延性金屬層裂強度對溫度、晶粒尺寸和加載應變率的依賴特性及其物理建模*

張鳳國 趙福祺 劉軍 何安民 王裴

(北京應用物理與計算數(shù)學研究所,北京 100088)

層裂強度表征了材料內(nèi)部最大動態(tài)抗拉能力,并與材料本身的力學性質(zhì)以及損傷早期演化相關(guān).建立層裂強度計算的解析表達式,深入認識層裂強度所包含的微細觀物理涵義,有利于更好地優(yōu)化延性金屬材料的層裂強度.目前大量的實驗表明:延性金屬材料的層裂強度對加載拉伸應變率、溫度效應以及材料初始微細觀結(jié)構(gòu)具有很強的依賴關(guān)系.本文基于對孔洞成核與增長的損傷早期演化特性的分析,以及對溫度效應和晶粒尺寸與材料本身力學性質(zhì)之間關(guān)系的分析,給出了簡單、實用的層裂強度的解析物理模型,物理模型的計算結(jié)果與典型延性金屬高純鋁、銅和鉭的層裂強度實驗結(jié)果基本符合,從而驗證了我們給出的層裂強度模型具有較好的適用性和預測性.

1 前言

爆轟、激光加載或高速彈飛片撞擊導致靶板內(nèi)部形成近似三角形沖擊波,沖擊波在靶板自由面反射形成的卸載稀疏波與沖擊波疊加在靶板內(nèi)部產(chǎn)生拉伸作用區(qū)域,當拉伸應力足夠高時,靶板材料產(chǎn)生層裂拉伸損傷破壞.該問題涉及強沖擊加載下的工程防護、軍事上裝甲/甲板的沖擊破壞以及武器內(nèi)爆混合等眾多工程領(lǐng)域,在國防工業(yè)和金屬材料加工技術(shù)研究中有其重要的應用背景.此外,對該問題的深入研究涉及到固體力學、材料科學、固體物理等多種學科之間的相互交叉和滲透,近年發(fā)展起來的物理統(tǒng)計方法和從微觀→介觀→宏觀的跨尺度研究方法,使人們對此問題從判據(jù)性準則研究發(fā)展到從微觀、介觀尺度損傷演化到宏觀尺度破壞的深層次研究,極大地豐富了人們對動態(tài)破壞本質(zhì)的認識,形成了具有鮮明特色的交叉學科的研究方向,因而具有重要的科學意義.

層裂強度是層裂損傷研究的關(guān)鍵問題之一,其表征材料的動態(tài)抗拉強度,同時也與最大拉伸斷裂應力相關(guān),最大拉伸斷裂應力是目前一般工程問題仍然廣泛采用的材料破壞斷裂的主要判據(jù)之一.結(jié)合層裂實驗自由面速度曲線的觀測結(jié)果,基于聲學近似,Novikov[1]給出的層裂強度計算公式為pspall=0.5ρ0CbΔu(ρ0為材料初始密度,Cb為材料的體積聲速,Δu為自由面速度曲線最大值與其后曲線回跳點之間的速度差值),之后,Stepanov[2]考慮材料塑性變形影響、Romanchenko 和Sepanov[3]考慮沖擊波傳播過程中波形和強度的改變、Kanel[4]考慮損傷增長的因素以及Turley 等[5]、Mallick 等[6]對此公式進行了不斷地完善和修正.盡管如此,不同修正公式計算得到的層裂強度不僅差別很大,而且與工程中采用的最大拉伸斷裂應力判據(jù)也存在較大差別,這涉及到對與層裂強度直接相關(guān)的回跳點所包含物理涵義的認識.目前對于回跳點對應的材料損傷狀態(tài)的理解還存在較大的分歧,Zurek 等[7]指出此時材料已完全分離;謝普初等[8]認為材料內(nèi)部微缺陷(微裂紋、微孔洞)的激活導致了速度回跳;Eftis 等[9]指出回跳速度值與拉伸應力松弛量相關(guān)聯(lián),并對應于一定量的損傷;Tonks 等[10]進一步定性確定其損傷度約為0.0005;Kanel 等[11]觀察到,即使層裂面的損傷非常小,速度剖面仍有層裂回跳信號產(chǎn)生;Antoun 等[12]基于波的相互作用指出回跳點對應層裂面處的拉伸應力最大值,也就是說,需要將層裂強度與材料變形、損傷演化關(guān)聯(lián)在一起進行分析.此外,大量的實驗結(jié)果顯示層裂強度具有很強的應變率依賴性:層裂強度隨著加載拉伸應變率的提高而增長,且在應變率高于106s—1時,層裂強度快速提高.為此,一些學者擬合實驗結(jié)果給出了層裂強度與應變率之間的關(guān)系式pspall=(為加載拉伸應變率,p0,η 為擬合參數(shù))[13,14],但擬合公式并沒有將層裂強度與損傷發(fā)展關(guān)聯(lián),而且,不同的人給出的擬合參數(shù)也可能不盡相同.同時,Zaretsky 和Kanel[15],Garkushin 等[16]針對金屬銅以及Zaretsky 和Kanel[17],Garkushin 等[16]和Bogach 等[18],Kanel[4]針對金屬鋁探討了材料初始溫度對層裂損傷的影響,并進一步指出隨著材料溫度的升高,層裂強度強度呈指數(shù)迅速降低這一實驗現(xiàn)象.對于材料初始微結(jié)構(gòu)的影響,相關(guān)學者實驗分析了材料晶粒尺寸對金屬鋁[19-21]、金屬銅[22,23]和金屬鉭[14]層裂損傷演化過程以及層裂強度的影響,但分析結(jié)果并不統(tǒng)一.在理論分析方面,雖然近期Wilkerson 和Ramesh[24]與Nguyen 等[25]基于孔洞成核以及應變率對損傷早期演化影響的分析,給出的具有一定預測能力、反映率相關(guān)性的層裂強度計算解析公式,但采用的孔洞成核公式并沒有反映應變率的影響,且解析公式的參數(shù)較多,從而限制了該方法的適用性.綜上所述,基于對層裂強度概念的深入解讀,建立較為廣泛適用于工程需求的層裂強度解析計算方法,需要深入解析加載的率效應、強度效應以及材料微細觀結(jié)構(gòu)分布特性等因素對層裂損傷演化過程的影響.

建立層裂強度計算的解析表達式,深入認識層裂強度所包含的微細觀物理涵義,有利于更好地優(yōu)化延性金屬材料的層裂強度.本文基于孔洞的成核及早期增長,研究加載率效應以及材料的初始微結(jié)構(gòu)/微缺陷分布特性對微孔洞成核及增長的影響,考察材料初始溫度對層裂強度的影響,尋求構(gòu)建基于物理的、適用范圍廣的層裂強度解析表達式,并進一步解析應變率和材料初始微結(jié)構(gòu)對層裂強度影響的物理機理.

2 孤立孔洞的成核與早期增長

一般而言,層裂問題屬于準一維的材料動態(tài)拉伸損傷演化問題,延性金屬的層裂損傷演化過程表現(xiàn)為材料內(nèi)部大量的孔洞成核、增長和匯合及材料宏觀斷裂破壞.采用空心球模型唯像描述損傷發(fā)展是理論研究的主要方法之一,這包括目前代表性的層裂損傷模型Tonks 模型[10]、NAG 模型[26]、VG模型[27]以及近期Czarnota 等[28]和Wilkerson[29]的工作等.

根據(jù)當前的研究分析,材料的層裂強度表征了材料內(nèi)部層裂面處的最大拉伸應力.同時,Wilkerson[29]以及Wright 和Ramesh[30]指出,當損傷度很小時(φ＜0.02),材料內(nèi)部的拉伸應力即以達到最大值(即層裂強度pspall),張鳳國等[31]進一步分析給出此時刻近似對應材料因孔洞增長達到完全塑性變形,即φ=φcr.這個時期因損傷度很小,孔洞間的相互作用可以忽略,孔洞基本保持孤立形式增長,同時,加載應力在t0時刻以后近似線性增長[12],即:

對于孔洞早期增長,首先采用Jonson[27]給出的目前仍然廣泛使用的空心球殼模型,即勻布拉伸應力p作用下半徑r=a的孔洞內(nèi)置于半徑r=b的空心球殼增長模型,在基體材料(a≤r≤b)彈塑性變形階段的孔洞增長方程可以描述為

其中損傷度φ=a3/b3;ρ,G,Y0分別代表材料的密度、剪切模量以及屈服強度.忽略慣性影響,當φ趨于零時,可以得到孔洞的成核應力閾值pc為

同時,基體材料彈塑性變形界面(r=c,且a≤c≤b)與孔洞大小之間的關(guān)系為

當基體材料達到完全塑性變形時(c=b),得到對應的臨界損傷度為

為了得到層裂強度的解析解,對于孔洞早期增長階段(a?b),(2)式可以進一步簡化為Wu 等[32]給出的孤立孔洞增長方程:

在線性加載下,積分(6)式可以得到孔洞增長方程:

以及孔洞大小:

其中tc為孔洞成核時刻.

3 簡單的孔洞成核率描述

為了反映率效應對孔洞成核率的影響,將Seaman 等[26]給出的具有代表性的孔洞成核率模型改寫為

其中N0反映了材料初始微結(jié)構(gòu)對潛在孔洞數(shù)的影響,其與材料的初始晶粒大小、雜質(zhì)、微孔洞等因素相關(guān);N為單位體積內(nèi)的孔洞總數(shù).

4 加載拉伸應變率對層裂強度的影響

在孔洞早期增長過程中,根據(jù)損傷度的定義有

則損傷度的增長率為

其中Re為平均孔洞半徑,R0為孔洞成核參考尺寸.

根據(jù)(1)式、(7)式和(8)式有

同時,根據(jù)(8)式,孔洞成核參考尺寸R0可以寫為

則(12)式右側(cè)最后一項積分,有

這里tcr為損傷度達到φcr時的時間.φ0相當于所有成核孔洞總數(shù)與參考初始孔洞成核體積的乘積,顯然φ0?φcr,則:

取tc臨近時刻t1(對應的應力為p1),t1＞tc,積分(15)式有

根據(jù)(8)式和(9)式,因為

所以

將(18)式代入(16)式,則(16)式可以改寫為

進一步簡化為

至此,基于孔洞的成核及早期增長得到了材料層裂強度與加載拉伸應變率之間關(guān)聯(lián)的解析解,而加載應變率不僅可以直接采用程序的數(shù)值計算結(jié)果,也可以根據(jù)層裂實驗得到的自由面速度回跳點前的曲線下降斜率計算給出.此外,我們給出的層裂強度計算的解析解同時耦合了微慣性以及材料微結(jié)構(gòu)對層裂強度的影響.

大量的平板撞擊層裂實驗、激光和爆轟加載層裂實驗以及分子動力學模擬分析結(jié)果均顯示了層裂強度對應變率影響的依賴性.雖然因?qū)恿褜嶒灥募虞d方式以及高應變率激光加載中材料細觀結(jié)構(gòu)的直接影響(靶板尺度一般只有幾十到上百微米)造成層裂強度實驗數(shù)據(jù)具有一定的分散性,但率效應影響的變化趨勢相同,即低應變率范圍內(nèi)層裂強度的率效應影響較小,而在高應變率情況,層裂強度隨應變率的增長而快速增加[33-41].為了驗證給出的層裂強度計算方法的適用性以及可預測性,對(103—109s—1)拉伸應變率加載范圍內(nèi)鋁、銅、鉭三種典型延性金屬的層裂強度實驗結(jié)果進行模擬,表1 列出了三種金屬的材料參數(shù)以及模型的計算參數(shù).圖1、圖2、圖3 分別給出了典型高純延性金屬鋁、銅、鉭層裂強度隨加載應變率變化的實驗結(jié)果和理論解析計算結(jié)果,對比顯示:層裂強度隨著應變率的提高而提高,低應變率下層裂強度的率效應影響較小,當應變率大于106s—1時,層裂強度隨著應變率快速增加;同時,根據(jù)本文給出的公式得到的理論計算結(jié)果與不同材料的實驗結(jié)果符合較好,且理論解析解具有較好的預測性,這在當前的研究中還是比較少見的.

表1 材料參數(shù)以及層裂強度模型參數(shù)Table 1. Material parameters and parameters of spall strength model.

圖1 金屬鋁材料層裂強度與加載拉伸應變率的關(guān)系Fig.1.Spall strength in both experimental and calculated results of commercial pure aluminum.

圖2 高純金屬銅層裂強度與加載拉伸應變率的關(guān)系Fig.2.Spall strength in both experimental and calculated results of pure copper.

圖3 金屬鉭材料層裂強度與加載拉伸應變率的關(guān)系Fig.3.Spall strength in both experimental and calculated results of pure tantalum.

5 材料初始微缺陷對層裂強度的影響

目前的實驗分析結(jié)果顯示:材料的初始微結(jié)構(gòu),如晶粒尺寸,也是影響材料層裂強度的1 個主要因素.一般而言,材料的層裂強度隨著晶粒尺寸的增加而增加,在較低的拉伸應變率加載下(＜105s—1),這種影響很小[20,22,23];而在高拉伸應變率加載下,材料的層裂強度明顯隨著晶粒尺寸的增加而增加[14].孔洞成核于晶界及晶界交匯處,晶粒越小,潛在的成核孔洞數(shù)越多,(21)式中N0為孔洞成核參數(shù),與材料的初始微結(jié)構(gòu)相關(guān),特別是材料的晶粒尺寸:晶粒尺寸越小,N0越大.不過,成核孔洞數(shù)不僅與晶粒尺寸有關(guān),同時也與晶粒形狀以及晶粒取向相關(guān),這就造成目前并沒有統(tǒng)一表征孔洞成核數(shù)與晶粒尺寸之間關(guān)系的關(guān)系式.常用的方法有孔洞數(shù)與晶粒尺寸之間的倒數(shù)關(guān)系[24]N0=以及我們之前采用的孔洞數(shù)與晶粒體積之間的倒數(shù)關(guān)系[42]N0==100 μm 為參考晶粒尺寸),顯然,不同的描述方法計算結(jié)果的差別很大.為了方便進一步完善層裂強度的解析解,基于我們給出的層裂強度計算方法,結(jié)合晶粒尺寸與層裂強度之間關(guān)系的實驗結(jié)果,對比計算結(jié)果從而確定采用第一種表征方法,即:

實際上,晶粒尺寸不僅與潛在的孔洞成核數(shù)相關(guān),同時也影響材料的基本力學性質(zhì).晶粒尺寸很小時,特別是納米級晶粒尺寸對材料的屈服強度以及彈性模量等均有很大的影響,而對于微米及以上晶粒尺寸變化的影響主要表現(xiàn)在對屈服強度的影響.為了得到層裂強度的解析解,針對微米以上晶粒尺寸的延性金屬材料,忽略晶粒尺寸對材料彈性模量以及聲速的影響,同時晶粒尺寸與材料的屈服強度滿足Hall-Petch 關(guān)系[43,44]:

這里σ0和ky為材料參數(shù),dG為晶粒尺寸.

對于純鉭金屬,σ0=0.1841 GPa,ky=0.4142 GPa·μm—1/2[45],同時,結(jié)合實驗數(shù)據(jù)[14],確定層裂強度解析模型的微結(jié)構(gòu)參數(shù)為:=3.026×1013m—3.雖然目前有一些實驗討論晶粒尺寸對層裂強度的影響,但在相同或相近高應變率加載下的實驗數(shù)據(jù)還不多.圖4 給出了在6×106s—1加載應變率下,晶粒尺寸與層裂強度關(guān)系的實驗結(jié)果和計算結(jié)果對比,顯然實驗中材料的晶粒尺寸從20.5 μm到266 μm 跨越了很大范圍,但晶粒尺寸的影響是單調(diào)、連續(xù)的,我們模型的計算結(jié)果均在實驗值的誤差范圍之內(nèi),且符合很好.圖5 給出了晶粒尺寸、應變率與層裂強度之間關(guān)系的計算云圖,計算結(jié)果顯示:低應變率加載下材料的晶粒尺寸變化對層裂強度的影響很小,可以近似忽略;應變率越高,晶粒尺寸對層裂強度的影響越大,這與實驗分析結(jié)果一致.不過,相對于圖3 而言,圖4 和圖5 層裂強度的計算結(jié)果偏高,這與實驗結(jié)果具有一定分散性有關(guān),圖4 實驗結(jié)果的誤差下限與圖3 中的實驗結(jié)果對應,而我們是基于圖4 的實驗結(jié)果確定的層裂強度解析模型微結(jié)構(gòu)參數(shù).

圖4 晶粒尺寸對純鉭金屬層裂強度的影響Fig.4.Experimental data and numerical results show there is a correlation between spall strength and grain size for pure tantalum.

圖5 晶粒尺寸、應變率對純鉭金屬層裂強度的影響Fig.5.Spall strength vs.grain size and tensile strain rate for pure tantalum.

6 材料初始溫度對層裂強度的影響

強沖擊加載下材料內(nèi)部因大變形導致溫升,進而引起材料層裂強度的降低.因?qū)嶒炆喜牧蟽?nèi)部溫度變化觀測上的困難以及數(shù)值計算中溫度計算上的不確定性,一般采取間接方式分析溫度對層裂強度的影響,即研究材料初始溫度對層裂強度的影響.首先對于適用于強沖擊的SCG 本構(gòu)方程而言,溫升(f(T)=B(T-T0))對材料的本構(gòu)影響可以表述為[46]

其中T為材料溫度;εp為等效塑性應變;εi為初始塑性應變;μ為體積應變;β,A,B,n為材料常數(shù).據(jù)此,初始溫度對材料的力學性能的影響可以表述為:Y=Y0f(T),G=G0f(T).同時,鑒于材料體積聲速與材料彈性模量之間的關(guān)系,初始溫度對材料體積聲速的影響為:C2=.其次,因SCG本構(gòu)對材料的屈服強度溫度軟化效應估計不足,我們采用李茂生和陳棟泉[47]給出的與實驗結(jié)果符合較好的指數(shù)衰減形式,即:

其中α為材料的本構(gòu)參數(shù),Tm為材料熔化溫度,T0為參考初始溫度.則與溫度相關(guān)的層裂強度表達式為

對于純鋁材料:α=6.8,Tm=1220 K,T0=300 K.圖6 給出了105s—1應變率加載下材料初始溫度對層裂強度影響的實驗結(jié)果[4]和層裂強度模型計算結(jié)果,對比顯示:我們給出的模型很好地描述了層裂強度隨溫度升高呈指數(shù)下降的變化趨勢,且計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)符合較好.采用(27)式,圖7 給出了溫度效應、加載應變率效應對材料層裂強度綜合影響的計算云圖.計算結(jié)果進一步顯示了:在溫度變化初期,層裂強度降低幅度很小,當溫度接近材料熔化溫度時,層裂強度迅速降低;不同加載拉伸應變率下,層裂強度隨溫度的變化趨勢基本相同.

圖6 初始溫度對純鋁材料層裂強度的影響Fig.6.Temperature dependence of the spall strength for pure aluminum.

圖7 初始溫度、應變率對層裂強度的影響Fig.7.Spall strength vs.temperature and tensile strain rate for pure aluminum.

至此,綜合(21)式、(22)式、(23)式與(27)式,給出了包含溫度效應、加載率效應以及材料初始微細觀結(jié)構(gòu)信息的層裂強度解析表達式,解析解除了材料的基本物理參數(shù)外,只有1 個待定參數(shù),模型的應用非常方便.此外,在解析解的推導過程中,雖然我們進行了一些簡化,處理方法看似簡單粗糙,但最后的計算結(jié)果顯示這些處理方法是可行的,解析解的計算結(jié)果與實驗結(jié)果的對比也驗證了我們給出的層裂強度解析模型具有很好的適用性.

7 結(jié)論

基于對孔洞成核與增長的損傷早期演化特性的分析以及對溫度效應和晶粒尺寸與材料本身力學性質(zhì)之間關(guān)系的分析,給出了簡單、實用的材料層裂強度的解析物理模型,且模型本身只包含1 個待定參數(shù),有利于程序的實現(xiàn).同時,解析模型不僅反映了層裂強度隨加載應變率呈指數(shù)的遞增變化趨勢以及隨溫度提高的指數(shù)衰減變化情況,而且解析模型也揭示了材料初始微細觀結(jié)構(gòu)對層裂強度影響的物理機理.此外,基于本文的分析方法,通過解析微米以下晶粒等特殊因素對材料屈服強度、彈性模量的影響,本文給出的層裂強度物理模型模型也可以較好地加以擴展.