面向CFRP損傷檢測(cè)的改進(jìn)L1正則化EIT方法

范文茹， 王 馳

(中國(guó)民航大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300300)

碳纖維復(fù)合材料(carbon fiber reinforced polymer，CFRP)因其較高的強(qiáng)度質(zhì)量比，較強(qiáng)的耐腐蝕性、耐熱性等優(yōu)點(diǎn)被越來越多的應(yīng)用于國(guó)防、航空航天、汽車等領(lǐng)域。在生產(chǎn)和使用中，各類損傷是不可避免的，因此對(duì)于CFRP的無損檢測(cè)技術(shù)尤為重要。目前對(duì)CFRP檢測(cè)主要包括超聲[1-2]、聲發(fā)射[3-4]、熱成像[5-6]、X射線[7-8]等手段。上述CFRP檢測(cè)方法雖然有一定的效果，但是也面臨著設(shè)備昂貴、需要大量人力、操作復(fù)雜和輻射等問題。電阻抗層析成像技術(shù)(electrical impedance tomography，EIT)因其低成本、操作簡(jiǎn)單、無輻射等優(yōu)點(diǎn)近年來在CFRP損傷檢測(cè)方面被廣泛研究[9-15]。Schueler等[16]改進(jìn)了傳統(tǒng)EIT方法來適應(yīng)CFRP電導(dǎo)率的各向異性特征，利用布置在邊界的16電極來提取電壓數(shù)據(jù)，并通過有無損傷時(shí)的觀測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比來表征損傷，能夠粗略的反映損傷的位置。Almuhammadi等[17-19]利用激光去除CFRP表面絕緣層，減小了電極與內(nèi)部纖維之間的接觸阻抗，利用布置在表面的16電極陣列研究了電極接觸阻抗的各向異性行為，并且使用此電極進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓痕試驗(yàn)檢測(cè)到了較為細(xì)微的損傷。這種方法雖然有較好的效果，但制備過程復(fù)雜。Nonn等[20]通過在CFRP四周嵌入16顆鋁制鉚釘，利用碳纖維作為內(nèi)部傳感器來獲取邊緣電壓數(shù)據(jù)，成功重建了損傷圖像，并能夠通過圖像大致判斷損傷位置。因其制備簡(jiǎn)單，能夠獲取相對(duì)較好的觀測(cè)數(shù)據(jù)，并且在實(shí)際使用中可以利用固定CFRP的鉚釘充當(dāng)電極，故而本文中也將采用嵌入式電極作為傳感器。

EIT對(duì)CFRP損傷圖像重建包括正問題與逆問題兩個(gè)方面，求解正問題是為了獲得在已知電導(dǎo)率分布時(shí)的靈敏度矩陣，而逆問題的求解則是通過靈敏度矩陣、邊界電壓觀測(cè)數(shù)據(jù)來反演場(chǎng)域內(nèi)的電導(dǎo)率分布。正則化方法因其能夠在一定程度上緩解求解方程的病態(tài)性而廣泛的應(yīng)用于EIT逆問題圖像重建中。常用的正則化方法包括以Tikhonov正則化(Tikh)為代表的二范數(shù)方法，一范數(shù)方法L1正則化等。受限于電極個(gè)數(shù)與分布位置，采用嵌入式電極檢測(cè)CFRP損傷時(shí)，靈敏度矩陣呈中間低四周高的分布特點(diǎn)。因此，四周的檢測(cè)噪聲可能被放大，而中間的有效信號(hào)可能被忽略。為解決這一問題，本文提出了一種改進(jìn)L1正則化方法ML1盡可能多的保留有效信息，并采用能夠節(jié)約大量計(jì)算的自適應(yīng)Barzilai-Borwein譜估計(jì)(Adaptive Barzilai-Borwein,ABB)方法[21]計(jì)算迭代步長(zhǎng)。為驗(yàn)證所提出的方法有效性，設(shè)計(jì)了多種損傷類型及損傷分布相對(duì)位置及實(shí)際損傷檢測(cè)試驗(yàn)。仿真和試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 EIT原理

EIT方法包括正問題與逆問題兩個(gè)方面。正問題是通過給定測(cè)試區(qū)域幾何形狀、邊界條件及電導(dǎo)率分布來獲取被測(cè)場(chǎng)域的電場(chǎng)分布。EIT正問題的有限元模型可以描述為

U=F(σ;I)=R(σ)I

(1)

式中：F(σ;I)為通過電導(dǎo)率向量σ與激勵(lì)電流I來觀測(cè)電壓向量U的正問題模型;R(σ)為通過電導(dǎo)率向量獲得阻抗向量σ的非線性模型。當(dāng)電導(dǎo)率變化較小的時(shí)候可以認(rèn)為這一問題是線性的，于是

δF=F′(σ0)δσ=Sδσ

(2)

式中：δσ∈Rn×1為重建電導(dǎo)率變化量;δF∈Rm×1為觀測(cè)到的邊界電壓差值;S∈Rm×n為靈敏度矩陣。在四端口網(wǎng)絡(luò)中，靈敏度矩陣可以表示為

(3)

式中，f(Id)與f(Im)分別為第d次和第m次激勵(lì)時(shí)場(chǎng)域Ωk的電勢(shì)分布。

EIT逆問題是通過逐步縮小計(jì)算得到的與實(shí)際觀測(cè)到的邊界電壓信號(hào)的差值來逼近的，由于電極個(gè)數(shù)，電極分布位置及系統(tǒng)方程欠定的限制，EIT圖像重建問題是一個(gè)病態(tài)問題。由于正則化方法在一定程度上能夠緩解病態(tài)問題，正則化方法廣泛應(yīng)用于EIT圖像重建中。常用正則化方法可以表述為

式中，δσ*為電導(dǎo)率變化量的先驗(yàn)猜想，未知時(shí)設(shè)置為零向量。當(dāng)p=1時(shí)為L(zhǎng)1正則化，L1正則化相對(duì)于二范數(shù)正則化有更銳利的邊緣和更少的偽影而被廣泛應(yīng)用。

2 改進(jìn)L1正則化方法

雖然L1正則化方法有諸多優(yōu)點(diǎn)，但是由于電極分布位置及電場(chǎng)軟場(chǎng)特性的限制，CFRP采用嵌入式電極檢測(cè)時(shí)靈敏度矩陣呈中心低四周高的分布。在L1正則化迭代過程中，軟閾值濾波可能會(huì)將位于中心的損傷數(shù)據(jù)濾除，因此若在濾除前判斷該點(diǎn)數(shù)據(jù)是否為有效數(shù)據(jù)再進(jìn)行濾波應(yīng)會(huì)取得更好地圖像重建效果。

重建圖像的偽影一般是隨機(jī)分布的噪聲沒有規(guī)律，而L1正則化方法重建CFRP損傷圖像數(shù)值分布，如圖1所示，損傷中心像素點(diǎn)重建數(shù)值大于周圍8鄰域數(shù)值，即

圖1 損傷重建灰度值分布規(guī)律Fig.1 Distribution of damage reconstruction gray value

p(i,j)-p(i∪i±1;j∪j±1)>0

(5)

式中，p(i,j)為像素(i，j)處的重建電導(dǎo)率差值。式(5)在8個(gè)鄰域上的階躍響應(yīng)之和N可以表示為

(6)

式中，H( )為單位階躍函數(shù)。若N=8，則可以認(rèn)為該點(diǎn)為有效數(shù)據(jù)，應(yīng)在濾除時(shí)予以保留。為保證更多有效數(shù)據(jù)能夠得以保留，當(dāng)N≥7時(shí)，即認(rèn)為該點(diǎn)為有效數(shù)據(jù)，對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行圖2所示的掃描并將所有有效數(shù)據(jù)點(diǎn)及其八鄰域數(shù)據(jù)保存至一全零向量k中。在濾波完成后將k回代入完成濾波的向量中進(jìn)行下一次迭代。

圖2 數(shù)據(jù)選擇與判斷方法原理圖Fig.2 Principle of data selection and judgement

于是，δσ可以表示為

(8)

式中，δσi+1為第i+1次迭代的結(jié)果，迭代步長(zhǎng)τ根據(jù)ABB方法設(shè)置

(9)

式中，δσi+1(t)為第i+1次迭代結(jié)果的第t個(gè)元素。

(11)

當(dāng)殘差滿足式(12)或迭代次數(shù)達(dá)到最大迭代次數(shù)MI時(shí)，終止迭代并輸出重建向量δσ。

(12)

式中，r為允許的最大誤差。

于是，ML1正則化方法可以總結(jié)為圖3中的流程。

圖3 改進(jìn)L1迭代流程圖Fig.3 The flowchart of the improved L1 regularization

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真設(shè)置

樹脂基CFRP材料由樹脂與鋪設(shè)方向不同的碳纖維構(gòu)成。按照鋪設(shè)方向區(qū)分，常見的樹脂基CFRP材料可分為單向CFRP，[0°/90°] 交替鋪設(shè)CFRP 以及[-45°/0°/45°/90°]交替鋪設(shè)CFRP。在本文將與試驗(yàn)材料鋪設(shè)相一致的[0°/90°]交替鋪設(shè) CFRP作為研究對(duì)象。由于碳纖維電導(dǎo)率在軸向與徑向呈較強(qiáng)的各向異性，為了簡(jiǎn)化CFRP模型，CFRP材料被設(shè)置為10層單層均勻的各向異性材料，如圖4所示。仿真所采用的CFRP材料尺寸為100 mm×100 mm×2 mm，纖維軸向電導(dǎo)率設(shè)置為1 000 S/m，徑向介電常數(shù)設(shè)置為10 S/m。

圖4 CFRP結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of CFRP

常見的CFRP材料損傷有沖擊損傷，分層損傷，裂紋損傷等。此外，由于電極分布在CFRP材料四周，靈敏度矩陣呈中間低四周高的趨勢(shì)，可能將較為靠近靈敏度較弱區(qū)域的損傷濾除。為驗(yàn)證本文所提出的方法，如圖5(a)所示，設(shè)置了單沖擊損傷D1、對(duì)角分布沖擊損傷D2、多沖擊損傷D3、位于同一直線雙沖擊損傷D4、十字沖擊損傷D5、分層損傷D6及裂紋損傷D7。其中損傷D1的半徑為5 mm，損傷D2兩半徑均為4 mm，損傷D3的半徑分別為6 mm,5 mm,5 mm,4 mm,3 mm，損傷D4的兩半徑均為4 mm，損傷D5為兩10 mm×60 mm的長(zhǎng)方體。損傷D6為分層損傷，半徑為5 mm，厚度為1 mm，發(fā)生在層3～8。損傷D7為裂紋損傷，尺寸為20 mm×1 mm×1 mm，發(fā)生在層6～10。

如圖5(a)所示，采用嵌入式電極觀測(cè)邊界電壓數(shù)據(jù)，電極材質(zhì)為圓柱體銅制鉚釘，半徑為1.5 mm，高10 mm，均勻鑲嵌在距CFRP邊緣 5 mm的四周。圖像重建區(qū)域如圖5(b)所示，為一80 mm×80 mm方形區(qū)域。在正問題求解及逆問題計(jì)算時(shí)，該區(qū)域被均勻的剖分為32×32個(gè)均勻網(wǎng)格。仿真試驗(yàn)基于COMSOL Multiphysics 5.4及MATLAB 2014a。執(zhí)行仿真計(jì)算的計(jì)算機(jī)CPU及內(nèi)存容量分別為Intel(R) Xeon(R) CPU E3-1225 v5@3.30 GHz 與16 GB。為了對(duì)比改進(jìn)方法的重建圖像效果，常用的共軛梯度算法(conjugate gradient least squares,CGLS)，Tikhonov算法(Tikh)以及改進(jìn)前的L1正則化方法也將作為改進(jìn)方法的對(duì)照組進(jìn)行圖像重建。

圖5 仿真設(shè)置Fig.5 Setting of simulation

3.2 圖像重建結(jié)果

仿真試驗(yàn)圖像重建結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同損傷在不同算法下仿真圖像重建結(jié)果Fig.6 Image reconstruction under different damages and algorithms

為了定量評(píng)估重建圖像與真實(shí)分布的相似程度，引入相關(guān)系數(shù)cc，cc可通過式(13)計(jì)算得到

(13)

受網(wǎng)格剖分限制，裂紋損傷由于寬度較小無法在剖分接點(diǎn)上表征出來。因此，僅對(duì)損傷D1～D6進(jìn)行相關(guān)系數(shù)計(jì)算，各算法對(duì)于不同損傷重建結(jié)果如圖7所示。對(duì)于沖擊損傷D1～D5，Tikh、L1、ML1正則化參數(shù)與CGLS迭代次數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取，分別為5×10-3, 5×10-2，5×10-2與40次。對(duì)于分層損傷D6， Tikh與CGLS方法參數(shù)與沖擊損傷相同，而L1與ML1正則化參數(shù)均設(shè)置為1×10-2。對(duì)于裂紋損傷D7，Tikh、L1、ML1正則化參數(shù)與CGLS迭代次數(shù)分別為5×10-2，3×10-2，3×10-2與15次。根據(jù)圖6、圖7可以看出稀疏正則化方法圖像重建結(jié)果普遍優(yōu)于Tikhonov正則化及CGLS方法。對(duì)于簡(jiǎn)單的單沖擊損傷D1，對(duì)角分布的沖擊損傷D2及分層損傷D6，各圖像重建算法均能較為準(zhǔn)確地反映出損傷的位置，并且稀疏正則化方法L1與ML1重建圖像的大小接近真實(shí)損傷大小。對(duì)于十字沖擊損傷D5，Tikhonov正則化方法、CGLS及L1正則化方法僅能大致重建損傷輪廓，而提出的ML1正則化方法能夠準(zhǔn)確地重建出損傷的位置、大小與輪廓。

圖7 不同損傷分布在不同算法下重建圖像的相關(guān)系數(shù)Fig.7 Correlation coefficient of reconstructed image reconstruction under different damages and algorithms

由于CFRP材料的電導(dǎo)率的各向異性，損傷重建圖像在水平和垂直方向的數(shù)量級(jí)不同，這一點(diǎn)在十字損傷表現(xiàn)尤為明顯。對(duì)于較為復(fù)雜的多沖擊損傷D3與位于同一直線雙沖擊損傷D4，由于既有損傷位于靈敏度較強(qiáng)的邊緣區(qū)域又有損傷位于靈敏度較弱的中心區(qū)域，在Tikhonov正則化、CGLS方法進(jìn)行圖像重建時(shí)，中心區(qū)域的損傷與邊緣偽影量級(jí)相當(dāng)。而對(duì)于L1正則化方法，D3中心區(qū)域的損傷在迭代過程中被濾除，D4中心區(qū)域的損傷與邊緣區(qū)域的損傷重建圖像連接在一起，無法正確反應(yīng)損傷的位置與大小。而所提出的ML1正則化方法通過判斷將要濾除圖像的特征，將有效數(shù)據(jù)保留，能夠正確的表征損傷的位置和大小。對(duì)于裂紋損傷D7，受網(wǎng)格剖分的限制，重建圖像中裂紋寬度的寬度較真實(shí)裂紋寬度大，重建長(zhǎng)度與真實(shí)裂紋相當(dāng)。就D7損傷成像效果來看，ML1正則化方法也略優(yōu)于其他圖像重建方法。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證仿真結(jié)果與所提出方法的實(shí)際有效性，采用實(shí)驗(yàn)室設(shè)備搭建16電極EIT測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行CFRP損傷檢測(cè)與圖像重建。

4.1 試驗(yàn)設(shè)置

EIT測(cè)試系統(tǒng)原理及實(shí)測(cè)圖如8所示，試驗(yàn)材料與仿真材料尺寸相同。激勵(lì)源由電流源KEITHLEY 6221提供，選通與測(cè)量由34980A多功能開關(guān)測(cè)量單元執(zhí)行。首先，待測(cè)CFRP材料與激勵(lì)源6221由接線端子連接至34980A的電樞矩陣開關(guān)34932T。然后，上位機(jī)與34980A通過LAN口連接并且計(jì)算機(jī)通過LABVIEW編寫的上位機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)激勵(lì)測(cè)量通道的選通與數(shù)據(jù)的采集、上傳。采用相鄰激勵(lì)相鄰測(cè)量的激勵(lì)測(cè)量模式，單次激勵(lì)時(shí)可獲得13個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)。因此，當(dāng)完成全部激勵(lì)測(cè)量時(shí)可獲得208個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)。圖9左側(cè)第一列E1～E4為試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其中E1～E3為貫穿的沖擊損傷模型，E4為裂紋損傷模型，該模型損傷深度為1 mm，寬1 mm，長(zhǎng)40 mm。

圖8 試驗(yàn)原理圖與實(shí)際操作圖Fig.8 Experimental schematic diagram and practical operation diagram

4.2 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)結(jié)果如圖9所示，Tikh、L1與ML1方法的正則化參數(shù)分別設(shè)置為5×10-3，3×10-2與3×10-2，CGLS方法的迭代次數(shù)設(shè)置為40次。對(duì)于兩沖擊損傷樣品E1、E2，CGLS與Tikhonov正則化方法能夠大致確定損傷的位置，但同時(shí)存在較多的圖像重建偽影。ML1與L1正則化方法優(yōu)于CGLS與Tikhonov正則化方法，且ML1正則化方法重建圖像面積與真實(shí)損傷更為接近。

圖9 損傷樣品在不同圖像重建算法下的圖像重建結(jié)果Fig.9 Image reconstruction results of damaged samples under different image reconstruction algorithms

5 結(jié) 論

針對(duì)CFRP嵌入式電極EIT圖像重建方法靈敏度矩陣分布不均勻?qū)е孪∈璺椒ㄔ趫D像重建時(shí)可能無法正確反應(yīng)靈敏度較弱區(qū)域損傷分布的問題，本文提出了一種結(jié)合損傷重建圖像損傷區(qū)域8鄰域分布特點(diǎn)的ML1正則化方法。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅具有稀疏的圖像重建效果，而且能夠有效地改善靈敏度較弱區(qū)域的損傷情況。但是由于在迭代過程中僅通過8鄰域梯度來判斷數(shù)據(jù)有效性導(dǎo)致圖像重建結(jié)果偏向于方形。在后續(xù)的研究中，周圍更多的像素點(diǎn)將會(huì)被考慮來改善這一問題。此外，本研究方法也可用于系數(shù)重建方法在其他靈敏度不均勻的重建圖像質(zhì)量改善中。