概率統(tǒng)計(jì)中的開放性問題

?新疆塔城市塔城地區(qū)第一高級中學(xué) 孫金霞

1 引言

概率統(tǒng)計(jì)中的開放性問題，是一類借助數(shù)學(xué)思維來科學(xué)決策現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用創(chuàng)新問題．此類開放性問題，從現(xiàn)實(shí)生活中加以抽象與概括，形成數(shù)據(jù)信息，結(jié)合大數(shù)據(jù)，借助數(shù)據(jù)所對應(yīng)的圖表或數(shù)據(jù)所確定的數(shù)學(xué)要素，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行科學(xué)創(chuàng)新與判斷，為決策提供理論支持．

2 與統(tǒng)計(jì)相關(guān)的開放性問題

例1在一個(gè)文藝比賽中，10名專業(yè)評委和10名觀眾代表各組成一個(gè)評委小組，給參賽選手甲、乙打分，結(jié)果如下(用小組A、小組B分別代表兩個(gè)打分組)：

小組A：

甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5

乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5

小組B：

甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0

乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0

(1)選擇一個(gè)可以度量打分的量，并對每組評委的打分計(jì)算度量值，根據(jù)這個(gè)值判斷小組A與小組B哪個(gè)更專業(yè)；

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，計(jì)算專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；

(3)如果用專業(yè)評委打分的數(shù)據(jù)，選手的最終得分為去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后，剩下8名評委評分的平均分，那么這兩位選手的最后得分是多少?若直接用10名專業(yè)評委評分的平均數(shù)作為選手的得分，兩位選手的排名會有變化嗎?你認(rèn)為哪種評分辦法更好(只判斷不說明)?(以上計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù).)

分析：(1)根據(jù)題目條件，分別計(jì)算各組數(shù)據(jù)的平均分與方差，利用計(jì)算結(jié)果，在平均分均差0.01的情況下分析方差的差距大小來分析與判斷小組A的打分更專業(yè)；(2)結(jié)合(1)的計(jì)算結(jié)果，得到專業(yè)評委打分的參賽選手甲、乙的平均分；(3)通過專業(yè)評委的數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后計(jì)算參賽選手甲、乙的平均分，并結(jié)合(2)中的數(shù)據(jù)情況加以分析并作出自己的判斷．

由以上數(shù)據(jù)可得，在平均分均差0.01的情況下，小組B的打分方差差距較大，所以小組A的打分更專業(yè).

(3)由專業(yè)評委的數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙的平均分分別為

去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分之后，乙的平均分高于甲.

若按照10個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算，則甲的平均分高于乙，因此排名有所變化.

故去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分的評分方法更好．

點(diǎn)評：借助統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識來科學(xué)決策現(xiàn)實(shí)生活中的開放性問題，關(guān)鍵是借助統(tǒng)計(jì)中的圖表信息、數(shù)據(jù)信息等，通過圖表直觀數(shù)形結(jié)合、數(shù)據(jù)樣本數(shù)學(xué)運(yùn)算，結(jié)合不同的實(shí)際問題，合理比較，科學(xué)決策．

3 與概率有關(guān)的開放性問題

例2甲、乙兩人進(jìn)行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負(fù).已知本次比賽的主辦方提供8 000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時(shí)比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．已知每場比賽甲贏的概率為p(0

分析：(1)根據(jù)題目條件，由甲乙輸贏的情況確定甲獲得獎金的可能取值，求出其對應(yīng)的概率，列出分布列即可；(2)設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行Y場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙贏，分Y=3，Y=4，求出其對應(yīng)的概率，得到乙贏得全部獎金的概率，然后利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可得到答案．

解析：(1)5場比賽中甲、乙的輸贏有甲嬴4場、乙贏1場，甲贏3場、乙嬴2場，甲贏2場、乙贏3場，甲贏1場、乙贏4場四種情況：

設(shè)甲可能獲得的獎金為X元，則X的所有可能取值為8 000，6 000，2 000，0.

所以，甲獲得獎金數(shù)的分布列如表1所示.

表1 甲獲得獎金的分布列

(2)設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行Y場乙贏得全部獎金，則最后1場必然乙贏，Y的所有可能取值為3，4.

當(dāng)Y=3時(shí)，乙以4∶2贏得比賽，P(Y=3)=(1-p)3；

所以，乙贏得全部獎金的概率為

P=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3.

設(shè)函數(shù)f(p)=(1+3p)(1-p)3，則求導(dǎo)可得f′(p)=-12p(1-p)2.

故事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件.

所以認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙不可能贏得全部獎金．

點(diǎn)評：借助概率相關(guān)知識來科學(xué)決策現(xiàn)實(shí)生活中的開放性問題，關(guān)鍵是根據(jù)不同事件的概率的求解，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)對比，利用概率的現(xiàn)實(shí)意義以及概率大小的分析比較，綜合現(xiàn)實(shí)實(shí)際問題對概率大小的需求差異，合理判斷，科學(xué)決策．

4 結(jié)論

關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)中的開放性問題，一般要做到：一是用數(shù)據(jù)說話，即要有相應(yīng)的數(shù)據(jù)支撐，在陳述數(shù)據(jù)時(shí)，要計(jì)算事件發(fā)生的概率或者計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的均值等，不能只說結(jié)論；二是表達(dá)要到位，理由陳述不要偏離主旨，要正確看待小概率事件發(fā)生的情況，不要從抽樣數(shù)據(jù)太少、實(shí)驗(yàn)次數(shù)太少等樣本出發(fā)．借助概率統(tǒng)計(jì)知識來解決日常生活、社會活動和經(jīng)濟(jì)活動中的開放性應(yīng)用問題，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，學(xué)以致用，要用數(shù)據(jù)說話，進(jìn)行科學(xué)決策，體現(xiàn)創(chuàng)新應(yīng)用精神，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．