降線問題的阿貝爾積分方程的求解*

邢家省

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)“數(shù)學(xué)、信息與行為”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191)

等時(shí)降線問題[1-4]是歷史上著名的問題.1673年，惠更斯利用幾何方法證明了等時(shí)降線的解為一條倒擺線.1690年，雅各布·伯努利發(fā)表了關(guān)于等降線的解答，導(dǎo)出了等時(shí)降線問題的解是一條倒擺線.拉格朗日和歐拉也運(yùn)用解析方法解出了等時(shí)降線問題.1823年，阿貝爾將降線問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)積分方程的求解問題，從此引起了人們對積分方程的關(guān)注.筆者擬對等時(shí)降線的積分方程給出嚴(yán)密的求解方法，對等時(shí)降線的微分方程給出自然的解法，以期形成一套完整的方法體系，便于引用和傳播.

1 質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下降所需時(shí)間的公式

建立xOy坐標(biāo)系，Ox軸正向水平向右，Oy軸正向豎直向上.設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y2)，x1

或者為

設(shè)曲線L的最低點(diǎn)在Ox軸上，質(zhì)點(diǎn)在曲線L上從高度為h的點(diǎn)處靜止開始下降到最低點(diǎn)處所需時(shí)間[1-4]為

(1)

(1)式是由阿貝爾導(dǎo)出的積分方程，由此引起了學(xué)者對阿貝爾積分方程求解問題的興趣[1-9].

2 阿貝爾積分方程的拉普拉斯變換求解

(2)

積分方程問題[1,4]是給定函數(shù)T(h),尋找函數(shù)φ(y)，使得滿足(2)式.

考慮如下積分方程問題：

(3)

其中0<α<1.阿貝爾運(yùn)用拉普拉斯變換[7-13]給出了(3)式的求解方法.將拉普拉斯變換記為

引理1[7]設(shè)常數(shù)m>-1，則有

引理2[7]設(shè)常數(shù)0<α<1，則有

對(3)式兩邊作拉普拉斯變換，利用拉普拉斯變換的卷積性質(zhì)可得

L(φ)(s)L(t-α)(s)=L(f)(s).

利用廣義積分的計(jì)算方法[14-20]可得

于是

利用

由拉普拉斯變換的性質(zhì)可得

(4)

(4)式即為(3)式的求解公式，將(3)式的解寫為(4)式的形式可便于使用.

由余元公式[7-13]可得

(5)

現(xiàn)考慮(2)式的求解問題.當(dāng)T(h)=T(T為常數(shù))，即等時(shí)降線情形時(shí)，利用(5)式可得

于是

從而得到等時(shí)降線情形時(shí)的微分方程

(6)

進(jìn)一步對微分方程(6)進(jìn)行求解，可知等時(shí)降線是一條倒擺線.這里給出的解法是阿貝爾關(guān)于等時(shí)降線問題的求解方法[1-9].

3 質(zhì)點(diǎn)從有限高度下落的降線問題的阿貝爾積分方程

設(shè)常數(shù)H>0.因?yàn)閷?shí)際降線問題是從有限高度下落的，所以降線問題可歸結(jié)為如下的積分方程和微分方程問題[1-4]：

(7)

(8)

積分方程問題[1,4]是給定函數(shù)T(h),尋找函數(shù)φ(y)，使得滿足(7)式.

4 有限區(qū)間上的積分方程求解

引理3[2,9]設(shè)a

證明

證畢.

引理4[2,9]設(shè)p(x)∈C1[a,b]，且p(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增，0<α<1，則有

證明

證畢.

考慮積分方程

(9)

其中0<α<1.

引理5[2,9]設(shè)p(x)∈C1[a,b]，且p(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增，0<α<1，f(x)∈C[a,b],則(9)式的解為

證明利用(9)式及引理4，可得

于是

證畢.

利用引理5可得如下結(jié)論：

引理7[2,9]設(shè)φ(x)在(0,H]上連續(xù)可積，令

則有

5 等時(shí)降線的阿貝積分方程求解

現(xiàn)對等時(shí)降線的積分方程進(jìn)行求解，即T(h)為常數(shù)T時(shí)進(jìn)行求解.此時(shí)積分方程為

(10)

對(8)式利用定理3，可得

于是

(11)

(11)式就是(10)式的解式.

6 等時(shí)降線是倒擺線的證明

在等時(shí)降線情況下，利用(10)式的解式(11)，得到如下常微分方程：

(12)

令t=2θ，則有

這正是倒擺線的方程形式，由此可知等時(shí)降線是倒擺線.Oprea[21]和邢家省等[22]對倒擺線具有等時(shí)性給出了計(jì)算驗(yàn)證.