有限FI代數(shù)的矩陣表示

韋安麗, 李 瑩, 趙建立, 丁文旭

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院/矩陣半張量積理論與應(yīng)用研究中心, 聊城 252000)

模糊蘊(yùn)涵代數(shù)[1],簡稱FI代數(shù),揭示了蘊(yùn)涵算子的本質(zhì)。眾多著名的模糊邏輯代數(shù)系統(tǒng),如MV代數(shù)[2]、BL代數(shù)[3]、R0代數(shù)[4]、剩余格[5]和格蘊(yùn)涵代數(shù)[6]等，都是FI代數(shù)的特殊子類代數(shù)。

迄今為止,許多科學(xué)工作者從事這方面的研究并取得了豐碩成果[7-14]。例如，王國俊[7]證明了3種不同形式的 MV-代數(shù)刻畫的等價性,同時分析了 MV-代數(shù)、BL-代數(shù)和R0代數(shù)的邏輯背景；ZHU和XU[9]發(fā)展了一般剩余格的濾波理論；裴道武等[10]揭示了FI格與模糊邏輯中幾個重要代數(shù)系統(tǒng)之間的緊密聯(lián)系,且一些重要的模糊邏輯代數(shù)系統(tǒng)都是FI格類的子類；吳達(dá)[13]在FI代數(shù)中引進(jìn)“交換”運(yùn)算，從而得到了進(jìn)一步刻畫FI代數(shù)及HFI代數(shù)的若干結(jié)果。

矩陣半張量積是一種新的矩陣乘積,是描述有限集上映射的強(qiáng)大工具,已成功應(yīng)用于布爾網(wǎng)絡(luò)[15]、密碼學(xué)[16]、圖著色[17]、信息安全[18]和車輛控制[19]等領(lǐng)域?；诖?本文將矩陣半張量積應(yīng)用于邏輯代數(shù)研究領(lǐng)域,給出了FI代數(shù)的若干等價刻畫：通過矩陣半張量積方法在統(tǒng)一的理論框架內(nèi)刻畫了有限FI代數(shù);利用矩陣表達(dá)式,將有限FI代數(shù)上抽象的邏輯運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)化為具體邏輯矩陣的簡單運(yùn)算;徹底解決了有限FI代數(shù)同構(gòu)的分類問題。

1 預(yù)備知識

定義1[20]對于矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)p×q,定義A和B的Kronecker積為：

定義2[20]設(shè)矩陣Am×n,Bp×q,定義A與B的半張量積為

矩陣半張量積具有下列性質(zhì)：

引理1[20]設(shè)A,B,C是實矩陣,a,b,則

(3)設(shè)xm,yn,則xy=x?y。

引理 2[20]設(shè)xt,Am×n,則xA=(It?Ax。

定義3[21]換位矩陣W[m,n]mn×mn定義為

換位矩陣的作用是交換2個不同維的列向量因子在矩陣半張量積運(yùn)算下的順序。

引理3[21]設(shè)xm,yn,則W[m,n]xy=yx。

則稱這種表達(dá)為有限集的向量表達(dá)式,其對應(yīng)順序可以任意指定。

例如，在經(jīng)典邏輯中,D={0,1},一個邏輯變量xD可以用向量形式表示:

類似地,經(jīng)典邏輯變量的向量表達(dá)式也可以用于多值邏輯。

例1考慮k值邏輯,定義

基于此,有

利用向量表達(dá)式,一個n維變量邏輯函數(shù)f:Dn→D可以表示為從Δn到Δ的一個映射。

引理4[22]設(shè)映射f:Dn→D,利用向量表達(dá)式,有

其中Mf2×2n是唯一的,叫做f的結(jié)構(gòu)矩陣。

計算顯示Mc=δ2[1222]。類似地,可以得到Md=δ2[1112]和Mn=δ2[21]。

2 有限FI代數(shù)的矩陣表示

定義4[1]一個(2,0)型代數(shù)(X,→,0)稱為模糊蘊(yùn)涵代數(shù),簡稱為FI代數(shù),如果對任意x,y,zX,有

其中1=0→0。

(I1)′M→(t)(It?M→(t))=M→(t)(It?M→(t))W[t,t];

M→(t)(M→(t)xy)(M→(t)(M→(t)yz)(M→(t)xz))=

即

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)xy2z(M→(t)xz)=

進(jìn)一步可得

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))xy2zxz=

則有

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))x×

從而

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))×

故

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))×

(It?W[t,t3])PRt(It?PRt)(It2?PRt)xyz=

由x、y、z的任意性，可得

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))×

(It?W[t,t3])PRt(It?PRt)(It2?PRt)=

由此可知條件(I2)′等價于條件(I2)。證畢。

例3設(shè)t=2,由于→為一個二元算子,故可設(shè)M→(2)=[m1,m2,m3,m4](miΔ,i=1,2,3,4),只有唯一的一組M→(2)滿足定理1的條件(I1)′～(I5)′,即

例4設(shè)t=3,類比上述步驟,運(yùn)用窮舉法只得到4組滿足FI代數(shù)的定義的M→(3)：

可以在FI代數(shù)(X,→,0)上定義一個二元關(guān)系≤：

x≤y?x→y=1 (x,yX)。

顯然,由→誘導(dǎo)的關(guān)系≤是一個偏序。

引理5[10]設(shè)(X,→,0)是一個FI代數(shù),對于任意x,y,zX,下列性質(zhì)成立：

對于有限FI代數(shù),利用結(jié)構(gòu)矩陣M→(t)與矩陣半張量積,可以將引理5的(i)～(vi)由定性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為定量運(yùn)算,給出它們的代數(shù)表達(dá)式。

定理2設(shè)(X,→,0)是一個有限FI代數(shù),且|X|=t<∞。對于FI代數(shù)上的偏序關(guān)系進(jìn)行矩陣表示，得到

由此二元關(guān)系可得到與引理5的(i)～(vi)等價的代數(shù)表達(dá)形式：

證明(i)′～(vi)′的證明方法類似,這里只給出(vi)′的詳細(xì)證明。首先,可將(vi)等價表達(dá)成(y→z)→((x→y)→(x→z))=1,其矩陣表示如下：

M→(t)(M→(t)yz)[M→(t)(M→(t)xy)(M→(t)xz)]=

即

從而

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)yzxyM→(t)xz=

進(jìn)一步可得

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))yzxyxz=

則有

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]xyxyz2=

即

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

從而

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

則

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

(It?W[t,t])PRt(It?PRt)(It2?PRt)xyz=

由x,y,z的任意性,則有

(M→(t))2(It2?(M→(t))2)(It4?M→(t))W[t3,t2]×

(It?W[t,t])PRt(It?PRt)(It2?PRt)=

從而,(vi)′得證。證畢。

3 FI代數(shù)的同態(tài)與同構(gòu)

定義5[1]設(shè)Fi=(Xi,→i,0i)(i=1,2)是2個FI代數(shù),若存在映射f:X1→X2,使得

(i)f(x→1y)=f(x)→2f(y)(x,yX1);

(ii)f(01)=02,

則稱f為FI代數(shù)同態(tài)。

f(x)=Mfx,

其中Mfn×m是f的結(jié)構(gòu)矩陣。

定理3設(shè)Fi=(Xi,→i,0i)(i=1,2)是2個有限FI代數(shù),且|X1|=m<∞,|X2|=n<∞,存在映射f:X1→X2,f為FI代數(shù)同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)

(i)′MfM→(m)=M→(n)Mf(Im?Mf);

證明利用矩陣表示易得定理3的條件(i)′、(ii)′分別等價于定義5的條件(i)、(ii)。 證明過程如下：?x,yX1,條件(i)的矩陣表示如下：

Mf(M→(m)xy)=M→(n)(Mfx)(Mfy),

MfM→(m)=M→(n)Mf(Im?Mf)。

從而證得條件(ii)′與條件(ii)等價。證畢。

定義6[1]設(shè)Fi=(Xi,→i,0i)(i=1,2)是2個FI代數(shù),且映射f:X1→X2為FI代數(shù)同態(tài),如果f是一對一且映上的,那么f稱為FI代數(shù)同構(gòu)。

定義7[20]給定一個置換τSn,定義它的結(jié)構(gòu)矩陣Mτ如下：

稱Mτ為置換矩陣。

(i)T是一個置換矩陣,即存在一個置換τSn,使得T=Mτ,因此TT=T-1;

證明由定義6知,映射f:X1→X2是一對一且映上的,則存在一個τSn,使得f(i)=τ(i)(i=1,2,…,n)。 當(dāng)x=iDn表示為向量形式時,有f(i)=(〗τ(i)=)〗Mτ(x)。于是

從而可得

證畢。

例5在例3中,當(dāng)n=2時,沒有非平凡同構(gòu)。

4 FI代數(shù)的導(dǎo)子

本節(jié)利用矩陣半張量積與邏輯矩陣運(yùn)算來考慮有限FI代數(shù)上的導(dǎo)子：首先，引入(l,r)-導(dǎo)子、(r,l)-導(dǎo)子和導(dǎo)子的概念,并給出它們的一些性質(zhì)；然后，利用矩陣表達(dá)式,將d、⊕、→所滿足的運(yùn)算規(guī)律轉(zhuǎn)化為具體邏輯矩陣的簡單運(yùn)算；最后，通過邏輯矩陣運(yùn)算給出FI代數(shù)關(guān)于導(dǎo)子的新性質(zhì)。

定義8[23]設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù),對于映射d:X→X：

(i)若d滿足:?x,yX,有

d(x→y)=(d(x)→y)⊕(x→d(y)),

則稱d是X上的(l,r)-導(dǎo)子;

(ii)若d滿足:?x,yX,有

d(x→y)=(x→d(y))⊕(d(x)→y),

則稱d是X上的(r,l)-導(dǎo)子;

(iii)若d既是X上的(l,r)-導(dǎo)子,又是X上的(r,l)-導(dǎo)子,則稱d是X上的導(dǎo)子,并稱(X,d)是導(dǎo)子FI代數(shù);

(iv)若d滿足?xX,有d(x)=1,則稱d是X上的平凡導(dǎo)子。

利用矩陣半張量積以及矩陣表達(dá)式研究有限FI代數(shù)上的導(dǎo)子時,定義一種新的二元運(yùn)算⊕：?x,yX,x⊕y=x′→y,其中x′是x的偽補(bǔ),滿足?xX,x′=x→0。Md、M⊕(t)分別是d、⊕的結(jié)構(gòu)矩陣,且由⊕所滿足的運(yùn)算規(guī)律,可以得到

定理5設(shè)(X,→,0)是有限FI代數(shù),且|X|=t<∞,對于映射d:X→X：

(i)′d是X上的(l,r)-導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt);

(ii)′d是X上的(r,l)-導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)(It?Md)(It2?M→(t))×

(It2?Md)(It?W[t,t])PRt(It?PRt);

(iii)′d是X上的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt),

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)(It?Md)(It2?M→(t))×

(It2?Md)(It?W[t,t])PRt(It?PRt);

(iv)′d是X上的平凡導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

證明這里只提供(i)′的詳細(xì)證明，其他結(jié)論類似。定義8(i)中等式的矩陣表示如下：

Md(M→(t)xy)=M⊕(t)(M→(t)(Mdx)y)(M→(t)x(Mdy)),

即

MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))xyxMdy。

進(jìn)一步可得

MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])x2yMdy,

從而

MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRtxyMdy,

則有

MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRt(It2?Md)xy2,

進(jìn)而有

MdM→(t)xy=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt)xy。

由x,y的任意性,則有

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt)。

故定理5(i)′的條件與定理8(i)的條件等價。證畢。

例7設(shè)X={0,a,b,c,1},其中0

(1)

M→(5)=

M⊕(5)=

則由定理1可得(X,→,0)是FI代數(shù)，再將結(jié)構(gòu)矩陣M→(5)、M⊕(5)和Md1代入定理5，滿足定理5(iii)′的條件，即d1既是X上的(l,r)-導(dǎo)子，又是X上的(r,l)-導(dǎo)子，因此，d1是X上的導(dǎo)子。

例8設(shè)X={0,a,b,c,1},在X上定義→的運(yùn)算表和映射d2:X→X為：

類似地,可以得到M→(5)、Md2和M⊕(5)：

M→(5)=

M⊕(5)=

同樣地,將M→(5)代入定理1得到(X,→,0)是FI代數(shù),將M→(5)、M⊕(5)和Md2代入定理5,可知d2是X上的(r,l)-導(dǎo)子,但不是X上的(l,r)-導(dǎo)子,從而不是X上的導(dǎo)子。

引理6[23]設(shè)(X,→,0)是FI代數(shù)。若d是X上的(l,r)-導(dǎo)子((r,l)-導(dǎo)子或?qū)ё?,則?x,yX,有

定理6設(shè)(X,→,0)是有限FI代數(shù),且|X|=t<∞。若d是X上的(l,r)-導(dǎo)子((r,l)-導(dǎo)子或?qū)ё?,則下列性質(zhì)成立:

證明下面僅給出(iii)′的詳細(xì)證明。利用偏序關(guān)系,可將引理6的(iii)轉(zhuǎn)化為

(d(x)→d(y))→d(x→y)=1。

(2)

M→(t)(M→(t)(Mdx)(Mdy))(Md(M→(t)xy))=

即

進(jìn)一步可得

從而

(M→(t))2Md(It?Md)(It2?MdM→(t))×

則有

(M→(t))2Md(It?Md)(It2?MdM→(t))×

由x、y的任意性,有

(M→(t))2Md(It?Md)(It2?MdM→(t))×

于是(iii)′得證。證畢

定理7設(shè)(X,→,0)是有限FI代數(shù),且|X|=t<∞。若d1,d2,…,dn均是X上的導(dǎo)子,則d=d1·d2·…·dn是X上的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)Md(It2?M→(t))×

(It?W[t,t])PRt(It2?Md)(It?PRt),

MdM→(t)=M⊕(t)M→(t)(It?Md)(It2?M→(t))×

(It2?Md)(It?W[t,t])PRt(It?PRt),

其中，Md=Md1·Md2·…·Mdn,Mdi(i=1,2,…,n)為di的結(jié)構(gòu)矩陣。

證明由定理5可得d是X上的導(dǎo)子,則映射d的結(jié)構(gòu)矩陣Md滿足定理5(iii)′的條件。又因為d是多個映射復(fù)合而成的,可得其結(jié)構(gòu)矩陣Md滿足Md=Md1·Md2·…·Mdn,即結(jié)論成立。證畢。

5 小結(jié)

本文基于矩陣半張量積對有限FI代數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行了研究,將有限FI代數(shù)上的邏輯表達(dá)式轉(zhuǎn)化為邏輯矩陣的簡單運(yùn)算,并以此為基礎(chǔ)研究了有限FI代數(shù)上的同態(tài)與同構(gòu),徹底解決了有限FI代數(shù)同構(gòu)的分類問題。同時,有限FI代數(shù)上的導(dǎo)子也被用矩陣半張量積方法進(jìn)行了分析,對于給定有限FI代數(shù)上的若干導(dǎo)子,得到了可直接驗證各導(dǎo)子復(fù)合運(yùn)算之后是否仍為FI代數(shù)上導(dǎo)子的充要條件。