多彈協(xié)同最優(yōu)制導(dǎo)律研究

鄧海鵬，劉夢焱，馬季容，栗金平

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710065)

1 引言

在導(dǎo)彈飛速發(fā)展的同時，導(dǎo)彈防御系統(tǒng)也應(yīng)運(yùn)而生，并不斷增強(qiáng)，如艦空導(dǎo)彈系統(tǒng)、電子對抗系統(tǒng)和近程防御武器系統(tǒng)(CIWS)。因此，在很多情況下單彈作戰(zhàn)很難完成預(yù)期的作戰(zhàn)任務(wù)。近年來，多彈(導(dǎo)彈群)協(xié)同作戰(zhàn)問題的研究越來越受到世界各軍事強(qiáng)國的關(guān)注。俄羅斯П-700“花崗巖”超聲速反艦導(dǎo)彈[5]與SS-N-19[6]導(dǎo)彈的領(lǐng)彈與攻擊彈的攻擊方式充分體現(xiàn)了導(dǎo)彈之間的協(xié)同作戰(zhàn)思想。

為了使多枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的作戰(zhàn)效果最優(yōu)，一般要求多枚導(dǎo)彈同一時間到達(dá)目標(biāo)，即實(shí)現(xiàn)飽和攻擊。文獻(xiàn)[1]中各導(dǎo)彈通過交互，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)共享，并在比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上加了一個時間控制增益項(xiàng)以達(dá)到同時到達(dá)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)飽和攻擊的目的。文獻(xiàn)[2]中提出了一種彈著時間可控的機(jī)動目標(biāo)多彈協(xié)同制導(dǎo)律，它由指定彈著時間和預(yù)計(jì)彈著時間的誤差作為反饋信號與傳統(tǒng)比例制導(dǎo)律結(jié)合推導(dǎo)得出，該制導(dǎo)律控制導(dǎo)彈可以達(dá)到以規(guī)定的時間攻擊目標(biāo)的要求。上述兩種多彈協(xié)同攻擊方式，都通過控制攻擊時間實(shí)現(xiàn)了飽和攻擊，但有時為了同時達(dá)到精確打擊和最大殺傷的目的，還要求導(dǎo)彈從不同的方向同時攻擊目標(biāo)。以上兩種制導(dǎo)律都不滿足此要求。文獻(xiàn)[3-4]提出了基于虛擬導(dǎo)引點(diǎn)的多彈協(xié)同作戰(zhàn)控制方法和控制多彈協(xié)同攻擊時間和攻擊角度的方法。這兩種方法都針對位置協(xié)同和攻擊角度協(xié)同的要求，設(shè)計(jì)了導(dǎo)引點(diǎn)的圓弧運(yùn)動軌跡。但都是通過對多枚導(dǎo)彈的位置、攻擊角度、攻擊時間和攻擊速度進(jìn)行控制實(shí)現(xiàn)的。這樣給設(shè)計(jì)帶來了方便，但由于控制量中包含速度和角度函數(shù)的乘積項(xiàng)，且速度的控制較難實(shí)現(xiàn)，所以給控制的實(shí)現(xiàn)帶來了挑戰(zhàn)。另外，由于彈上能源有限，所以控制能量最省也是制導(dǎo)設(shè)計(jì)中經(jīng)?？紤]的一個性能指標(biāo)。

2 導(dǎo)彈協(xié)同問題數(shù)學(xué)模型

多彈協(xié)同攻擊問題就是讓多枚導(dǎo)彈通過協(xié)作來攻擊同一目標(biāo)以保證目標(biāo)被摧毀的目的。通常情況下，彈目相對運(yùn)動關(guān)系可以解耦成俯仰和偏航兩個平面上的分量運(yùn)動，為了研究方便，本文只研究偏航平面上的分量運(yùn)動。本文考慮n枚導(dǎo)彈同時攻擊同一目標(biāo)，偏航平面上的二維彈目相對運(yùn)動如圖1所示。

圖1 多彈協(xié)同攻擊示意圖

其中M表示導(dǎo)彈，T表示目標(biāo)，a表示導(dǎo)彈加速度，σ表示導(dǎo)彈速度方向與彈目連線之間的夾角，ψv表示彈道偏角，q表示彈目連線與參考面之間的夾角。各導(dǎo)彈的初始位置、速度方向以及速度大小可以不同，但要求它們在同一時間并且以一定的攻擊角度擊中目標(biāo)，以達(dá)到飽和攻擊和最大殺傷效果。

多彈協(xié)同攻擊的對象一般是裝備有導(dǎo)彈防御系統(tǒng)大型的靜止或慢速移動目標(biāo)，如軍事基地、大型船艦等。其相對導(dǎo)彈可視為靜止目標(biāo)。本文中假設(shè)導(dǎo)彈的質(zhì)量和速度大小不變，加速度方向始終與速度方向垂直，則簡化后的導(dǎo)彈的運(yùn)動學(xué)方程為

(1)

式中：x和z表示導(dǎo)彈的位置，v為導(dǎo)彈的速度。從運(yùn)動學(xué)方程可以看出，選取了(x，y，ψv)作為狀態(tài)向量，a作為控制量。

3 領(lǐng)彈制導(dǎo)律與剩余飛行時間

多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)時，選擇其中一枚作為領(lǐng)彈，其余導(dǎo)彈為從彈。因?yàn)橐獫M足同時攻擊的要求，選取剩余飛行時間最長的導(dǎo)彈作為領(lǐng)彈，而被領(lǐng)彈通過控制使其在領(lǐng)彈到達(dá)目標(biāo)的同時到達(dá)目標(biāo)，并滿足一定的攻擊方向要求。

3.1 領(lǐng)彈制導(dǎo)律

在多彈協(xié)同作戰(zhàn)過程中，從彈要根據(jù)領(lǐng)彈的遭遇時間來設(shè)計(jì)自己的飛行軌跡，所以對領(lǐng)彈剩余飛行時間的計(jì)算非常重要。目前比例導(dǎo)引律因其具有的優(yōu)良特性而在導(dǎo)彈制導(dǎo)方面應(yīng)用較多，并且針對比例導(dǎo)引律的剩余飛行時間可以較準(zhǔn)確的得到，后面給出比例導(dǎo)引律剩余飛行時間公式的推導(dǎo)及仿真結(jié)果。這里領(lǐng)彈選擇了使用比例導(dǎo)引律。

形式如下

(2)

(3)

彈目視線角速度可表示為

(4)

其中r是領(lǐng)彈與目標(biāo)之間的距離，并且速度與彈目連線之間的夾角σ滿足σ=ψv-q，因此領(lǐng)彈的制導(dǎo)問題可以描述為關(guān)于r和σ的形式

(5)

這種形式可以比較容易得到領(lǐng)彈與目標(biāo)之間的距離，便于下面計(jì)算領(lǐng)彈剩余飛行時間。一般來說，當(dāng)比例系數(shù)N選取較大時會對噪聲比較敏感，而較小時會導(dǎo)致響應(yīng)速度慢并且對機(jī)動目標(biāo)制導(dǎo)性能變差的后果。所以比例系數(shù)的選取需要設(shè)計(jì)者具有一定的經(jīng)驗(yàn)，一般選擇在3-5之間。

3.2 領(lǐng)彈剩余飛行時間

關(guān)于比例導(dǎo)引律剩余飛行時間的近似計(jì)算有幾種比較好的方法，在這里引出其中一種用作領(lǐng)彈剩余飛行時間的計(jì)算[1]。假設(shè)目標(biāo)靜止在x軸上，導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位于原點(diǎn)，速度方向與x軸夾角為σ，導(dǎo)彈的位置可以用(x，y)表示，如圖2所示。則導(dǎo)彈運(yùn)動學(xué)方程如圖2所示。

圖2 彈目相對運(yùn)動示意圖

在上式中，假設(shè)σ較小，速度大小恒定，加速度與速度方向垂直，并用x/v代替t可以得到

(7)

如果用-z/(xf-x)代替目標(biāo)視線角q，比例導(dǎo)引律可以表示為

(8)

將式(8)帶入式(7)得到

(9)

由于假設(shè)初始條件為y(0)=0，并且z′(0)=σ(0)，因此可以得到上面微分方程的解為

(10)

對上式子關(guān)于x求導(dǎo)可以得到

(11)

式中的軌跡s，可以用下面式子表示

(12)

假設(shè)σ(也即z′)是小量，上式子可以表示成

(13)

因此，可以得到

(14)

考慮一般情況，當(dāng)目標(biāo)不處在x軸上的時候，也就是把圖2繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動q角度，可以得到比例導(dǎo)引律剩余飛行時間表達(dá)式如下

(15)

其中r表示彈目距離，σ表示導(dǎo)彈速度與彈目連線之間的夾角，逆時針旋轉(zhuǎn)為正。

圖3 剩余飛行時間估計(jì)值變化曲線

圖3給出了領(lǐng)彈剩余時間估計(jì)值隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，曲線近似可以看作斜率為-1的直線，也就是說剩余飛行時間的估計(jì)和真實(shí)情況基本相符。

4 從彈最優(yōu)制導(dǎo)律

在估計(jì)出領(lǐng)彈的剩余飛行時間后，要求從彈在領(lǐng)彈遭遇時間的同時按照期望的攻擊方向到達(dá)目標(biāo)。設(shè)(xt，zt)為目標(biāo)位置，ψvf為期望的彈道傾角，則要求終端狀態(tài)矢量為(xt，zt，ψvf)。

因?yàn)閷?dǎo)彈載荷的限制，所攜帶的能源非常有限，所以在滿足上面所提的終端約束外，可以根據(jù)控制能量最省提出如下性能指標(biāo)函數(shù)

(16)

(17)

根據(jù)橫截條件

(18)

根據(jù)上式可以得到

(19)

控制變量不受約束為

(20)

從而最優(yōu)控制變量為

(21)

因此，最優(yōu)制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化成了求解拉格朗日乘子的初值問題，得到如下兩點(diǎn)邊值問題

x(0)=x0，x(tf)=xT

z(0)=z0，z(tf)=zT

ψv(0)=ψv0，ψv(tf)=ψvT

如上兩點(diǎn)邊值問題解析解很難求得，所以這里選擇利用打靶法求出拉格朗日乘子的初始值，進(jìn)而得到最優(yōu)控制量。

5 仿真驗(yàn)算

5.1 仿真結(jié)果

假設(shè)領(lǐng)彈和兩枚從彈協(xié)同攻擊一個靜止的艦船，目標(biāo)位置為(13000m，0m)，三枚導(dǎo)彈的初始參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)彈初始參數(shù)

得到導(dǎo)彈初始參數(shù)后，首先根據(jù)領(lǐng)彈的初始參數(shù)計(jì)算出其剩余飛行時間作為從彈到達(dá)目標(biāo)的末態(tài)時間；然后再根據(jù)各從彈的初始參數(shù)，設(shè)計(jì)滿足攻擊時間、攻擊角度和控制能量最省性能指標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)律。其中重要的一步是計(jì)算拉格朗日乘子的初始值，在表1初始參數(shù)條件下，根據(jù)打靶法利用計(jì)算機(jī)編程得到拉格朗日乘子初始值如表2所示。

表2 打靶法得到拉格朗日乘子初始值

整個攻擊過程可以用如下框圖來表示。首先，通過領(lǐng)彈初始參數(shù)和目標(biāo)位置計(jì)算出領(lǐng)彈剩余飛行時間；然后，根據(jù)從彈的初始參數(shù)、目標(biāo)位置、理想攻擊時間、攻擊角度以及控制能量最省的指標(biāo)函數(shù)計(jì)算得到最優(yōu)制導(dǎo)律。最后從彈利用設(shè)計(jì)好的導(dǎo)引律攻擊目標(biāo)。

圖4 攻擊過程示意圖

僅仿真在俯仰方向，領(lǐng)彈采用比例系數(shù)為4的比例導(dǎo)引律，從彈采用設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制器，仿真結(jié)果如圖5-8所示。兩枚從彈的攻擊角度和攻擊時間如表3所示。

圖5 領(lǐng)從彈都采用比例導(dǎo)引的軌跡

圖6 采用最優(yōu)導(dǎo)引的軌跡

圖7 從彈加速度

圖8 從彈彈道傾角

表3 領(lǐng)彈和從彈攻擊角度和時間

5.2 仿真結(jié)果分析

1) 從攻擊時間分析

如圖5，當(dāng)三枚導(dǎo)彈均使用比例導(dǎo)引律時，其到達(dá)目標(biāo)的時間相差較大，這樣便不能實(shí)現(xiàn)飽和攻擊。

如圖6，當(dāng)領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引律，而從彈采用最優(yōu)制導(dǎo)律的時候，在飛行時間為45.22 S時，領(lǐng)彈與2枚從彈距目標(biāo)的距離均很小，可認(rèn)為3枚導(dǎo)彈同時命中了目標(biāo)。3枚導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的攻擊時間由領(lǐng)彈的剩余飛行時間確定，并不需要提前指定，因此，本文中的方法在實(shí)際應(yīng)用時比較方便．

2) 從攻擊角度和法向加速度分析

由于領(lǐng)彈采用比例導(dǎo)引律，沒有給定理想攻擊角度，在此不作討論。如圖7，從兩枚從彈的彈道傾角隨時間變化曲線可以看出，從彈的最后攻擊方向基本和理想攻擊方向一致。從圖8可以看到，從彈的法向加速度最大值不超過23m/s2，即過載不大于2.3。結(jié)合飛行軌跡可以知道，此制導(dǎo)律一般情況下沒有其它方法中存在的起始段過載較大的問題。

3)其它問題分析

本文中，領(lǐng)彈采用了常用的比例導(dǎo)引律，領(lǐng)彈也可以采用帶有落角約束的任何一種制導(dǎo)律來對它的攻擊角度進(jìn)行控制，只要能較準(zhǔn)確估計(jì)出其剩余飛行時間，這并不影響本文所提方法的使用。

另外，由于假設(shè)目標(biāo)靜止，且領(lǐng)彈利用比例導(dǎo)引律，其在打擊靜止目標(biāo)時剩余飛行時間可以比較準(zhǔn)確得到，因此，本文中從彈的最優(yōu)制導(dǎo)律中的拉格朗日乘子只在開始時使用打靶法計(jì)算得到，即在開始時就已經(jīng)確定了從彈的飛行軌跡。但如果目標(biāo)是移動的，且速度越大，使用本文中設(shè)計(jì)方法時各導(dǎo)彈達(dá)到目標(biāo)的時間，脫靶量和攻擊角度也會有所變化。但此問題可以通過一些方法解決，例如可以在導(dǎo)彈飛行過程中分段使用此方法在前一段飛行的同時計(jì)算出下一段的最優(yōu)飛行軌跡，從而對目標(biāo)移動帶來的誤差進(jìn)行修正，此處不做贅述。

6 結(jié)束語

本文針對多彈協(xié)同攻擊問題，提出了一種基于領(lǐng)彈與從彈思想的最優(yōu)制導(dǎo)方法。此方法滿足各導(dǎo)彈同時到達(dá)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)飽和攻擊的要求，并且可以根據(jù)不同的攻擊對象設(shè)置理想的攻擊方向，同時還考慮了控制能量最省問題?？刂屏績H為與速度垂直的法向加速度，且需用法向過載較小，在工程方面比較容易實(shí)現(xiàn)，具有較廣闊的軍事應(yīng)用前景。