有限域上四次對角方程ax4+by4=c解的存在性

黃寶盛, 吳榮軍, 譚千蓉, 朱光艷

(1. 四川大學數學學院， 成都 610064； 2. 西南民族大學數學學院， 成都 610041；3. 攀枝花學院數學與計算機學院， 攀枝花 617000； 4. 湖北民族大學教育學院， 恩施 445000)

1 引 言

有限域上方程解的存在性以及解的個數[1-16]一直是數學家們十分關心的問題.關于這一問題的第一個重要的結果是Lagrange[4]給出的: 有限域Fp(p為素數)上的n(n≥0)次單變量多項式至多只有n個根.這結論在一般的有限域Fq(q為素數方冪)上也成立[5].如下問題直接推動了有限域理論的發(fā)展.

axd+byd=c

在有限域Fq上是否恒有解？

當a=b=1,d=2時,答案是肯定的.這就是有限域中熟知的結論[11]:Fq中的元素都可以寫成兩個元素的平方和;當a=b=1時,對一般的d,Small[10]給出了問題的肯定回答并確定了q的下界.設d為正整數,Fq為q元有限域,記δ=gcd(d,q-1).若q>(δ-1)4,則Fq中任意元素均可寫成該域上的兩個d次方冪之和.

2 預備知識

在本節(jié)中，我們定義一些記號并給出幾個引理.

定義2.1設p為素數,k為正整數.令q=pk.記Fq為q元有限域.對任意Fq的子集A,我們定義A在Fq上的概率測度為μq(A)=|A|/q,其中|A|為集合A中元素的個數.

定義2.2設A?Fq,記1A為集合A的特征函數,對任意的x∈Fq,定義

定義2.3設f1,f2是定義在Fq上的兩個復值函數,定義它們的內積為

|〈f1,f2〉|≤‖f1‖·‖f2‖.

類似地，對任意的a∈Fq，我們可以給出Fourier反演公式如下：

引理2.7[1]設d為正整數,q為素數方冪, 若δ=gcd(d,q-1), 則

{xδ|x∈Fq}={xd|x∈Fq}.

那么對任意i∈1,…,q-1有Tχ1(gi)為方程

的根, 其中s由如下條件唯一確定:

q=s2+4t2,q≡1(mod 4)

并且如果p≡1(mod 4),那么gcd(s,p)=1.

μ(Aq)μ(Bq)|≤κ(q).

證明 為簡便起見,記A=Aq,B=Bq,μ(A)=μq(A).對任意的g,h∈Fq，由定義2.1和2.2可得

1A∩B(g)=1A(g)1B(g),

1A+g(h)=1A(h-g).

因而

由Fourier反演公式可得

μ(A)μ(B)+

進而有

μ(Aq)μ(Bq)|=

接下來我們對

的上界進行估計.不妨記該上界為κ(q).由三角不等式,我們有

(1)

因

q2〈1A,1A〉=q2μ(A)，

由Cauchy-Schwarz不等式有

(q4μ(A)μ(B))1/2≤

(2)

把式(2)代入式(1)可得

χ(P(g))=χ1(hχP(g))=χ1(hχcg4).

對g∈Fq求和,由引理2.9我們有

于是,當q≡5(mod 8)時,對任意Fq上的加法特征χ,指數和∑g∈Fqχ(P(g))為方程

x4+2qx2+8qsx+9q2-4qs2=0

(3)

(4)

2r2q2+8rq2+9q2=(2r2+8r+9)q2

(5)

可以解得，當r>2.55254時,2r2+8r+9

因而我們可以取

這樣我們就完成了引理的證明.

(i) 當b=0時,

(ii) 當b≠0 時,

τ(j)=|{1≤i≤s∣(ai)n=(αj)n}|,

3 主要定理的證明

情形1p=2.我們有

gcd(4,q-1)=gcd(4,2k-1)=1.

其中 |ε|=1,θ(b)≥0,τ(j)≤2.簡單放縮有

令N>0,解得q≥342.因而,當q=32t,t≥4 時,恒有q>342，即該方程在Fq上有解.經檢驗,當q=81和729時,該方程在Fq上也有解.綜上,當q=32t,t≥2 時方程ax4+by4=c在Fq上恒有解.

情形3p≥5.若q≡3(mod 4), 則有gcd (4,q-1)=2.與情形2的討論類似知方程ax4+by4=c在Fq上也有解.若q≡1(mod 4),我們分q≡1(mod 8)與q≡5(mod 8)兩種情況討論.

令算術函數

(6)

即斷言成立.

若q≡1(mod 8),同理可得q>2335時不等式(6)成立.下面我們分別定義

由引理2.10和2.11可知

S-μ(Aq)μ(Bq)≥-κ(q)

成立.因此

(S-μ(Aq)μ(Bq))+

-κ(q)+κ(q)=0.

綜上,我們證明了當q≡1(mod 8)且q>2335以及q≡5(mod 8)且q>139時,Fq?{ax4+by4|x,y∈Fq}.其他情形可借助Magma直接驗證知若q≠5,9,13,17,25,29,方程ax4+by4=c在Fq上恒有解.至此,我們完整地給出了定理的證明.