結合Python軟件的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學實踐*

劉娟 萬媛媛

1.廣東財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院 廣東 廣州 510320；

2.中山大學新華學院 廣東 廣州 510520

引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的學科。進入21世紀以來概率論的思想以及常見統(tǒng)計分析方法已經(jīng)被廣泛應用于生物醫(yī)學、經(jīng)濟管理及社會學等眾多領域。近年來隨著人工智能技術的飛速發(fā)展，推進了信息技術在日常教學中的廣泛應用[1]。當前在數(shù)據(jù)科學領域，Python作為一種高級程序設計語言，其腳本語言簡單且易用，具有豐富的擴展庫，是數(shù)據(jù)科學家們最常用的語言。在概率論與梳理統(tǒng)計的課堂中引入Python語言輔助教學，結合教學過程中的理論要點、典型問題，利用Python程序的相關模塊，去完成數(shù)理模型計算，統(tǒng)計試驗的模擬，數(shù)據(jù)建模及統(tǒng)計推斷等，將抽象的數(shù)學知識具體化，讓學生根據(jù)討論問題展開探索性學習模式，提高學生的學習積極性，可以提升課堂教學效率。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的典型問題

根據(jù)研究的內(nèi)容及方法來看，概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程由兩個部分組成，概率論是研究關于不確定性現(xiàn)象的數(shù)學描述，概率思想是統(tǒng)計學的理論基礎，而數(shù)理統(tǒng)計則是研究有效整理收集和分析受到隨機影響數(shù)據(jù)的學科。由于學生在學過微積分、線性代數(shù)等課程后會形成一些慣性思維，不太適應和熟悉概率統(tǒng)計研究隨機現(xiàn)象產(chǎn)生的新觀點，比如頻率概率與主觀概率，假設檢驗、最大似然和回歸分析方法等理論性較強的知識點[2]。教師在課堂教學中不能只強調概率統(tǒng)計課程中的公式和定理，片面追求抽象思維能力的訓練，在教學實踐中可結合問題案例教學方法來傳授思想和指導實踐，強調問題解決的過程，讓學生有在課堂上有獲得感，體會到所學知識可以解決實際問題，達到專業(yè)素養(yǎng)的提升。

1.1 概率論的創(chuàng)立及古典概率論的發(fā)展

通常認為概率論起于骰子的應用，源于點數(shù)問題，也稱為分賭本問題。這是早期概率論從萌芽到成立過程中最重要的一個問題：有一個贏者可以獲得全部獎金的雙人對戰(zhàn)游戲，每局只有勝負之分，每局的得分是10分，先得到60分的人獲勝，A和B兩人正在進行游戲時因某些原因中止，而此時A的得分是50分，B的得分是30分，請問獎金該如何分配給雙方才算公平。

為解決上述問題，費馬和帕斯卡開始了關于這類分配問題的系列著名通信。他們將賭博問題轉化成數(shù)學問題，靈活地運用了組合理論，使用加法定理、乘法定理和全概率公式，引進了后來被稱之為數(shù)學期望的概念，利用二項分布和負二項分布的思想，費馬和帕斯卡完美解決了分賭本的問題。

1.2 概率論中兩個重要極限定理

貝努利在《猜度術》書中提出了著名的大數(shù)定理，大數(shù)定理討論的是在什么條件下，隨機變量序列的算術平均依概率收斂到其均值的算術平均[3]。隨著概率論學科的發(fā)展，到目前出現(xiàn)了各種推廣形式的大數(shù)定律，但其核心觀點都是當樣本量越大，樣本均值的穩(wěn)定性就越好。概率論中第二個重要定理就是中心極限定理，這一定理是揭示自然規(guī)律的重要工具，曾經(jīng)在兩個多世紀里作為概率論研究中心課題。與大數(shù)定理所得到的樣本均值穩(wěn)定性的結論對比，中心極限定理給出了更精確、更深刻的結論，它討論了在什么條件下獨立隨機變量和的分布函數(shù)是正態(tài)分布。

1.3 數(shù)理統(tǒng)計的思想和模型

數(shù)理統(tǒng)計學是基于數(shù)據(jù)的學科，數(shù)據(jù)是數(shù)字，但不只是數(shù)字，在如今大數(shù)據(jù)時代，除了傳統(tǒng)意義上的數(shù)據(jù)，現(xiàn)在也包括如視頻、音頻、文本等大量的非結構化數(shù)據(jù)。 數(shù)理統(tǒng)計研究怎樣利用、收集和整理數(shù)據(jù)帶有隨機性的數(shù)據(jù)，對總體發(fā)分布或者參數(shù)做出估計和推斷。

假設檢驗是統(tǒng)計推斷中非常重要的一種方法和思想，它來自英國著名統(tǒng)計學家Ronald Fisher羅納德·費希爾1935年的著作《試驗設計》，書中給出了統(tǒng)計學歷史上著名的女士品茶問題[4]。假設檢驗不僅是一種方法，更是一種重要的統(tǒng)計思想。針對需要研究的問題，把期待的結果置于備擇假設的位置，然后根據(jù)原假設在已有理論框架下進行嚴格數(shù)學推導，計算模型的P值，這種思想的核心在于“拒絕”，而不是“證明”，這與常規(guī)的數(shù)學思維方式不盡相同，卻是統(tǒng)計學學習中的重點。

回歸分析是統(tǒng)計學中數(shù)據(jù)分析的一個非常重要的模型方法，統(tǒng)計學上“回歸”一詞，最早出現(xiàn)在1855年生物學家高爾頓發(fā)表的《遺傳的身高向平均數(shù)方向的回歸》文章中?；貧w分析也是機器學習中最基礎的理論之一，線性回歸模型相對簡單，并且提供了一個易于解釋的數(shù)學公式，它可以應用應用于自然科學、社會科學等各個領域，是統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析的最基礎方法。

2 引入Python語言的兩個典型教學案例

Python編程語言語法簡潔且具有強大第三方庫的支持，而且Python程序對初學者非常友好，它是人工智能時代重要的編程語言之一，下面結合課程教學的經(jīng)典應用案例，來展示Python軟件在概率統(tǒng)計課程教學中的應用，培養(yǎng)學生學會利用概率統(tǒng)計知識，初步具備對實際問題的建模的能力，利用計算機程序來輔助學習、探索解決實際問題，達到“學，思，做”的有機結合。

2.1 Python程序實現(xiàn)貝努利大數(shù)定理

歷史上有許多著名概率統(tǒng)計學者都曾經(jīng)做過“擲骰子”的試驗，將一枚均勻的骰子重復的拋擲，觀察出現(xiàn)點數(shù)的規(guī)律，剛開始出現(xiàn)的點數(shù)會隨機地出現(xiàn)點1到點6，并不呈現(xiàn)出穩(wěn)定規(guī)律，隨著試驗次數(shù)的增加，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的點數(shù)的平均值會穩(wěn)定在3.5附近，這一看似直觀的結論，背后的數(shù)學原理正是大數(shù)定律。為了讓學生在能夠更直觀感受到這一結論，從被動接受到自己動手實踐，引入Python中的numpy程序包來輔助教學，下面是擲骰子試驗在Python中實現(xiàn)代碼：

import random

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

random.seed(1991)

def Roll(n):

result=[]

for i in range(1,n+1):

result.append(random.choice([1,2,3,4,5,6]))

return result

result=Roll(1500)

averages=[]

_cumsum=np.cumsum(result)

for index in range(len(_cumsum)):

averages.append(_cumsum[index]/(index+1))

plt.plot(averages)

plt.rcParams[‘font.family’]= [‘sans-serif’]

plt.rcParams[‘font.sans-serif’]= [‘SimHei’]

plt.xlabel(‘試驗次數(shù)')

plt.ylabel(‘骰子點數(shù)的平均值')

plt.title(‘擲骰子的大數(shù)定律')

plt.show()

及模擬1500次的運行結果如下圖1所示。

圖1 模擬1500次的試驗結果

2 Python程序實現(xiàn)單正態(tài)總體均值的假設檢驗

首先給出教材中一類單正態(tài)總體在方差未知情況下的雙側檢驗問題，某廠生產(chǎn)的某種零件的長度服從正態(tài)分布，其均值設定為0.8cm，現(xiàn)從該廠抽取9件產(chǎn)品，測定長度分別為0.8511、0.8891、0.8982、0.7625、0.845、0.838、0.8232、0.8883及0.8256。給定顯著性水平0.05，判斷該廠這批零件長度是否符合要求。

假設檢驗是統(tǒng)計學部分的重要內(nèi)容，利用Python程序SciPy庫中的stats模塊的ttest_lsamp函數(shù)可以進行單個正態(tài)總體均值的檢驗，利用程序中的對應模塊來完成統(tǒng)計計算，讓學生學會和適應用軟件掌握相關知識點。本題在Python中實現(xiàn)的完整代碼如下，由代碼結果可知，根據(jù)p值這批零件不符合要求，拒絕原假設。

In[1]: from scipy import stats as sts

dafa= [0.8511,0.8891,0.8982,0.7652,0.8450,0.8380,0.8232,

0.8883,0.8256]

Print(‘零件長度為： ’,sts.ttest_lsamp(a=data,popmean=0.80))

Out[1]: 零件長度為：

Ttest_lsampResult(statistic=3.3116514531113,

Pvalue=0.010671924137571)

3 結束語

隨著大數(shù)據(jù)人工智能技術的飛速發(fā)展 , 利用數(shù)據(jù)處理軟件賦能助力教學已成為現(xiàn)實，在概率論與梳理統(tǒng)計的課堂中引入Python語言輔助教學，利用程序的相關模塊，去完成概率定理的模擬，統(tǒng)計試驗的計算及推斷等，將抽象的數(shù)學理論具體化，重現(xiàn)知識形成過程，幫助學生更好地理解和掌握教學內(nèi)容，達到培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力的目標。