò)程是將每個(gè)OFDM符號(hào)末端的一段信號(hào)復(fù)制到此符號(hào)的頭部，這樣可以保證系統(tǒng)子載波的正交性，從而消除了信道多徑效應(yīng)引起的符號(hào)間干擾(Inter Symbol Interference，ISI)和載波間干擾(Inter-Carrier Interference，ICI)，CP長(zhǎng)度一般要大于信道沖激響應(yīng)長(zhǎng)度。OFDM系統(tǒng)接收端是對(duì)發(fā)送端的一個(gè)逆過(guò)程處理。OFDM系統(tǒng)模型如圖1所示。

一個(gè)無(wú)線(xiàn)信道離散時(shí)間信道模型可表示為

式中：h(n)為信道脈沖響應(yīng)；L為信道長(zhǎng)度；αi為第i個(gè)多徑信號(hào)的復(fù)數(shù)比例因子；δ()為沖激函數(shù)；n為采樣點(diǎn)數(shù)；τi為第i個(gè)多徑信號(hào)的到達(dá)時(shí)間。通過(guò)此信道模型發(fā)送信號(hào)會(huì)導(dǎo)致接收端收到L個(gè)多徑信號(hào)的疊加，從而導(dǎo)致信號(hào)衰落和信號(hào)失真。在實(shí)際的無(wú)線(xiàn)信道中，h(n)是由少量的非零抽頭系數(shù)組成，即信道具有稀疏性。

假設(shè)OFDM系統(tǒng)有P個(gè)導(dǎo)頻信號(hào)，放置在k1、k2、k3、…、kP子載波上，一般導(dǎo)頻信號(hào)是均勻地放置在數(shù)據(jù)信號(hào)中，即已知導(dǎo)頻信號(hào)的位置信息，則接收端通過(guò)導(dǎo)頻信號(hào)的位置信息可以提取導(dǎo)頻信號(hào)：

2 CS和重建算法

2.1 CS理論

實(shí)際環(huán)境中的信號(hào)一般不是絕對(duì)稀疏的，只要選擇用適當(dāng)?shù)南∈杌硎靖呔S信號(hào)，就可以通過(guò)有效的算法從高度不完整的線(xiàn)性測(cè)量中恢復(fù)高維信號(hào)。信號(hào)x可以通過(guò)引入稀疏基矩陣表示為x=Ψθ，Ψ為N×N維的稀疏基矩陣，θ為N×1的列向量，表示稀疏基Ψ下的稀疏信號(hào)，當(dāng)θ中的非零元素個(gè)數(shù)K滿(mǎn)足K?N時(shí)，則稱(chēng)信號(hào)x是相對(duì)于稀疏基Ψ的K-稀疏信號(hào)。

當(dāng)信號(hào)滿(mǎn)足稀疏性時(shí)，通過(guò)構(gòu)建觀(guān)測(cè)矩陣，能夠以遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)維度的數(shù)據(jù)無(wú)失真或較低失真的方式重建原始信號(hào)。用公式表達(dá)如下：

式中：y為M×1維的測(cè)量信號(hào)；Φ為M×N維的觀(guān)測(cè)矩陣(滿(mǎn)足M?N)；w∈RN為噪聲向量；A為M×N維的傳感矩陣。

由于M?N，所以式(3)是一個(gè)欠定方程，有無(wú)窮多個(gè)解，但當(dāng)信號(hào)x滿(mǎn)足稀疏條件時(shí)，上述欠定方程可以轉(zhuǎn)化成最小l0范數(shù)問(wèn)題來(lái)求解。當(dāng)N很大時(shí)，最小l0范數(shù)問(wèn)題計(jì)算復(fù)雜度很大，是一個(gè)非確定多項(xiàng)式(Non-deterministic Polynomial，NP)問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]指出可將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易求解的最小l1范數(shù)問(wèn)題，即min||x||1，s.t.y=Φx。文獻(xiàn)[11]指出，當(dāng)傳感矩陣A滿(mǎn)足等距約束性(Restricted Isometry Property，RIP)條件時(shí)，可以準(zhǔn)確地恢復(fù)原始信號(hào)，滿(mǎn)足RIP準(zhǔn)則的條件為(1-δk)‖x‖2≤‖Φx‖2≤(1+δk)‖x‖2，式中，δk為常數(shù)，且δk∈(0,1)。

2.2 基于SADOMP的信道估計(jì)方法

2.2.1 DFT信道估計(jì)

DFT信道估計(jì)算法的具體做法是將LS算法估計(jì)得到的信道頻率響應(yīng)轉(zhuǎn)換到時(shí)域，保留CP內(nèi)的信號(hào)，將CP外部的信號(hào)清零。然后再將信道響應(yīng)值轉(zhuǎn)換到頻域?？紤]到CP內(nèi)部也存在噪聲的影響，算法通過(guò)設(shè)置閾值來(lái)區(qū)分CP中的有效點(diǎn)和噪聲點(diǎn)，進(jìn)一步提高DFT算法消除噪聲的性能。算法流程圖如圖2所示。

圖2 DFT信道估計(jì)算法流程

首先，通過(guò)LS算法獲得信道頻域響應(yīng)HLS，再通過(guò)N點(diǎn)離散傅里葉逆變換(Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT)獲得時(shí)域的信道沖激響應(yīng)hLS：

式中，w(n)為噪聲。將CP長(zhǎng)度之外的信道脈沖響應(yīng)置為零，對(duì)于CP內(nèi)部，通過(guò)以下方式設(shè)置閾值區(qū)分噪聲信號(hào)和有效信號(hào)：

式中：LCP為CP的長(zhǎng)度；σ1為循環(huán)長(zhǎng)度內(nèi)信道沖激響應(yīng)幅度的平均值；σ2為循環(huán)長(zhǎng)度外信道沖激響應(yīng)幅度的平均值；σ為最終的閾值，是σ1與σ2之和。于是，信道的沖激響應(yīng)可表示為

再將hLS(n)做DFT得到信道頻域響應(yīng)HDFT。

2.2.2 Dice系數(shù)匹配準(zhǔn)則

經(jīng)典的貪婪追蹤算法中常用內(nèi)積準(zhǔn)則來(lái)度量殘差向量與傳感矩陣原子的相似度，內(nèi)積值越大，說(shuō)明相似度越高。假設(shè)兩個(gè)N維向量a和b，內(nèi)積準(zhǔn)則的定義如下：

內(nèi)積準(zhǔn)則實(shí)質(zhì)上是通過(guò)計(jì)算殘差向量和傳感矩陣挑選出來(lái)的原子的夾角余弦值來(lái)度量?jī)蓚€(gè)向量的相似度，但內(nèi)積準(zhǔn)則的問(wèn)題在于，匹配過(guò)程中會(huì)丟失原始信號(hào)的部分信息導(dǎo)致匹配不準(zhǔn)確。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，引入Dice系數(shù)準(zhǔn)則：

對(duì)比式(7)和(8)可知，內(nèi)積準(zhǔn)則的分母是對(duì)向量分量的平方和求幾何平均值，Dice系數(shù)準(zhǔn)則的分母是對(duì)向量分量的平方和求算數(shù)平均值。由于算術(shù)平均可以有效解決幾何平均在匹配過(guò)程中丟失原始信號(hào)部分信息的問(wèn)題，更好地保留信號(hào)的原始信息，因此基于Dice系數(shù)準(zhǔn)則挑選出的原子是更優(yōu)的，可以提高算法的恢復(fù)精度。

2.2.3 算法流程

輸入：觀(guān)測(cè)向量y，傳感矩陣A，DFT估計(jì)的信道頻域響應(yīng)HDFT。

(1) 初始化：迭代次數(shù)t=1，初始?xì)埐顁0=y，初始索引集Λ0=?，初始原子支撐集A0=?，初始?xì)埐钆cHDFT之差β0=0；

(2) 利用Dice系數(shù)匹配準(zhǔn)則計(jì)算傳感矩陣A的每一列向量與當(dāng)前殘差rt-1之間的相關(guān)系數(shù)：gt=abs[D(rt-1,AT)]，abs()為取絕對(duì)值，D()為Dice系數(shù)匹配函數(shù)，選擇最大的一個(gè)并找到該系數(shù)對(duì)應(yīng)A的列序號(hào)λt，即λt=arg max|D(rt-1,AT)|；

(3) 更新索引集和原子集：Λt=Λt-1∪{λt}，AΛt=AΛt-1∪{aλt}，其中，aλt為矩陣A的第λt列；

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證SADOMP算法的有效性和可靠性，本文采用Matlab軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，首先進(jìn)行Dice系數(shù)準(zhǔn)則可行性驗(yàn)證，然后對(duì)比本文算法與傳統(tǒng)LS算法和CS OMP算法的誤碼率(Bit Error Rate，BER)和歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)性能。所有結(jié)果都是經(jīng)過(guò)5 000次仿真后求得的平均值。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，調(diào)制方式為正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying，QPSK)，OMP算法在信道稀疏度未知時(shí)，將其迭代次數(shù)設(shè)置為導(dǎo)頻數(shù)的一半[12]。

表1 仿真系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

3.1 Dice系數(shù)準(zhǔn)則可行性驗(yàn)證

可行性驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)分別使用內(nèi)積準(zhǔn)則和Dice系數(shù)準(zhǔn)則對(duì)傳感矩陣原子和殘差向量進(jìn)行匹配，隨機(jī)生成稀疏度K=8、長(zhǎng)度N=1 024的一維信號(hào)，用32×1 024維FFT矩陣作為觀(guān)測(cè)矩陣，對(duì)比在不同迭代次數(shù)下，殘差向量模的變化。結(jié)果如圖3所示。

圖3 Dice系數(shù)準(zhǔn)則和內(nèi)積準(zhǔn)則在迭代中殘差向量模對(duì)比

由圖可知，隨著迭代次數(shù)的增加，殘差向量的模逐漸減小。同時(shí)，使用Dice系數(shù)準(zhǔn)則匹配得到的殘差值比同等條件下內(nèi)積準(zhǔn)則的更小，證明使用Dice系數(shù)準(zhǔn)則挑選出來(lái)的原子更優(yōu)，能夠加速迭代，提高重構(gòu)效率。

3.2 NMSE性能分析

圖4對(duì)比了本文所提SADOMP算法和LS算法、OMP算法在導(dǎo)頻數(shù)為32時(shí)不同信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)下的NMSE性能。由圖可知，隨著SNR的增加，各種算法的NMSE均呈下降趨勢(shì)，在低SNR情況下，3種算法的重構(gòu)性能都較差。隨著SNR的升高，SADOMP算法的NMSE性能明顯優(yōu)于其他兩種算法，與LS和OMP算法相比，本文所提SADOMP算法分別約有10和5 dB的SNR峰值增益。充分驗(yàn)證了基于Dice系數(shù)準(zhǔn)則的SADOMP算法信道估計(jì)的NMSE性能。

圖4 不同算法NMSE曲線(xiàn)對(duì)比圖

圖5對(duì)比了SNR為15 dB時(shí)，3種算法在不同導(dǎo)頻數(shù)下的NMSE性能。由圖可知，隨著導(dǎo)頻數(shù)量的增加，3種算法的NMSE性能均得到提高，這是由于，導(dǎo)頻數(shù)量越多，傳感矩陣中包含的原始信息就越多，重構(gòu)信號(hào)的效果就更好。在導(dǎo)頻數(shù)量相同的條件下，SADOMP算法的NMSE性能明顯優(yōu)于LS和OMP算法；當(dāng)NMSE相同時(shí)，本文所提算法需要的導(dǎo)頻數(shù)量明顯小于另外兩種算法，可以說(shuō)明在相同的重構(gòu)精度下，本文所提算法能夠減少導(dǎo)頻的開(kāi)銷(xiāo)。

圖5 不同導(dǎo)頻數(shù)下各算法NMSE曲線(xiàn)對(duì)比圖

3.3 BER性能分析

圖6對(duì)比了在不同SNR情況下，3種算法的BER性能。由圖可知，隨著SNR的增加，3種算法的BER均呈下降趨勢(shì)，在導(dǎo)頻數(shù)相同的條件下，本文所提算法比OMP和LS算法有更低的BER。

圖6 不同SNR下各算法BER曲線(xiàn)對(duì)比圖

表2 不同SNR下和K的對(duì)比

圖7 不同SNR下和K對(duì)比圖

3.4 復(fù)雜度分析

表3 OMP和SADOMP算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)問(wèn)題，提出了一種基于CS的SADOMP算法。該算法利用DFT估計(jì)算法進(jìn)行降噪處理，并將估計(jì)得到的信道頻域響應(yīng)用于CS算法殘差的判斷條件，使用Dice系數(shù)準(zhǔn)則來(lái)度量殘差向量與傳感矩陣原子的相似度，實(shí)現(xiàn)了稀疏信號(hào)的快速準(zhǔn)確重建。仿真結(jié)果表明，本文所提算法比傳統(tǒng)的CS估計(jì)算法頻譜利用率更高，并且有更好的NMSE和BER性能。同時(shí)，算法能夠在稀疏度未知的情況下對(duì)稀疏度做出較為準(zhǔn)確的估計(jì)。