沖擊荷載下錨固體動(dòng)力學(xué)方程與數(shù)值分析

湯紅槍?zhuān)h鵬遠(yuǎn)，陳 達(dá)

(1.河南能源化工集團(tuán) 永煤公司城郊煤礦，河南 永城 476600；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木工程學(xué)院，江蘇 徐州 221008)

隨著煤礦開(kāi)采深度的增加，礦壓沖擊危險(xiǎn)性加劇。錨桿支護(hù)動(dòng)態(tài)荷載作用下的錨桿支護(hù)作用機(jī)理引起了眾多學(xué)者和工程師的密切關(guān)注[1-4]。Mc Creath等[5]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)和理論分析對(duì)沖擊地壓巷道支護(hù)機(jī)理問(wèn)題進(jìn)行了研究，認(rèn)為在有沖擊危險(xiǎn)的巷道中，所選用的錨桿必須具有較好的延展性能，即錨桿具備較強(qiáng)的吸收彈性應(yīng)變能的能力。Anders Ansell[6-7]利用落錘試驗(yàn)研究了一種新型吸能錨桿的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，指出吸能錨桿的吸能原理是錨桿和圍巖一起屈服并產(chǎn)生大塑性變形。Charlie C L等[8-9]研發(fā)了一種新型能量吸收錨桿——D錨桿，并詳細(xì)分析了D錨桿在靜力和動(dòng)力荷載下桿體的力學(xué)響應(yīng)。鞠文君[10]認(rèn)為，沖擊地壓下錨桿支護(hù)能夠強(qiáng)化圍巖體整體強(qiáng)度，約束圍巖變形破壞，并吸收沖擊剩余能量。薛亞?wèn)|等[11]對(duì)回采巷道錨桿支護(hù)進(jìn)行了地震動(dòng)載模擬，發(fā)現(xiàn)端錨支護(hù)巷道受動(dòng)載的破壞較全錨小，表明動(dòng)載巷道錨桿支護(hù)應(yīng)采用端錨方式。付玉凱等[12]采用自由落錘沖擊實(shí)驗(yàn)，分析了側(cè)向沖擊荷載下錨桿的動(dòng)力響應(yīng)。同時(shí)，在錨桿支護(hù)材料上也進(jìn)行了相應(yīng)的研究[13-15]，開(kāi)發(fā)了超高強(qiáng)且具有沖擊吸能功能的高級(jí)錨桿鋼筋。

從現(xiàn)有研究成果看，錨桿支護(hù)能夠起到一定的防沖吸能作用，從而可降低災(zāi)害程度[16-19]。當(dāng)巷道發(fā)生沖擊地壓時(shí)，可利用錨桿的這種吸能作用，控制沖擊地壓發(fā)生時(shí)的災(zāi)害效應(yīng)。筆者從錨桿支護(hù)在沖擊地壓下的工作機(jī)制入手，分析錨固體在動(dòng)載作用下的響應(yīng)特征，探索錨桿支護(hù)在沖擊地壓下的減災(zāi)機(jī)理和作用。

1 錨固體動(dòng)力學(xué)方程

錨桿通過(guò)錨固段對(duì)圍巖產(chǎn)生作用，圍巖在外界荷載下產(chǎn)生變形與位移，從而對(duì)錨桿產(chǎn)生作用。目前對(duì)于靜載作用下，錨桿支護(hù)作用機(jī)理的研究已取得了很多成果，并得到廣泛應(yīng)用[20-22]，但對(duì)于動(dòng)載作用下錨桿支護(hù)機(jī)理的研究還不夠。在此，首先建立錨固體動(dòng)力學(xué)理論模型，分別建立錨固體自由段和錨固段的動(dòng)力學(xué)偏微分方程，并給出初始條件和邊界條件。

1.1 錨固體動(dòng)力學(xué)模型

錨桿與圍巖組成的錨固體示意圖，如圖1所示。

圖1 錨固體示意圖

圖1中，錨桿體長(zhǎng)為L(zhǎng)，錨固段長(zhǎng)為L(zhǎng)m，自由段長(zhǎng)為L(zhǎng)z，則外露長(zhǎng)度為(L-Lm-Lz)，截面積為Sb，截面周長(zhǎng)為l，錨桿材料密度ρ，不計(jì)重力。在此作出如下假設(shè)：

1)錨桿體為有限長(zhǎng)等截面均質(zhì)桿，材料為質(zhì)量連續(xù)分布的線性彈性體，其彈性模量為Eb(錨固體模型彈性模量)；

2)錨桿及圍巖形成的錨固體為均質(zhì)，且對(duì)錨桿體的作用可以用一個(gè)線性彈簧和線性阻尼器以平行的方式耦合，其分布式彈簧系數(shù)為k，阻尼系數(shù)為η，如圖2所示；

3)深部圍巖對(duì)錨桿的作用簡(jiǎn)化為線性分布式彈簧，其彈簧常數(shù)為kb；

4)錨桿軸向振動(dòng)時(shí)錨桿、固結(jié)體及圍巖只發(fā)生線性彈性變形；

5)外界動(dòng)載Q(t)沿錨桿軸線方向，且均布于錨桿末端。

圖2 錨桿示意圖

1.2 錨固體動(dòng)力學(xué)方程

1.2.1自由段分析(0≤x≤Lz)

在自由段截取錨桿單元體如圖3所示。

圖3 自由段錨桿微元

(1)

(2)

式中：u為錨桿體質(zhì)點(diǎn)的位移，是x和t的函數(shù)， m；F為錨桿微元體截面的內(nèi)力， N。

1.2.2錨固段分析(Lz

在錨固段截取錨桿單元體如圖4所示。

圖4 錨固段錨桿微元

取錨桿體微元作動(dòng)力平衡分析得：

(3)

(4)

動(dòng)載作用下錨桿位移沿全長(zhǎng)偏微分方程：

(5)

方程(5)是二階偏微分方程，表征動(dòng)荷載作用下錨桿與圍巖相互作用的關(guān)系。由式(5)可知，錨桿位移u(x，t)是關(guān)于錨桿長(zhǎng)度與時(shí)間的函數(shù)，該方程的解析在數(shù)學(xué)上存在一定的困難。為了進(jìn)一步揭示該方程的物理意義，采用數(shù)值模擬的方法進(jìn)行分析，可揭示在沖擊荷載作用下錨桿和圍巖的動(dòng)力響應(yīng)特征，包括錨桿軸力、錨桿縱向及橫向位移、圍巖應(yīng)力、圍巖應(yīng)變、振動(dòng)速度變化特征等。

2 數(shù)值計(jì)算模型

利用FLAC5.0建立平面數(shù)值模型，如圖5所示。模型尺寸1.0 m×1.6 m，單元數(shù)量為4 080個(gè)。其中，錨桿單元80個(gè)(自由段單元為60個(gè)，錨固段單元為20個(gè))，巖石單元4 000個(gè)。采用Cable單元模擬錨桿，巖石采用Mohr-Coulomb模型；錨桿長(zhǎng)度1.6 m，其中錨固段長(zhǎng)度為0.4 m，自由段長(zhǎng)度1.2 m。模型上下邊界條件為固定X、Y方向位移，并在上下邊界施加靜止邊界，四周施加自由場(chǎng)邊界，初始條件為靜止?fàn)顟B(tài)?；诔墙济旱V現(xiàn)場(chǎng)勘測(cè)結(jié)果，外界輸入動(dòng)荷載采用半正弦速度荷載，其方程為：v=5sin(10π×t)，頻率5 Hz，峰值5 m/s，動(dòng)荷載施加位置為模型右邊界中部0.24 m處，上下各0.12 m對(duì)稱(chēng)施加，作用時(shí)間為100 ms。具體圍巖和錨桿單元參數(shù)見(jiàn)表1和表2。

圖5 錨固體模型圖

表1 圍巖物理參數(shù)

表2 錨桿物理參數(shù)

為觀測(cè)模型各物理參數(shù)的變化規(guī)律，在模型左邊界布置圍巖振動(dòng)速度監(jiān)測(cè)線，沿整根錨桿布置位移、軸力、剪切應(yīng)變等參數(shù)監(jiān)測(cè)線，在離錨桿最近的圍巖處布置圍巖監(jiān)測(cè)線。模型監(jiān)測(cè)線布置見(jiàn)圖6所示。

圖6 監(jiān)測(cè)線布置圖

3 錨固體動(dòng)力響應(yīng)特征與規(guī)律

由于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題會(huì)引進(jìn)時(shí)間因素，導(dǎo)致問(wèn)題的分析變得復(fù)雜，在不同時(shí)刻，動(dòng)力方程可能會(huì)有不同的解，此時(shí)需要控制時(shí)間不變，分析同一時(shí)刻下錨桿與圍巖的響應(yīng)規(guī)律；同時(shí)，為了揭示公式(5)的物理意義，還需要對(duì)部分關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行時(shí)程歷程分析，充分了解錨固體在不同時(shí)刻、不同位置的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律。

3.1 錨桿位移變化特征分析

3.1.1錨桿軸向位移

圖7是在沖擊荷載作用下不同部位錨桿單元軸向位移的時(shí)間歷程曲線，圖中標(biāo)注表示從錨桿托盤(pán)處計(jì)算的錨桿分段長(zhǎng)度。圖8是錨桿全長(zhǎng)在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms這4個(gè)時(shí)刻的軸向位移變化曲線。

由圖7可以看出，無(wú)論是自由段還是錨固段，軸向位移隨著動(dòng)載作用時(shí)間的增加均在不斷增大，在動(dòng)載作用結(jié)束時(shí)達(dá)到最大，離動(dòng)載施加處越近最終位移越大，最大值為64 mm。其增長(zhǎng)曲線與余弦曲線相似，增長(zhǎng)率在動(dòng)載峰值處達(dá)到最大。錨桿自由段并沒(méi)有與圍巖產(chǎn)生直接作用，而且距離沖擊荷載施加位置較遠(yuǎn)，錨桿對(duì)沖擊荷載的響應(yīng)不存在局部差異，這點(diǎn)通過(guò)圖8也可以看出。而錨固段與圍巖有直接作用，距離沖擊荷載施加位置又較近，該部分對(duì)沖擊荷載響應(yīng)存在明顯區(qū)域差異。

圖7 錨桿軸向位移-時(shí)間歷程曲線

圖8 不同時(shí)刻錨桿軸向位移曲線

由圖8可以看出，錨桿長(zhǎng)度在1.20～1.52 m之間，錨固段位移隨著與沖擊源距離的減小而增大；錨桿長(zhǎng)度在1.52～1.60 m之間，錨固段位移隨著與沖擊源距離的減小而越小。最終位移在距離沖擊荷載施加位置80 mm處(即整根錨桿長(zhǎng)度95%，錨固段長(zhǎng)度80%處)達(dá)到最大。錨固段單元之間具有相對(duì)位移和整體位移，整體位移即自由段位移為43 mm，最大相對(duì)位移為21 mm，占整體位移的48.8%，而自由段只有整體位移。這是由于動(dòng)載在錨桿體和巖體中產(chǎn)生的位移不一致，圍巖與錨桿發(fā)生了相對(duì)位移，錨桿的整體位移即圍巖的位移。

3.1.2錨桿徑向位移分析

圖9是在沖擊荷載作用下不同部位錨桿單元徑向位移的時(shí)間歷程曲線。圖10是錨桿全長(zhǎng)在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms這4個(gè)時(shí)刻的徑向位移變化曲線。

由圖9可以看出，在25 ms之前，錨桿幾乎沒(méi)有徑向位移，這也可以通過(guò)圖12中25 ms的曲線看出，這是因?yàn)榘胝覄?dòng)載在剛開(kāi)始的時(shí)候速度并不大，對(duì)錨桿的影響也不明顯。25 ms之后，徑向位移隨著時(shí)間的增加而不斷增大，在85 ms達(dá)到最大，之后不再變化。說(shuō)明25 ms后，動(dòng)載對(duì)錨桿開(kāi)始產(chǎn)生作用，85 ms后動(dòng)載振動(dòng)速度下降，對(duì)錨桿的作用也隨之減少。錨桿起始點(diǎn)(托盤(pán)處)和錨固段末端0.2 m范圍內(nèi)的錨桿徑向位移在整個(gè)沖擊過(guò)程中變化都很小，最大不超過(guò)1 mm。

圖9 錨桿徑向位移-時(shí)間歷程曲線

圖10 不同時(shí)刻錨桿徑向位移曲線

由圖10可知，25 ms后，錨桿長(zhǎng)度方向1.02 m(即整根錨桿長(zhǎng)度63.75%，自由段長(zhǎng)度85%處)處徑向位移始終最大，在85 ms達(dá)到最大值，最大值為7.13 mm。以錨桿1.02 m處為界，隨著距該處距離的增加，錨桿徑向位移不斷減小。整體趨勢(shì)是中間位移大，兩邊位移小，而錨固段徑向位移變化率大于自由段。由于錨固段受到圍巖約束，錨桿托盤(pán)處對(duì)錨桿位移也有約束，而自由段錨桿沒(méi)有位移約束，可以沿徑向振動(dòng)，所以錨桿兩邊位移小，中間位移大。自由段不同位置距動(dòng)載距離不同，而動(dòng)載對(duì)其作用與其距離呈正相關(guān)關(guān)系，加之錨固段圍巖對(duì)距其較近的自由段錨桿的約束效果的綜合作用，最終呈現(xiàn)出在自由段85%處位移最大的現(xiàn)象。而位移最大出現(xiàn)的位置與動(dòng)載的作用效果和錨固段圍巖約束效果的相對(duì)強(qiáng)弱有關(guān)。

3.2 錨桿軸力變化特征分析

圖11和圖12分別是在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms時(shí)錨桿軸力和剪切應(yīng)變曲線。

圖11 不同時(shí)刻錨桿軸力曲線

由圖11可知，100 ms時(shí)，錨固段不同位置錨桿軸力不同，當(dāng)錨桿長(zhǎng)度處于1.2～1.6 m(錨固段范圍)之間時(shí)，隨著錨桿長(zhǎng)度的增加軸力不斷減小。對(duì)比錨固段和自由段軸力可以發(fā)現(xiàn)，錨固段軸力比自由段軸力要小，在軸力增長(zhǎng)時(shí)錨固段增長(zhǎng)速度也小于自由段增長(zhǎng)速度，在自由段與錨固段分界處，軸力變化幅度較大，錨桿的軸力是由于圍巖與錨桿的相對(duì)位移產(chǎn)生的，錨固段圍巖與錨桿相對(duì)位移較自由段小，所以自由段軸力較錨固段大。

圖12 不同時(shí)刻錨桿剪切應(yīng)變曲線

由圖12可以看出，自由段錨桿剪切應(yīng)變變化不大，錨固段剪切應(yīng)變隨錨桿長(zhǎng)度增加不斷減小，這與錨固段軸力變化趨勢(shì)基本吻合。在自由段與錨固段分界點(diǎn)位置即錨桿長(zhǎng)度為1.2 m處，錨桿剪切應(yīng)變急劇增大，在此處錨桿軸力也變化較大，這種劇烈變化程度隨著動(dòng)載作用時(shí)間增加而進(jìn)一步加深。該位置最有可能發(fā)生局部破壞，從而導(dǎo)致錨桿整體失效。所以在沖擊荷載作用下錨桿的破壞過(guò)程中，自由段與錨固段分界點(diǎn)位置是一個(gè)關(guān)鍵控制點(diǎn)。另外，沖擊荷載對(duì)錨桿的影響有滯后效應(yīng)，即沖擊荷載發(fā)生一段時(shí)間后錨桿才有響應(yīng)。

3.3 圍巖位移變化特征分析

此處圍巖指的是離錨桿最近處同一監(jiān)測(cè)線上的圍巖，如圖6中所示的圍巖監(jiān)測(cè)線。

3.3.1X方向(軸向)位移分析

圖13中橫坐標(biāo)的距離是指沿錨桿始端(模型左邊界)到錨桿終端(模型右邊界)的距離。由圖可以看出，隨著動(dòng)載的施加，圍巖在X方向位移不斷增大，自由段錨桿區(qū)域圍巖X方向位移近乎直線增加，在100 ms之后穩(wěn)定下來(lái)。不同位置最終位移雖不相同但相差不大，最大相差2.6 mm。這說(shuō)明自由段錨桿范圍圍巖沒(méi)有相對(duì)位移，只有整體位移，因?yàn)檫@部分圍巖距離沖擊荷載施加位置較遠(yuǎn)，受沖擊荷載影響不明顯，不存在局部差異。而錨固段錨桿區(qū)域圍巖受沖擊荷載影響明顯，該范圍圍巖在X方向位移的增長(zhǎng)速度先逐漸增大后逐漸減小，在50 ms時(shí)達(dá)到最大，位移增長(zhǎng)曲線與余弦曲線相似。該區(qū)域圍巖最終位移最大相差7.1 mm，說(shuō)明該區(qū)域受沖擊荷載影響較大，對(duì)沖擊荷載響應(yīng)存在區(qū)域差異。

在錨固段，圍巖X方向位移隨著錨固段長(zhǎng)度增加而增大，最終位移在距離沖擊荷載施加位置8 cm處達(dá)到最大，隨后減小。錨固段圍巖之間具有相對(duì)位移和整體位移，整體位移即自由段圍巖位移，最大相對(duì)位移為2.19 cm，占整體位移的51.6%，這一點(diǎn)與錨桿位移的分析基本一致。

圖13 不同時(shí)刻圍巖X方向位移-距離曲線

3.3.2Y方向(徑向)位移分析

圖14是圍巖在25 ms、50 ms、75 ms、100 ms時(shí)同一監(jiān)測(cè)線上圍巖Y方向位移曲線。

由圖14可以看出，同一時(shí)刻圍巖在Y方向上位移隨距離變化曲線的最大特征就是中間大兩邊小。具體來(lái)說(shuō)，是在距離為1.02 m處位移達(dá)到最大，最大位移為7.37 mm。在25 ms之前圍巖Y方向上的位移幾乎為0；25 ms之后，在距離為0～1.02 m之間時(shí)，位移隨著距離增加而增大，增長(zhǎng)率隨著時(shí)間增加而變大。在距離為1.02～1.40 m之間時(shí)，位移隨著距離增加而迅速降低；在距離為1.40～1.60 m之間時(shí)，位移接近為0，變化不大。這說(shuō)明沖擊荷載對(duì)施加位置附近圍巖Y方向位移影響不大。

圖14 不同時(shí)刻圍巖Y方向位移-距離曲線

3.4 圍巖表面振動(dòng)速度變化特征分析

圖15是圍巖表面不同時(shí)刻振動(dòng)速度隨距離變化的歷程曲線。圖16是不同時(shí)刻左邊界淺部圍巖隨距錨桿始端距離的變化曲線。

圖15 邊界圍巖振動(dòng)速度-時(shí)間歷程曲線

由圖15可以看出，圍巖表面振動(dòng)速度整體呈現(xiàn)先增大后減小最后保持不變的變化規(guī)律。在60 ms左右達(dá)到最大振動(dòng)速度，最大值為0.62 m/s。振動(dòng)速度最大值到達(dá)時(shí)刻比動(dòng)荷載峰值到達(dá)時(shí)刻延遲10 ms，且左邊界圍巖振動(dòng)速度峰值遠(yuǎn)小于動(dòng)載峰值，動(dòng)荷載在傳遞過(guò)程中不斷被錨固體耗散，最終到達(dá)邊界的振動(dòng)是錨桿系統(tǒng)未吸收的能量，并會(huì)以動(dòng)能的形式釋放出去。

由圖16可以看出，同一時(shí)刻圍巖淺部不同位置的振動(dòng)速度基本一致，動(dòng)荷載在傳遞過(guò)程中不斷擴(kuò)散，這種擴(kuò)散范圍隨著傳遞距離增大而變大，不過(guò)同一波陣面處巖石振動(dòng)速度相同。動(dòng)載從圍巖深部通過(guò)錨固體傳遞到圍巖表面，同一時(shí)刻整個(gè)邊界上的振動(dòng)速度基本相同。對(duì)于動(dòng)載施加范圍(以錨桿為對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)分布錨桿上下側(cè)0.12 m范圍內(nèi))，動(dòng)載傳遞擴(kuò)散至圍巖表面，作用范圍至少增大了3倍，擴(kuò)散范圍與圍巖參數(shù)和錨桿參數(shù)有關(guān)。動(dòng)載傳遞擴(kuò)散范圍越大越有利于圍巖吸收能量，通過(guò)調(diào)整支護(hù)參數(shù)，可以改變擴(kuò)散范圍，從而改善圍巖吸能性能。

圖16 不同時(shí)刻邊界圍巖振動(dòng)速度

4 討論

由數(shù)值模擬結(jié)果分析可知，①錨桿位移最大出現(xiàn)的位置與動(dòng)載的作用效果和錨固段圍巖約束效果相對(duì)強(qiáng)弱有關(guān)；②在沖擊荷載作用下的錨桿破壞過(guò)程中，自由段與錨固段分界點(diǎn)位置是一個(gè)關(guān)鍵控制點(diǎn)；③沖擊荷載對(duì)施加位置附近圍巖Y方向位移影響不大；④?chē)鷰r的吸能特性可以通過(guò)支護(hù)參數(shù)的調(diào)整而得到改善。

根據(jù)能量理論，沖擊地壓是由于煤巖體破壞時(shí)釋放的能量大于其吸收能量所致，即剩余能量的釋放是沖擊礦壓發(fā)生的根本原因。如果錨固體可以吸收掉部分或全部剩余能量，沖擊礦壓災(zāi)害程度就會(huì)得到降低，甚至不會(huì)發(fā)生。在錨固體中錨桿是最主要的吸能構(gòu)件，其吸收能量可以由其工作特性曲線確定，錨桿吸收的能量就等于其工作阻力(軸力)對(duì)變形量的積分。圖17是錨桿支護(hù)的一般工作特性曲線，圖中陰影面積即為最大吸能值[10]。

圖17 錨桿吸能原理

與圍巖相比，各種支護(hù)方式的承載能力都很小。與其他支護(hù)方式相比，錨桿具有良好的延展性，可與圍巖同步協(xié)調(diào)變形。錨桿這種柔性特征，使其對(duì)于沖擊荷載有良好的適應(yīng)能力，錨桿對(duì)于沖擊荷載不是硬頂，而是讓壓，在保護(hù)自身不被破壞的前提下始終給圍巖一定約束力，控制圍巖變形和進(jìn)一步的破壞。因此，錨桿支護(hù)的本質(zhì)作用，無(wú)論是沖擊還是非沖擊地壓巷道，均是通過(guò)保持圍巖的完整性使圍巖承載能力不降低或少降低。錨桿支護(hù)與圍巖共同承受沖擊荷載，因此，要求錨桿應(yīng)具有足夠的抗沖擊能力[16]，避免錨桿受較大沖擊荷載后破斷，失去支護(hù)作用。

5 結(jié)論

1)動(dòng)載作用過(guò)程中，錨桿軸力先基本保持不變，而后迅速增大。錨固段軸力比自由段軸力小，錨固段增長(zhǎng)速度也小于自由段增長(zhǎng)速度，在自由段與錨固段分界處，軸力變化幅度較大。

2)動(dòng)載作用過(guò)程中，自由段與錨固段分界點(diǎn)位置剪切應(yīng)變急劇變化，這種劇烈變化程度隨著動(dòng)載作用時(shí)間增長(zhǎng)而進(jìn)一步加深。

3)動(dòng)荷載在傳遞過(guò)程中不斷被錨固體耗散，最終到達(dá)圍巖表面的是錨固系統(tǒng)未吸收的能量，并以動(dòng)能的形式釋放出去。

4)動(dòng)荷載從深部通過(guò)錨固體傳遞到圍巖表面，作用范圍成倍增大，動(dòng)載傳遞擴(kuò)散范圍越大越有利于圍巖吸收能量。通過(guò)調(diào)整支護(hù)參數(shù)，可以改變擴(kuò)散范圍，從而改善錨固體吸能性能。