水下湍流中溫度、鹽度對(duì)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量影響分析

孫樞為，王昊，汪偉，李鵬，康福增，謝小平

（1 中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所 光子網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究室，西安 710119）

（2 中國(guó)科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所 瞬態(tài)光學(xué)與光子技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710119）

（3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 引言

地球表面的70%以上被海水覆蓋，海洋的利用與開發(fā)對(duì)國(guó)家發(fā)展具有極為重要的意義，各國(guó)競(jìng)相加大對(duì)海洋的研究與探索。水下成像技術(shù)是探索海洋資源的一種關(guān)鍵手段，而湍流是影響水下成像質(zhì)量的重要因素。湍流是由于介質(zhì)各部分流速不同，在交界面產(chǎn)生小型渦旋的現(xiàn)象，這一現(xiàn)象會(huì)直接導(dǎo)致介質(zhì)折射率分布發(fā)生變化，從而對(duì)光束的波前結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，最終造成成像質(zhì)量下降。湍流現(xiàn)象在海洋中普遍存在，因此研究湍流對(duì)水下成像質(zhì)量的影響對(duì)于水下信息獲取與空間光通信［1］具有重要意義。1966 年，F(xiàn)RIED D L［2］提出了MTF 理論和基于Kolmogorov 功率譜的大氣湍流中長(zhǎng)、短曝光成像的光學(xué)分辨率模型，發(fā)現(xiàn)了短曝光分辨率明顯優(yōu)于長(zhǎng)曝光分辨率。2009 年，HOU W L［3-5］提出了一種基于Kolmogorov 型折射率譜的簡(jiǎn)單水下成像模型，初步研究了散射效應(yīng)和湍流對(duì)光學(xué)傳遞函數(shù)（Optical Transfer Function，OTF）的影響。2011 年CHEN Y Z 等［6］基于HOU W L 提出的OTF 模型，加入衍射對(duì)水下成像的影響。2016 年，PU H 等［7］在Nikishov 功率譜基礎(chǔ)上研究了不同曝光條件下的調(diào)制傳遞函數(shù)。在此期間，大部分對(duì)水下湍流的研究基本以Nikishov 功率譜［8］為基礎(chǔ)，但此功率譜中并未考慮到水體平均溫度與平均鹽度的影響，折射率起伏模型還需要進(jìn)一步完善。2019 年，YAO J R 改進(jìn)了折射率起伏功率譜［9-10］，以平均溫度、平均鹽度表征渦旋擴(kuò)散率，建立了溫度和鹽度為主導(dǎo)的功率譜模型。該功率譜相較于Nikishov 功率譜更加完善，但該模型缺乏實(shí)驗(yàn)論證。

本文基于Yao 折射率起伏功率譜，推導(dǎo)了平面波波結(jié)構(gòu)函數(shù)的解析表達(dá)式，完善了水下光學(xué)成像模型。相較于已有的水下光學(xué)成像模型，該模型將傳統(tǒng)模型中難以測(cè)量的微觀參量如動(dòng)能耗散率和溫度耗散率，用平均溫度和平均鹽度等宏觀參量代替，更貼合實(shí)際應(yīng)用。依據(jù)水下光學(xué)成像模型，研究了平均溫度和平均鹽度對(duì)MTF 的影響。設(shè)計(jì)搭建了一套長(zhǎng)度為3 m 的水下成像實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，得到了在不同溫度和鹽度的湍流條件下MTF 的變化情況，對(duì)仿真模型進(jìn)行了驗(yàn)證。利用溫度、鹽度以及流速等容易測(cè)量的物理量，通過模型可以對(duì)不同海洋湍流條件下成像質(zhì)量的退化情況進(jìn)行評(píng)估，為水下圖像復(fù)原與矯正提供了一種物理參考模型。

1 理論模型

1.1 折射率起伏功率譜

湍流現(xiàn)象會(huì)使介質(zhì)折射率不均勻，從而造成成像質(zhì)量下降，因此研究湍流造成的成像質(zhì)量變化本質(zhì)上是研究折射率起伏情況。QUAN Y H 和FRY E 于1995 年提出了用于描述平均溫度和平均鹽度變化對(duì)功率譜線性系數(shù)貢獻(xiàn)的水折射率多項(xiàng)式［11］。在平均溫度處于［0 ℃，30 ℃］范圍，平均鹽度處于［0 ppt，40 ppt］（1 ppt=0.001）范圍，波長(zhǎng)處于［400 nm，900 nm］的條件下，折射率可表示為（文中溫度T與鹽度S均代表平均溫度與平均鹽度）

介質(zhì)的折射率n為平均折射率n0與折射率的起伏量n'之和，可表示為

式中，T'和S'分別為溫度和鹽度的起伏量，對(duì)式（1）求導(dǎo)，假設(shè)dλ=0 即不存在非線性效應(yīng)，可得線性系數(shù)A、B的表達(dá)式分別為

圖1 為線性系數(shù)A和B隨平均溫度和平均鹽度變化情況?？梢钥闯鯝受平均溫度變化的影響更為顯著，系數(shù)B基本只與平均溫度呈負(fù)相關(guān)，且變化范圍較小?？臻g折射率起伏功率譜可表示為［9］

圖1 線性系數(shù)隨溫度與鹽度變化情況Fig.1 Linear coefficients varying with T and S

式中，ΦT(κ)、ΦS(κ)和ΦTS(κ)分別代表溫度功率譜、鹽度功率譜和溫度-鹽度耦合功率譜。三種功率譜可以解析擬合為［10］

式中，β0=0.72，ε為動(dòng)能耗散率，η為Kolmogorov 微觀尺寸，ci為常數(shù)，η、ci以及χi均與平均溫度與平均鹽度相關(guān)，其具體計(jì)算過程見附錄。

1.2 波結(jié)構(gòu)函數(shù)與水下成像模型

湍流現(xiàn)象會(huì)影響光束波前，從而改變系統(tǒng)成像質(zhì)量，通過1.1 節(jié)中湍流折射率起伏功率譜可以求解波結(jié)構(gòu)函數(shù)。平面波在各向同性的均勻海水湍流中傳輸，其波結(jié)構(gòu)函數(shù)為［12］

式中，J0為零階貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)寫作泰勒展開的形式為

式中，Γ 為Gamma 函數(shù)，零階貝塞爾函數(shù)在零點(diǎn)處的值為1，即J0(0)=1，將式（10）帶入式（9）得

式中對(duì)于冪函數(shù)以及e 指數(shù)函數(shù)相乘的積分部分可以轉(zhuǎn)化為Gamma 函數(shù)的形式，表達(dá)式為

利用式（12）可將式（11）中較為復(fù)雜的積分形式化簡(jiǎn)為Gamma 函數(shù)的和的形式，即

對(duì)式（13）含有ΔCi的各項(xiàng)分子分母均乘常數(shù)使其大小不變，轉(zhuǎn)化為Γ(a+n)/Γ(a)，n=1，2，3，...（其中a為常數(shù)）的形式，即

引入Pochhammer 符號(hào)，該符號(hào)的定義為(a)n=Γ(a+n)/Γ(a)，n=1，2，3，...，其中Γ(1)=1，式（14）化簡(jiǎn)為Pochhammer 符號(hào)形式為

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化式（15）中的求和項(xiàng)，引入合流超幾何函數(shù)

對(duì)于合流超幾何函數(shù)1F1(α；β；-γ)在γ?1 時(shí)，合流超幾何函數(shù)可近似為指數(shù)函數(shù)，表示為

利用式（19）將合流超幾何函數(shù)化簡(jiǎn)為系數(shù)為gamma 函數(shù)的冪函數(shù)形式，則式（18）可化簡(jiǎn)為

式（19）為平面波的波結(jié)構(gòu)函數(shù)的解析表達(dá)式。根據(jù)波結(jié)構(gòu)函數(shù)可以求解MTFtur，湍流環(huán)境下長(zhǎng)曝光成像的MTF 表達(dá)式為［2］

式中，Dpl(ρ，L)=A2·Dpl，T(ρ，L)+2AB·Dpl，TS(ρ，L)+B2·Dpl，S(ρ，L)，在成像問題中ρ=λΩ，Ω為空間頻率。水下成像必須依托于成像系統(tǒng)，因此需要考慮鏡頭調(diào)制傳遞函數(shù)的影響，對(duì)于衍射極限成像系統(tǒng)其調(diào)制傳遞函數(shù)MTF0可表示為［7］

式中，Ω0=D/λ為空間截止頻率，D為鏡頭的入瞳直徑。接收端的調(diào)制傳遞函數(shù)是光學(xué)鏡頭調(diào)制傳遞函數(shù)MTF0與海水湍流引起的調(diào)制傳遞函數(shù)MTFtur兩者的乘積［7］，即

式（22）為在湍流與光學(xué)鏡頭共同作用下的調(diào)制傳遞函數(shù)。

2 仿真結(jié)果分析

基于水下光學(xué)成像模型對(duì)調(diào)制傳遞函數(shù)進(jìn)行仿真，仿真條件如表1。圖2 為S=1 ppt 時(shí)，不同溫度下的結(jié)果。圖2（a）為MTF 曲線隨溫度變化情況。水體溫度由0 ℃上升至30 ℃，截止頻率由0.95 下降至0.5，MTF 曲線降低，成像質(zhì)量劣化，結(jié)果表明溫度升高，湍流抑制了高空間頻率成分，即圖像將失去部分細(xì)節(jié)信息。圖2（b）為不同空間頻率成分的MTF 受溫度影響情況。隨著溫度由0 ℃升高至30 ℃，歸一化空間頻率Ω/Ω0=0.10，0.15，0.20，0.25 的MTF 值分別降低0.316、0.400、0.458、0.474；不同空間頻率MTF 受溫度變化的影響不同，空間頻率越高，MTF 值下降越快，這表明高頻成分的MTF 值相較于低頻成分更敏感。

表1 仿真條件Table 1 The simulation conditions

圖2 S=1 ppt 時(shí)，調(diào)制傳遞函數(shù)隨溫度變化情況仿真結(jié)果Fig.2 MTF varying with temperature in simulation at S=1 ppt

圖3 為T=20 °C 時(shí)成像質(zhì)量受平均鹽度影響的仿真結(jié)果。由圖3（a）可以看出鹽度由0 上升至40 ppt，MTF 曲線略有下降，截止頻率基本不變，平均鹽度的升高對(duì)MTF 曲線的影響有限。圖4（b）為不同空間頻率成分受鹽度的影響情況，Ω/Ω0=0.10，0.15，0.20，0.25 的MTF 值分別下降0.077、0.081、0.089、0.092，相差并不明顯。結(jié)果表明：不同空間頻率的MTF 值隨鹽度升高線性下降，并且鹽度對(duì)不同頻率的MTF 值影響基本相同。對(duì)比圖2（a）與圖3（a）可以看出，溫度變化對(duì)MTF 的影響更為劇烈。結(jié)合圖1，湍流對(duì)于成像質(zhì)量的影響主要源于其造成了折射率分布的起伏，此過程中平均溫度變化引起的折射率分布起伏相較于平均鹽度來說更為嚴(yán)重，故而平均溫度變化對(duì)于成像質(zhì)量的影響更明顯。

圖3 T=20 ℃時(shí)，調(diào)制傳遞函數(shù)隨鹽度變化情況仿真結(jié)果Fig.3 MTF varying with salinity in simulation at T=20 ℃

3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為對(duì)水下光學(xué)成像模型進(jìn)行驗(yàn)證，搭建了長(zhǎng)度為3 m 的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖4。裝置主要由水箱（3 m×0.3 m×0.5 m），水泵（流速可達(dá)到2 m/s），流速計(jì)（量程0～ 5 m/s，測(cè)量精度0.001 m/s），調(diào)頻器（控制水泵流速）和溫控系統(tǒng)（測(cè)量范圍：10℃～ 40 ℃，測(cè)量精度：0.1 ℃）組成。水泵用于改變水體的流速?gòu)亩刂仆牧鲝?qiáng)度，溫控系統(tǒng)兼具加熱升溫和溫度實(shí)時(shí)測(cè)量的功能，水箱兩側(cè)分別為探測(cè)目標(biāo)和CCD 相機(jī)。實(shí)驗(yàn)可以根據(jù)雷諾數(shù)來判斷是否產(chǎn)生湍流，雷諾數(shù)Re的表達(dá)式為

圖4 水下湍流實(shí)驗(yàn)裝置Fig.4 Underwater turbulence experiment device

式中，ρ為介質(zhì)密度，μ為動(dòng)力粘滯度，Ltur為水力直徑，實(shí)驗(yàn)裝置中Ltur=0.1 m，uavg為水箱中水體的平均流速。該實(shí)驗(yàn)條件下，當(dāng)水體流速大于0.04 m/s，雷諾數(shù)Re＞4 000，即可產(chǎn)生湍流。

實(shí)驗(yàn)選擇分辨率板（usaf1951）作為探測(cè)目標(biāo)，光在湍流中傳輸距離為3 m，在固定流速下對(duì)溫度范圍在［10 ℃，30 ℃］、鹽度范圍為［1 ppt，30 ppt］條件下，成像質(zhì)量的變化情況進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。仿真參數(shù)溫度方差耗散率χT與動(dòng)能耗散率ε在可根據(jù)實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行估算，χT由溫度梯度和熱擴(kuò)散系數(shù)κT決定，熱擴(kuò)散系數(shù)取常數(shù)κT=1.4×10-7m2/s，其表達(dá)式為

實(shí)驗(yàn)中溫度在x，y方向基本一致，因此?T/?x=?T/?y=0。ε取決于運(yùn)動(dòng)粘度γ與速度梯度，其表達(dá)式為

式中，運(yùn)動(dòng)粘度取常數(shù)γ=1.01×10-6m2/s。因此只需測(cè)量溫度梯度與速度梯度即可推算出χT與ε。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

利用實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)過程中，調(diào)整水泵功率使流速滿足湍流條件，待流速平穩(wěn)后測(cè)量水箱內(nèi)水體溫度與流速分布情況，測(cè)量5 次結(jié)果取其平均值。將相機(jī)設(shè)定為長(zhǎng)曝光模式（曝光時(shí)間為0.2 s，即相機(jī)每0.2 s 記錄一次）調(diào)焦后使CCD 相機(jī)成像界面清晰，在不同的溫度、鹽度條件下對(duì)于分辨率板的成像情況記錄100 張圖片（即記錄20 s 內(nèi)圖像變化情況）。平均流速為uavg=0.1 m/s，溫鹽梯度比的表達(dá)式為H=（dT/dz）/（dS/dz），即豎直方向上的溫度梯度與鹽度梯度之比，因豎直方向水的溫度分布與鹽度分布，正好相反，故此值為負(fù)數(shù)。實(shí)驗(yàn)在水的表面與底部的不同位置分別測(cè)量5 次溫度值與鹽度值取其平均值，可求得溫度鹽度梯度比值H=-2 ℃/ppt，溫度梯度的平方和為（dT/dx）2+（dT/dy）2+（dT/dz）2=1 ℃2/m2，流速梯度的平方和為（du/dx）2+（du/dy）2+（du/dz）2=0.24/s2，帶入式（24）與（25）可求得χT=2.8×10-7K2/s，ε=6×10-7m2/s3，此時(shí)實(shí)驗(yàn)條件與表1 仿真條件相同。圖5 為不同溫度和鹽度條件下成像結(jié)果。

圖5 不同溫度與鹽度條件下實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Experimental results under different temperature and salinity conditions

基于圖5 可以計(jì)算特定空間頻率的MTF 值，分辨率板條紋的灰度分布如圖6。在計(jì)算MTF 值時(shí)，將三個(gè)灰度極大值的平均值作為灰度最大值Imax，將兩個(gè)灰度極小值的平均值作為最小值Imin，對(duì)于特定空間頻率的MTF 值等于對(duì)應(yīng)條紋灰度最大值和最小值的差值與最大值和最小值的和值之比，即［13］

圖6 分辨率板灰度分布Fig.6 The gray level distribution of resolution board

圖7（a）為S=10 ppt 時(shí)，空間頻率為17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm 的MTF 值隨平均溫度變化情況，圖中實(shí)線為仿真結(jié)果，散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。實(shí)驗(yàn)測(cè)量了17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm三個(gè)空間頻率MTF 值的變化情況。平均溫度由10 ℃上升至30 ℃，上述空間頻率對(duì)應(yīng)的MTF 值分別下降0.196，0.219，0.231，MTF 值與水體溫度呈現(xiàn)線性負(fù)相關(guān)，并且平均溫度升高，高頻成分相較于低頻成分其MTF 值下降更快。圖7（b）為T=20 ℃時(shí)，MTF 隨鹽度變化情況。平均鹽度由1 ppt 升至30 ppt，空間頻率為17.19 lp/mm，24.93 lp/mm 和31.42 lp/mm 的MTF 值分別下降0.117，0.113 和0.108。對(duì)比圖7（a）與7（b）三個(gè)空間頻率MTF 值的下降幅度可以得出結(jié)論：溫度變化相較于鹽度變化對(duì)成像質(zhì)量的影響更為嚴(yán)重，驗(yàn)證了仿真結(jié)果。在鹽度較高時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果相較于理論曲線整體偏下，其主要原因?yàn)椋蝴}度增加，散射對(duì)于成像質(zhì)量也會(huì)產(chǎn)生一定的影響。

圖7 實(shí)驗(yàn)中MTF 隨溫度和鹽度變化情況Fig.7 MTF varying with temperature and salinity in experiment

圖8（a）為S=10 ppt，不同溫度條件下MTF 的變化情況。圖8（b）為T=20 ℃時(shí)，不同鹽度條件下MTF 曲線的變化情況。隨著平均溫度與平均鹽度的升高，水體的折射率起伏加劇，水體折射率空間分布不均勻，光束的波前結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變化，成像質(zhì)量降低。在溫度較高時(shí)，實(shí)驗(yàn)得到的MTF 曲線與仿真結(jié)果存在一定差異。實(shí)驗(yàn)過程中湍流是利用水泵帶動(dòng)水循環(huán)產(chǎn)生的，水泵工作的同時(shí)也會(huì)伴隨部分氣泡的產(chǎn)生，氣泡會(huì)使光束產(chǎn)生偏折，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真曲線之間存在差異。

圖8 實(shí)驗(yàn)中MTF 隨溫度和鹽度變化情況Fig.8 MTF varying with temperature and salinity in experiment

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)了平面波波結(jié)構(gòu)函數(shù)，完善了水下光學(xué)成像模型?；谠撃Ｐ蛿?shù)值仿真了平均溫度和平均鹽度對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)MTF 的影響。搭建了水下湍流成像實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過實(shí)驗(yàn)得到了不同平均溫度與平均鹽度條件下的成像結(jié)果，并對(duì)比了仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，平均溫度和平均鹽度增加都會(huì)造成成像質(zhì)量的下降，且平均溫度改變相較于平均鹽度改變對(duì)于MTF 的影響更為嚴(yán)重。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，隨著溫度與鹽度的升高不同空間頻率的MTF 值近似于線性下降，并且鹽度升高對(duì)各空間頻率MTF 的影響基本一致，溫度升高對(duì)于高頻成分MTF 影響更為顯著。

附錄

式（7）中湍流的內(nèi)尺寸與流體密度ρ、粘滯系數(shù)μ以及動(dòng)能耗散率ε有關(guān)［9］，即

動(dòng)力粘滯度μ的計(jì)算公式為［14］

式（26）中，a21、a22及μ0表達(dá)式為

水的密度ρ可以分解為鹽度項(xiàng)與溫度項(xiàng)［14-15，21］，其表達(dá)式為

式（7）中，χS與χTS可以通過渦旋擴(kuò)散系數(shù)dr與χT求得［10］

渦旋擴(kuò)散率dr與溫度和鹽度相關(guān)，其定義為［8］

式中，KS和KT分別為鹽度渦旋擴(kuò)散系數(shù)和溫度渦旋擴(kuò)散系數(shù)，兩者的比值即為渦旋擴(kuò)散率dr。Rρ定義為溫鹽誘致比，是一個(gè)無量綱量，其表達(dá)式為［9，16］

式中，H為溫度梯度與鹽度梯度之比，即(?T/?z)/(?S/?z)，α和β分別代表溫度擴(kuò)散系數(shù)和鹽度收縮系數(shù)，其表達(dá)式為

利用TEOS-10 toolbox［17-18］可以得出對(duì)應(yīng)溫度、鹽度、壓強(qiáng)條件下的α，β值。式（7）中，無量綱參數(shù)ci的值與普朗特?cái)?shù)Pr 和施密特?cái)?shù)Sc 相關(guān)，具體關(guān)系表示為［9］

普朗特?cái)?shù)Pr 與施密特?cái)?shù)Sc 的表達(dá)式為

式（A13）中，cp水的比熱容（單位：J/(kg·K)），σT為熱導(dǎo)率（單位：W/(m·K)）。比熱容cp的表達(dá)式為［19-20］

熱導(dǎo)率σT的計(jì)算式為［21］