利用逆矩陣求某幾類函數(shù)的不定積分

趙顯貴, 楊丹瑤

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 惠州 516007）

求不定積分是數(shù)學(xué)分析中的主要問(wèn)題之一。不定積分的求法有多種, 文獻(xiàn)[3]提出了利用逆矩陣求某些函數(shù)的不定積分的方法, 但并沒(méi)有給出明確證明。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]分別給出了證明, 不過(guò)在證明過(guò)程中對(duì)于原函數(shù)中的任意常數(shù)的討論不夠充分。本文給出更加完整的證明過(guò)程, 并運(yùn)用此方法, 計(jì)算幾類函數(shù)的不定積分以及求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

1 主要結(jié)論

設(shè)V 為實(shí)數(shù)域R 上全體可微函數(shù)構(gòu)成的集合, 則按通常的函數(shù)加法和實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法, V 構(gòu)成R 上的向量空間. 令d 是V 上的求導(dǎo)運(yùn)算. 則d 是V 上的線性變換。用dS表示d 在V 的子空間S 上的限制。L( a1,a2,… ,an)表示由集合 {a1,a2,… ,an}張成的實(shí)向量空間。

定理1 設(shè)S 是V 的一個(gè)有限維子空間 (令 dim S =n), 且在求導(dǎo)運(yùn)算dS下封閉,是S 的一組基, A = (aij)n×n是在這組基下的矩陣。若A可逆, 令=（ bij）n×n, 則

(i) ∫fi(x) dx=b1if1(x)+b2if2(x)+…+bnifn(x)+C，i=1,2,...,n , 其中C 為任意常數(shù);

(ii) 對(duì)任意 f(x)=k1f1(x)+k2f2(x)+…+knfn(x)∈S, 有

為證明定理1, 先給出以下幾個(gè)引理. 以下3 個(gè)引理中, 設(shè)S 是V 的一個(gè)有限維子空間(令dim S =n ), 且在求導(dǎo)運(yùn)算d 下封閉, f1( x),f2(x),...,fn(x)是S 的一組基, A = (aij)n×n是d 在這組基下的矩陣。

引理1 d 是S 的可逆線性變換當(dāng)且僅當(dāng) SS =)(d 。

證 因?yàn)镾 是有限維的, 且S 在求導(dǎo)運(yùn)算d 下封閉, 所以S 的線性變換d 可逆當(dāng)且僅當(dāng)d 是滿射(見(jiàn)[1], 第265 頁(yè)第3 題), 即當(dāng)且僅當(dāng) SS =)(d 。

證（反證法）不妨設(shè) 1=a , 且 S∈1 . 由于S 是V 的一個(gè)子空間, 則S 對(duì)于V 上的加法以及標(biāo)量與向量的乘法來(lái)說(shuō)是封閉的, 即對(duì)任意 k∈R, 有 Skk=1 , 故RS 。從而有 0)2(d)1(d == ,即d 不是S 的單變換,從而d 不可逆,這與引理1 矛盾。故對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a,有 Sa ? ,從而R ｛0｝= 。 □

引理3 設(shè) d( S )=S, 則對(duì)任意 f ( x)∈S, 有特別地,C 為任意常數(shù)。

證 對(duì)任意 f ( x)∈S, 由于 d ( S )=S, 則 d-1(f (x))∈S, 又 d ( d-1(f (x)))= f(x), 即 d-1(f(x))是f (x)的一個(gè)原函數(shù)。設(shè) F , G∈S都是 f (x)的原函數(shù), 則有 F - G∈S, 而 F - G為常數(shù), 則由引理2,F -G=0, 即 F = G, 從而函數(shù) f (x)在S 中有且只有一個(gè)原函數(shù) d-1(f(x)), 即

故對(duì)任意f (x)∈S，f（x）的全部原函數(shù)為

其中C 為任意常數(shù)。

下面證明定理1。

證（定理1） (i) 由已知, S=L( f1(x),f2(x),...,))在求導(dǎo)變換d 下是封閉的。又d 在f1( x),f2(x),...,fn(x)下的矩陣為可逆矩陣A, 則d 是可逆線性變換, 且有

這表明 A-1的第i 列就是是d-1（ fi(x))在基 f1( x),f2(x),...,fn(x)下的坐標(biāo), 從而由 A-1=（ bij）n×n, 有

再由引理3 可得

其中C 為任意常數(shù)。

(ii)對(duì)任意f (x)∈S ,存在常數(shù) nkkk ,,,21… , 使得

由定理1 可以發(fā)現(xiàn), 一旦要求出1-A , 則可求出S 的一組基中每個(gè)函數(shù)的不定積分。這是利用逆矩陣求不定積分的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)。同時(shí), 任意f (x)∈S 的不定積分計(jì)算,都?xì)w結(jié)為對(duì)S 的一組基的不定積分的計(jì)算。

2 應(yīng)用舉例

由以上主要結(jié)論,可以歸納出利用逆矩陣求不定積分的具體步驟。設(shè)f (x)滿足定理1 的條件。

（1） 通過(guò)對(duì) f (x)連續(xù)求導(dǎo), 可得一組基函數(shù) f1( x),f2(x),...,fn(x), 使得

（2） 求d 在基 f1( x),f2(x),...,fn(x)下的矩陣 A = (aij)n×n；

（3） 求出A 的逆矩陣 A-1=（ bij）n×n, 則 d-1在基 f1( x),f2(x),...,fn(x)下的矩陣為 A-1；

（4） 根據(jù) A-1的第i 列元素有

下面運(yùn)用本文方法, 對(duì)四類函數(shù)進(jìn)行實(shí)例計(jì)算, 驗(yàn)證此方法的有效性。

2.1 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的不定積分

由函數(shù)組 ax, xax,…, xnax的可導(dǎo)封閉性, 可選取不定積分其中 a ＞ 0且 a ≠1,n 為正整數(shù)。

例1 求不定積分∫ xnaxdx , 其中a＞0且a ≠ 1, n為正整數(shù)。

解 對(duì) xnax連續(xù)求導(dǎo), 可得一組基函數(shù) ax, xax,…, xnax, 令 S=L( ax,xax,…,xnax), 則S 在求導(dǎo)變換d 下是封閉的, 且有

其中

則

其中C為任意常數(shù)。

注：若求出A的逆矩陣A-1, 則反復(fù)利用A-1, 可同時(shí)求出的值。 本例也可多次運(yùn)用分部積分公式求解。

2.2 指數(shù)函數(shù)與正弦余弦函數(shù)乘積的不定積分

容易得eaxsinbx,eaxcosbx是在求導(dǎo)下封閉的一個(gè)函數(shù)組, 下面計(jì)算這2 個(gè)函數(shù)的不定積分。

解 令S=L(eaxsinbx,eaxcosbx), 則S在求導(dǎo)變換d 下是封閉的,eaxsinbx,eaxcosbx是S的一組基,

且有

其中

從而

其中C 為任意常數(shù), 且a ≠ 0,b ≠ 0。

其中C 為任意常數(shù), 且a ≠ 0,b ≠ 0。

2.3 冪函數(shù)與正弦余弦函數(shù)乘積的不定積分

由函數(shù)組 sin ax, cosax,xsinax,xcosax,x2sinax,x2cosax,x3sinax,x3cosax的可導(dǎo)封閉性, 可選取不定積分

令S=L(sin ax,cosax,x sinax,x cosax,x2sinax,x2cosax,x3sinax,x3cosax）,則S 在求導(dǎo)變換d 下是封閉的, 且d 在這組基下的矩陣為

則分別交換A 的第1、2 行, 第3、4 行, 第5、6 行, 第7、8 行, 用初等變換法, 得

從而由 A1-的第6 列和第7 列, 有

其中C 為任意常數(shù)。

2.4 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦余弦函數(shù)三者乘積的不定積分

由函數(shù)組 eaxsinb x,eaxcosbx,xeaxsinbx, xeaxcosbx,x2eaxsinbx,x2eaxcosbx，x3eaxsinbx,x3eaxcosbx的可導(dǎo)封閉性, 可選取不定積分其中 ( a ≠ 0,b≠0)。

解 分別對(duì) x2eaxsin bx和x3eaxsinbx連續(xù)求導(dǎo), 可取基函數(shù)

令S=L(eaxsinbx,eaxcosbx,xeaxsinbx,xeaxcosbx,x2eaxsinbx,x2eaxcosbx， x3eaxsinbx,x3eaxcosbx),則S 在求導(dǎo)變換d 下是封閉的, 且d 在這組基下的矩陣為

則

其中C 為任意常數(shù)。

通過(guò)重復(fù)利用題目中所求出來(lái)的逆矩陣, 還可以求出不定積分的值。

2.5 求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解

最后,通過(guò)一個(gè)例子, 推廣求不定積分的逆矩陣方法,用于求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

本例選自于教材[6], 在教材[6]第149 頁(yè)中, 通過(guò)待定系數(shù)法求出了方程的一個(gè)特解, 下面利用逆矩陣的方法求其特解。

解將原方程改寫為(d2+ 4d + 4ε )(x) = cos 2t , 其中ε 為恒等變換, 令D = d2+ 4d + 4ε 。對(duì)cos 2t連續(xù)求導(dǎo), 可得一組基函數(shù)sin 2t, cos 2t 。令S = L(sin 2t, cos 2t) , 則D(S) = S , 因此D是S 的一個(gè)可逆變換。又

3 結(jié)論

本文給出了利用逆矩陣計(jì)算幾類函數(shù)的不定積分以及求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的方法和相關(guān)例子。若用通常求不定積分的方法求解本文中里的例1、例3、例4, 當(dāng)冪函數(shù)的次數(shù)比較大時(shí), 需要多次使用分部積分公式, 對(duì)例2 也需要兩次使用分部積分公式, 計(jì)算起來(lái)比較麻煩。利用逆矩陣求解不定積分在一些情況下具有其優(yōu)勢(shì), 例如在實(shí)際中需要同時(shí)將某一類函數(shù)的所有原函數(shù)都求出時(shí)。同時(shí), 利用逆矩陣求解不定積分也有利于計(jì)算機(jī)引入程序計(jì)算, 故此方法具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

注意, 本文求不定積分的方法也有局限性。使用時(shí)需要找到一個(gè)包含被積函數(shù)的有限維子空間S, 使得求導(dǎo)運(yùn)算d 是S上的一個(gè)可逆線性變換。