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      論流體能量守恒及壓力勢能與伯努利原理的應(yīng)用

      2022-02-13 09:31:20張辰辰
      中國設(shè)備工程 2022年3期
      關(guān)鍵詞:大氣壓力圓柱形質(zhì)點(diǎn)

      張辰辰

      (北京城建亞泰建設(shè)集團(tuán)有限公司,北京 100000)

      1 論述壓力勢能做功的形式

      我們都知道伯努利原理:

      這個(gè)式子被稱為伯努利方程。式中,p為流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng),v為流體該點(diǎn)的流速,ρ為流體密度,g為重力加速度,h為該點(diǎn)所在高度,C是一個(gè)常量。

      我們設(shè)△V為一圓柱形流體構(gòu)成的系統(tǒng),當(dāng)我們將公式(1)兩邊乘以一個(gè)體積元△V。

      即p△V+ρ△Vgh+(1/2)ρ△Vv2=c△V。

      如圖1:(一段在圓柱體內(nèi)的具有壓力的流體,先稱其為圓柱形流體)。

      圖1 截面積為s圓柱形流體系統(tǒng)(移動距離a)

      此時(shí),我們將圓柱形流體看作一個(gè)系統(tǒng),其移動距離a,及圓柱形流體作用在s面上的壓力做功W=Fa→E=Fa(2),F(xiàn)為作用在s面上的力,a為圓柱形流體的長度。

      圓柱形流體的重量勢能E=mgh(3),m為圓柱形流體的質(zhì)量,g為重力加速度,h為圓柱形流體抵抗重力做功的距離。

      圓柱形流體的動能E=(1/2)mv2(4),m為圓柱形流體的質(zhì)量,v為圓柱形流體的流速(v為圓柱形流體這個(gè)系統(tǒng)的速度≠其該點(diǎn)的流速)

      壓力勢能+重力勢能+動能=常數(shù)(與上式一一對應(yīng))

      這樣看,壓力勢能是由于某質(zhì)元△m因處于壓力F的場中而具有的能量。需要注意的是,壓力勢能與重力勢能不同,是物體由于位形(不是位置)而具有的能量。

      此式表示為壓力勢能與重力勢能及流體動能守恒。

      因?yàn)榇髿鈮毫菽芗礊榇髿鈮毫撛谒龅墓Γ浯笮∨c相對真空的大氣壓強(qiáng)和真空的體積有關(guān)。任何形狀的真空體都可視為由若干微小的高度為h底面積之和為s的柱體構(gòu)成,高度h可視為大氣壓力做功時(shí)經(jīng)過的距離,面積之和s可視為大氣壓力的受力面。設(shè)大氣壓力勢能為E、大氣壓力所做的功為W、大氣壓力為F、大氣壓強(qiáng)為P、真空的體積為V。根據(jù)大氣壓力與大氣壓強(qiáng)的關(guān)系以及功與力的關(guān)系可得:E=PV(6)(壓力勢能是一種機(jī)械能,與重力勢能、動能、內(nèi)能在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換。)

      由公式可知:大氣壓力勢能與相對于真空的大氣壓強(qiáng)和真空的體積有關(guān)。

      液體壓力勢能也是如此:將一個(gè)真空的球體壓入水下(球體重量忽略不計(jì)),深度h,球體體積v,則球體浮力為ρvg,球體壓入水中所做的功:W=ρvgh=pv.→E=PV。

      又根據(jù)克伯龍方程:PV=nRT(7),P表示壓強(qiáng),V表示氣體體積,n表示物質(zhì)的量,T表示絕對溫度,R表示氣體常數(shù)。所有氣體R值均相同。如果壓強(qiáng)、溫度和體積都采用國際單位(SI),R=8.314帕·米3/摩爾·K。如果壓強(qiáng)為大氣壓,體積為升,則R=0.0814大氣壓·升/摩爾·K。R為常數(shù)。

      理想氣體狀態(tài)方程:pV=nRT,

      由式(4)、(6)得:流體壓力勢能E=pV=nRT(8),

      由流體壓力勢能公式(8)、流體壓力勢能公式(5)、(6)得:nRT+mgh+(1/2)mv2=K(9),n表示物質(zhì)的量,T表示絕對溫度,R表示氣體常數(shù),v為流體系統(tǒng)(文中流體系統(tǒng)表示為一段重力勢能、動能、內(nèi)能、壓力勢能總和不變的圓柱形流體如圖一)速度,m為流體系統(tǒng)質(zhì)量,g為重力加速度,h為圓柱形流體抵抗重力做功的距離,K是一個(gè)常數(shù)。

      由nRT+mgh+(1/2)mv2=K,

      重力(亦或是其他力F=mg),得:nRT=K-Fh-(1/2)mv2(10),及當(dāng)圓柱形流體系統(tǒng)動能增大,或系統(tǒng)重力勢能增大(對外做功)時(shí),溫度減小。用此式可以解釋渦流管分離冷氣與熱氣的現(xiàn)象。

      渦流管:壓縮氣流通過收斂型的噴嘴膨脹加速,以音速沿切線方向進(jìn)入圓形管內(nèi)腔,并沿同口徑的管道擴(kuò)散,形成高速旋轉(zhuǎn)的渦流,從管道的截面看,此時(shí)雖然都叫氣流,但是中心的氣流角速度大,由公式(10)可知,速度增大溫度T減小,靠近壁管的氣流發(fā)生摩擦角速度比較低,公式(10)可寫為nRT=K-(1/2)mv2隨著速度增大溫度減小。

      實(shí)際就是內(nèi)圈高速旋轉(zhuǎn)的渦流靠摩擦力帶動外圈的渦流低速旋轉(zhuǎn),因此,內(nèi)圈的氣流不斷帶動外圈旋轉(zhuǎn),結(jié)果就是內(nèi)圈渦流的氣體內(nèi)能不斷轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)動能,公式(10)可寫為nRT=K-Fh。由于內(nèi)圈旋渦的氣體不斷對外圈氣體做功,所有溫度降低,相應(yīng)的外圈氣體不斷因摩擦獲得動能維持旋轉(zhuǎn),同時(shí),氣體內(nèi)能也不斷增加,導(dǎo)致溫度升高。其實(shí)不止渦流管,旋轉(zhuǎn)的流體都會出現(xiàn)這種現(xiàn)象,只是速度太小導(dǎo)致溫度變化小,不易察覺。

      如此一來,內(nèi)圈的低溫渦流和外圈的高溫渦流,同時(shí),向右錐形塞的出口擴(kuò)散,而冷氣口由于氣體的附壁效應(yīng)將角速度小的中心氣體帶出,形成冷空氣。渦流管如圖2。

      圖2 渦流管示意圖

      由圖1得當(dāng)圓柱形流體系統(tǒng)移動距離a,及壓力對外做功(流體勢能對外做功)W=Fa,由公式(5)、公式(6)、公式(7)得E=Fa=PV=nRT→T=W/nR,圓柱形流體系統(tǒng)內(nèi)能降低溫度減小。及圓柱形流體系統(tǒng)溫度與系統(tǒng)對外做的功成反比。

      此處引用理想氣體方程,對于其他流體可代入dp/dT=L/(TΔv),其中L是相變潛熱,Δv是比體積或摩爾體積的變化。易得出對外做功與溫度的變化。

      2 論述流速與壓強(qiáng)的關(guān)系

      旋轉(zhuǎn)的半徑為r的圓盤上放置一個(gè)質(zhì)量為m的物體,此時(shí),由于摩擦力提供向心力,物體保持與圓盤同步旋轉(zhuǎn),物體受到的向心力為F=mv2/r,m為物體質(zhì)量,v為物體速度,r為物體至圓心的距離。

      將流體分子設(shè)為一質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn),當(dāng)流體放置在半徑為r的圓盤上旋轉(zhuǎn),流體總質(zhì)量為M,此時(shí),分子與圓盤摩擦力提供向心力,單個(gè)分子受到的向心力為F=mv2/r。

      圓柱形流體分子組成的質(zhì)量為M的總流體,考慮總流體可以看作在r/2半徑上的一圈質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的圓環(huán),則質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的圓環(huán)受到的向心力為F=Mv2/2r.→F=nmv2/2r(11)。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)向心力F=mv2/2r。而nm/2r可以表述為在半徑r上可以排列分子的數(shù)量。

      圓柱形流體在半徑r/2圓柱面上產(chǎn)生的壓強(qiáng):

      P=(Mv2/2r)/πrh=Mv2/2πr2h=Mv2/2V=ρv2/2(12),(V半徑r高為h圓柱體積)。與圓柱半徑無關(guān),與圓柱體積內(nèi)流體密度成正比,與流體速度平方成正比。壓強(qiáng)的方向由圓心指向切點(diǎn)方向。

      單個(gè)運(yùn)動軌跡為半徑r/2質(zhì)點(diǎn)在圓柱面上產(chǎn)生的壓強(qiáng)P’=(mv2/2r)/πrh=mv2/2πr2h=mv2/2V=ρ’v2/2,P’單 個(gè)質(zhì)點(diǎn)為壓強(qiáng)貢獻(xiàn)值。ρ’為質(zhì)點(diǎn)m在圓柱體積V內(nèi)占的比重。P’與圓柱半徑無關(guān),與體積有關(guān),與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量有關(guān),即質(zhì)點(diǎn)移動速度v,該質(zhì)點(diǎn)則產(chǎn)生P’的壓強(qiáng),壓強(qiáng)的方向由圓心指向切點(diǎn)方向。

      可以算出單個(gè)水分子在1立方米體積上的比重為:ρ’=m/V=水分子質(zhì)量m/體積=2.99×10(-26)/1=2.99×10(-26)kg/m3。

      當(dāng)單個(gè)水分子速度為1m/s時(shí),為壓強(qiáng)貢獻(xiàn)值為:P’=ρ’v2/2=2.99×10(-26)×12/2=1.49510(-26)kg/ms2,此單位表示,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量(kg)與其經(jīng)過的路徑(m)與時(shí)間(s)的平方乘積成正比。kg/ms2分子分母同時(shí)乘以m,可得出壓強(qiáng)單位kgm/m2s2→N/m2,由動能公式E=mv2/2。流體在半徑r/2圓柱面上產(chǎn)生的壓強(qiáng)P=ρv2/2=Mv2/2V(13)。得P=E/V,同體積下,動能與正曲率方向(由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向)上的壓強(qiáng)成正比。動能不變的情況下,系統(tǒng)體積與正曲率方向(由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向)上的壓強(qiáng)成反比。

      由動能公式E=mv2/2。單個(gè)流線質(zhì)點(diǎn)(運(yùn)動軌跡有曲率的質(zhì)點(diǎn))壓強(qiáng)貢獻(xiàn)值公式P’=ρ’v2/2=mv2/2V。得P’=E/V,同體積下,單質(zhì)點(diǎn)動能與正曲率方向(由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向)上的壓強(qiáng)成正比。動能不變的情況下,系統(tǒng)體積與正曲率方向(由圓心指向質(zhì)點(diǎn)方向)上的壓強(qiáng)成反比。

      流體在物體表面流動時(shí),由于流體的黏性,在物體表面會產(chǎn)生速度梯度,即:τ=ηdv/dx=ηD(牛頓公式)其中η與材料性質(zhì)有關(guān),我們稱為“黏度”。當(dāng)速度梯度不為線性時(shí)及速度v/x不為常數(shù)時(shí)(如圖3),我們可以理解為此處流體(物體表面上流動的流體)產(chǎn)生了壓強(qiáng),單個(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生壓強(qiáng)的大小為P’=E/V。則此處產(chǎn)生的壓強(qiáng)P=ρv2/2。方向?yàn)檎史较?,如圖3。

      圖3

      當(dāng)速度梯度為弧形時(shí),即板受到F運(yùn)動時(shí),則流體因黏度η的存在,靠近板的流體被帶走,上層的流體來補(bǔ)充,產(chǎn)生了沿弧形梯度流動的流體,由公式(12)知圓柱形流體產(chǎn)生的壓強(qiáng)P與圓柱半徑無關(guān),與圓柱體積內(nèi)流體密度成正比,與流體速度平方成正比。壓強(qiáng)的方向?yàn)檎史较颉?/p>

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