“微積分”教與學(xué)改革的研究及探討

徐愛慶

（南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

目前，各大高校普遍開設(shè)了“微積分”課程，這門課已經(jīng)相當(dāng)成熟了，從知識體系來說已經(jīng)沒有多少改進的空間。然而，社會在飛速發(fā)展，尤其是信息化、智能化、數(shù)據(jù)化等發(fā)展迅速，微積分在其他領(lǐng)域的應(yīng)用也越來越深入［1］。這就要求微積分教師要及時調(diào)整教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段，培養(yǎng)順應(yīng)時代要求的新一代大學(xué)生，使他們具有過硬的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)能力。

一、“微積分”課程現(xiàn)狀

（一）“微積分”課程教的現(xiàn)狀

1.微積分是一門極其抽象的學(xué)科，學(xué)生感覺學(xué)習(xí)難度較大，有時甚至對概念理解都覺得特別困難。如數(shù)列極限“ε-N”的定義，學(xué)生感覺一頭霧水，領(lǐng)悟不了概念所表達的深刻含義，進而影響學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)極限的信心。事實上，有時教師在講解相關(guān)知識時也比較晦澀，無法從問題的本質(zhì)出發(fā)，用相對簡單、直接的思想引導(dǎo)學(xué)生。

2.微積分教學(xué)是大課授課，由于課時有限，加上課程內(nèi)容比較多，在教學(xué)過程中仍以教師講課為主，課上用以互動的時間較少，習(xí)題課相比中學(xué)來說較少。由于學(xué)生眾多，教師極少能關(guān)注到學(xué)生的個性化學(xué)習(xí)需求，從而導(dǎo)致教學(xué)效果欠佳。

3.近年來，受新冠肺炎疫情的影響，網(wǎng)課變?yōu)橹饕谡n方式。由于新冠肺炎疫情的不確定性，隨時可能進行網(wǎng)課，這給微積分教師的教學(xué)帶來了不少困難和挑戰(zhàn)。在課堂教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生在課堂上的反應(yīng)做出相應(yīng)的教學(xué)調(diào)整，但在網(wǎng)課中，教師無法精準(zhǔn)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，教師和學(xué)生缺乏面對面交流的機會，互動不理想，學(xué)習(xí)效果不盡人意。

（二）“微積分”課程學(xué)的現(xiàn)狀

我國中小學(xué)生的學(xué)業(yè)壓力較大，但在進入大學(xué)后突然轉(zhuǎn)為自我學(xué)習(xí)和管理，很容易失去學(xué)習(xí)目標(biāo)和方向，學(xué)習(xí)熱情和中學(xué)階段相比不可同日而語。還有一部分學(xué)生進入大學(xué)后，想要好好放松一下，學(xué)業(yè)投入較少。微積分是一門邏輯性很強的學(xué)科，如果不了解函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識，也就不可能學(xué)好不定積分，進而就學(xué)不好定積分和最后的二重積分。所以，引導(dǎo)學(xué)生認識到大學(xué)學(xué)習(xí)是人生旅程的新起點，是特別關(guān)鍵的一步。

對大一新生來說，習(xí)慣了在教師講解完相關(guān)數(shù)學(xué)知識點后，進行大量的習(xí)題練習(xí)加以鞏固，除了平時大量刷題外，豐富的課外參考資料將各知識點詳盡羅列，如果還是學(xué)不好，還可以依靠課外補習(xí)班，這使得學(xué)生習(xí)慣了“填鴨式”學(xué)習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生自我學(xué)習(xí)和總結(jié)的能力較低，無法適應(yīng)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式。因此，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，在“微積分”課程的教學(xué)中顯得尤為重要。

二、“微積分”課程“教”的改革

本文主要從“微積分”課程的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段三方面進行教學(xué)改革研究和探討，旨在提高新時代教育背景下的教學(xué)成效。

（一）教學(xué)目標(biāo)的改革

1.幫助學(xué)生確立學(xué)習(xí)態(tài)度和方向。作為高校的公共基礎(chǔ)課，“微積分”課程肩負著幫助新生確立學(xué)習(xí)態(tài)度和方向的重任［2］。大一新生來自四面八方，部分學(xué)生對未來目標(biāo)清晰，甚至計劃好了各個階段的學(xué)習(xí)計劃，在本科畢業(yè)后是繼續(xù)讀研、找工作，還是出國，方向明確；還有一部分學(xué)生沒有目標(biāo)，對未來一無所知。因此，在大一時，微積分教師要引導(dǎo)學(xué)生認清目前整體的經(jīng)濟和社會形勢，分析學(xué)習(xí)的重要性，使學(xué)生明白學(xué)習(xí)不光是為了能學(xué)好知識，更重要的是培養(yǎng)辯證、獨立的思考能力，并以此推廣到其他課程的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生意識到大學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，幫助學(xué)生完成人生的初步定位。

2.傳授“微積分”課程知識。傳授“微積分”課程知識是微積分教學(xué)的重中之重。完備的課程內(nèi)容為后續(xù)課程（如“概率統(tǒng)計”“線性代數(shù)”）的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，并為交叉學(xué)科的學(xué)習(xí)提供了相關(guān)理論依據(jù)。另外，學(xué)生在大學(xué)階段參加數(shù)學(xué)建模競賽、高等數(shù)學(xué)競賽及準(zhǔn)備考研，都要求學(xué)生學(xué)好“微積分”課程。

3.培養(yǎng)學(xué)生理論與實踐相結(jié)合的能力。微積分中的大量知識有其產(chǎn)生背景，但學(xué)生往往忽視了這些知識的背景，直接學(xué)習(xí)理論知識，從而導(dǎo)致學(xué)完部分理論知識后，無法感受其在實際生活及相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用價值，學(xué)習(xí)興趣大幅下降。為此，從背景知識出發(fā)，通過提出解決問題的思路，思考解決問題的方法，抽象解釋理論概念及解決工具，最后回到實際問題中解釋其相關(guān)結(jié)果，實現(xiàn)從實際中來到實際中去的教學(xué)目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生利用微積分知識解決實際問題的能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。由于微積分知識體系嚴謹，從函數(shù)概念出發(fā)，到討論函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、函數(shù)可導(dǎo)性，相互之間一環(huán)扣一環(huán)。只有在前面知識理解到位的基礎(chǔ)上才能扎實地學(xué)好后面的內(nèi)容。同樣，求解不定積分又可以看成是函數(shù)求導(dǎo)運算的逆運算。而根據(jù)定積分中的牛頓-萊布尼茲公式，發(fā)現(xiàn)要想準(zhǔn)確地求出定積分值，需要學(xué)生熟練地求解不定積分，至于二重積分的計算，就是轉(zhuǎn)化為二次積分，兩次求解定積分。這些知識緊密相連，不可分割。如果孤立地學(xué)習(xí)這些知識，必然會使學(xué)生聽不懂，甚至覺得越來越難，無法掌握微積分的邏輯體系。

（二）教學(xué)內(nèi)容的改革

1.根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的不同，適當(dāng)進行分層教學(xué)，對不同層次的學(xué)生制定不同的教學(xué)大綱及相關(guān)內(nèi)容。大一新生的數(shù)學(xué)能力參差不齊，除了不同專業(yè)之間學(xué)生的差異較大外，相同專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也不盡相同。另外，對于未來有考研或出國計劃的學(xué)生來說，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求一定比沒有相關(guān)規(guī)劃的學(xué)生要高很多。因此，采用分層教學(xué)，制定平行班和提高班，讓學(xué)生根據(jù)自身的情況選課，找到適合自己的學(xué)習(xí)層次。教師針對不同層次的學(xué)生，設(shè)計不同的微積分學(xué)習(xí)內(nèi)容。例如，對于平行班的學(xué)生，適當(dāng)降低學(xué)習(xí)難度，對教學(xué)內(nèi)容進行適當(dāng)刪減，如減少級數(shù)部分的函數(shù)展開和差分方程的相關(guān)內(nèi)容，而對提高班的學(xué)生則適當(dāng)提高題目的深度和廣度，以適應(yīng)未來學(xué)習(xí)和研究的需要。

2.偏重對微積分定義定理的講解，使學(xué)生深度理解知識概念及理論。雖然學(xué)生的基礎(chǔ)差異大，但是對基礎(chǔ)概念及定理的理解是學(xué)好微積分的核心所在。比如，講授極限概念時，如果能從極限概念本身出發(fā)，幫助學(xué)生找到在怎樣的條件下得到怎樣的結(jié)論。就數(shù)列極限“ε-N”定義而言，教師應(yīng)清晰地說明N和ε所代表的意義，啟發(fā)學(xué)生理解=A中的條件和結(jié)論，條件是n→∞，結(jié)論是un→A。因此，在定義描述中要想使得un的極限為A，即使得un與A的距離無限接近，可以用任意小的正數(shù)ε來描述，用數(shù)學(xué)表達式表達就是|un-A|＜ε。然而，這個結(jié)論是基于在n→∞的前提下，對于任意小的正數(shù)ε，都應(yīng)該在滿足n→∞時才成立，而n＞N恰恰包含第N項后的所有數(shù)列值，這樣n→∞的條件自然也就滿足了。講完這個概念的重點后，學(xué)生對“ε-M”“ε-δ”的相關(guān)定義的理解就順暢多了。

3.課程學(xué)習(xí)中適當(dāng)引進數(shù)學(xué)建模理念，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。教授學(xué)生相關(guān)知識背景時，教師應(yīng)該引入數(shù)學(xué)建模理念，這是架構(gòu)實際問題和理論知識的橋梁［3-4］。例如，如何用微積分知識解釋經(jīng)濟學(xué)中的邊際效用遞減理論？這就需要先建立效用函數(shù)模型，利用邊際的概念對應(yīng)微積分中的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)判斷單調(diào)性的相關(guān)知識，便可以輕松得到效用導(dǎo)數(shù)遞減的結(jié)論。又如，我們?nèi)绾卧谥苯亲鴺?biāo)系下將二重積分轉(zhuǎn)化成二次積分？此知識的理解對學(xué)生來說非常困難，這就需要我們結(jié)合日常生活中的實例。如從計算手撕面包的體積出發(fā)，首先在空間直角坐標(biāo)系下建立面包上方的曲面函數(shù)，體積等于這個函數(shù)的二重積分；其實采用垂直x軸切片劃分的方式，將手撕面包切片，并保證每片切片都很薄，面包體積轉(zhuǎn)化為所有切片體積之和，這樣二重積分等于以x為積分變量，切片截面面積為被積函數(shù)的定積分；最后視切片截面為一個曲邊梯形，其面積等于函數(shù)在y-z平面上的定積分，至此二重積分就化為二次積分了。

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師在平時的教學(xué)中慢慢滲透和引導(dǎo)，這樣的培養(yǎng)方向一定要正確且有成效，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣［5］。

（三）教學(xué)手段的改革

1.將傳統(tǒng)教學(xué)和多媒體技術(shù)相結(jié)合，提高課堂效率。傳統(tǒng)的微積分教學(xué)是以教師板書為主，包括定義定理的書寫。隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，教師基本上都能制作PPT，一些定義定理的內(nèi)容通過PPT直接呈現(xiàn)，可以節(jié)約教師的上課時間，從而將更多的精力花在定義定理的講解上。事實上，隨著網(wǎng)課的大力發(fā)展，慕課、學(xué)習(xí)通、雨課堂、騰訊會議等豐富多彩的教學(xué)輔助軟件，在很大程度上豐富了教師的教學(xué)手段。在新冠肺炎疫情常態(tài)化階段，多種教學(xué)方式能保證上課效果。例如，使用騰訊會議開展線上直播，可以充分使用其錄制視頻、所有成員可批注及屏幕共享等功能。與此同時，結(jié)合在PPT中嵌入雨課堂，將PPT推送給學(xué)生，通過記錄學(xué)生簽到、利用彈幕了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求、隨機點名和課堂測驗等功能，達到與學(xué)生充分互動的教學(xué)效果。

2.充分利用網(wǎng)絡(luò)的便捷性，與學(xué)生積極交流?，F(xiàn)在大部分學(xué)生都有電腦或手機，教師建立班級群，可以充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，對于個別學(xué)生，可以進行一對一語音講解。碰到學(xué)生提問頻率較高的難題時，可以手寫計算過程，拍照上傳到群里；遇到好的微積分學(xué)習(xí)公眾號和電子書籍，可以分享給學(xué)生；對于一些教學(xué)網(wǎng)站上的優(yōu)秀教學(xué)視頻，可以有針對性地提醒學(xué)生觀看和學(xué)習(xí)。這樣能將課堂延伸到課外，盡管教師要付出更多的時間與精力，但是充分擴大了教學(xué)空間，學(xué)生也能與教師直接交流，從而大大縮短了教與學(xué)的距離，極大地增進了師生間的感情。

3.針對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，努力提高習(xí)題課的題目質(zhì)量。微積分作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科，需要每節(jié)課做一定量的練習(xí)才能對知識加以理解和熟練掌握。但是在微積分課時不變的情況下，習(xí)題課的題目質(zhì)量就十分重要了。對于書本上有的例題可以布置給學(xué)生自行學(xué)習(xí)，對經(jīng)典題型可以進行重點講解。同時，教師也要多做習(xí)題，尤其是考研題目，這樣才能正確掌握每年考研的數(shù)學(xué)方向。應(yīng)盡量選取課后習(xí)題、答疑時遇到的代表性習(xí)題、以往期中期末試卷中的習(xí)題及考研題目，這樣能快速提高習(xí)題課的學(xué)習(xí)效果，幫助學(xué)生提高解題和應(yīng)試能力。

三、“微積分”課程“學(xué)”的改革

要想學(xué)好“微積分”課程，除了教師“教”好課外，學(xué)生“學(xué)”好課也是重要的一環(huán)?！拔⒎e分”課程成績往往由平時成績、期中考試成績和期末考試成績綜合評價而得。其中，平時成績由學(xué)生的作業(yè)情況、出勤情況構(gòu)成，這樣得到的學(xué)生平時成績不夠全面。有的學(xué)生上課滿勤但抄襲作業(yè)，卻得到很高的平時成績；有的學(xué)生由于課上學(xué)習(xí)沒有理解透徹，作業(yè)自主完成，但正確率不高，反而影響了平時成績。對于后一種學(xué)生，因其主動學(xué)習(xí)能動性高，教師應(yīng)該鼓勵并幫助其鞏固所學(xué)知識，提升其學(xué)習(xí)微積分的信心。那么，如何動態(tài)有效地記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，給予學(xué)生及時有效的評價，以下提出三點改革措施：（1）課程開始之前，根據(jù)未來自身的發(fā)展方向，制訂適合自己的微積分學(xué)習(xí)計劃。學(xué)生進入大學(xué)后，完全進入自主學(xué)習(xí)狀態(tài)。學(xué)生對于大學(xué)學(xué)什么、怎么學(xué)要有清晰的認識。同時，初步確定未來的努力方向，改進中學(xué)階段的學(xué)習(xí)方法，制訂出適合自己的微積分學(xué)習(xí)計劃。以上課不遲到、不早退、完成教師布置的作業(yè)為基準(zhǔn)，充分和學(xué)長、學(xué)姐討教學(xué)習(xí)經(jīng)驗，摸索出學(xué)習(xí)微積分的方法，并以微積分學(xué)習(xí)報告的形式交給教師。（2）充分參與課堂學(xué)習(xí)，及時向教師反饋學(xué)習(xí)效果。課上，如有問題可以使用騰訊會議中的舉手、語音或彈幕等功能，及時向教師提出；課后，及時復(fù)習(xí)所學(xué)知識，可以向教師當(dāng)面請教學(xué)習(xí)中的問題，從而有助于教與學(xué)一體化模式的形成。（3）加大課后習(xí)題的練習(xí)量，充分利用網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢鞏固所學(xué)知識。學(xué)生在完成教師布置的作業(yè)后，要積極、主動地選擇相關(guān)學(xué)習(xí)材料，對所學(xué)內(nèi)容加以鞏固。騰訊會議等軟件有錄課的功能，因此可以和教師提出錄課請求，便于遇到薄弱知識環(huán)節(jié)時在課后隨時回放。也可以在互聯(lián)網(wǎng)上尋找相關(guān)教學(xué)視頻，傾聽其他教師對這個問題的分析和講解。經(jīng)常和學(xué)習(xí)好的同學(xué)探討知識，通過溝通交流加深對知識的理解。

結(jié)語

本文結(jié)合新冠肺炎疫情常態(tài)化和網(wǎng)絡(luò)化時代的背景，討論了“微積分”課程的教與學(xué)兩方面，提出微積分的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段改革，并以學(xué)生課前學(xué)習(xí)、課中學(xué)習(xí)和課后學(xué)習(xí)為改革方向，以期達到教與學(xué)一體化。