基于有限元
--離散元耦合的粒子阻尼減振研究

肖望強，曾玉梅，張新宇，潘忠文，任興宇

(1.廈門大學航空航天學院，廈門 361000；2.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

運載火箭發(fā)射階段，衛(wèi)星處于復(fù)雜且惡劣的振動環(huán)境中，會對衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)和精密星載設(shè)備造成影響，進而對衛(wèi)星在軌的正常工作帶來風險[1]。中心承力筒是衛(wèi)星適配器的重要組成部分，起到連接衛(wèi)星和運載火箭的關(guān)鍵作用。傳統(tǒng)的中心承力筒結(jié)構(gòu)剛度大、阻尼小，幾乎無法隔離來自火箭的振動激勵[2-4]。

星箭適配器(Payload Attach Fitting，PAF)隔振技術(shù)具有不修改衛(wèi)星原有結(jié)構(gòu)前提下減緩其力學環(huán)境的優(yōu)點，已得到成功應(yīng)用[5]。目前，在適配器和星箭界面之間引入隔振平臺是廣泛使用的PAF隔振技術(shù)。針對星箭界面的振動問題，程明等[6]設(shè)計了一種基于磁流變阻尼技術(shù)的半主動隔振平臺，通過改變結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)和阻尼等參數(shù)探究其減振性能，通過對縮比模型進行配重實驗，證明了該方案有良好的減振效果。謝溪凌等[7]提出了一種基于內(nèi)嵌反饋控制方法的Stewart隔振平臺，該平臺由球鉸、力傳感器等組成，能夠?qū)崿F(xiàn)主動隔振，實驗結(jié)果表明該方案可有效降低不同頻段的結(jié)構(gòu)振動。上述搭建隔振平臺的方法對特定方向上的振動傳遞特性影響效果較為明顯，但存在結(jié)構(gòu)改動大、成本高等缺點。目前，國內(nèi)外的學者一般采用有限元法來分析上述基于隔振平臺的隔振技術(shù)的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)[8-10]。

粒子阻尼作為一種被動式減振技術(shù)，其原理為在阻尼器空腔結(jié)構(gòu)中填充顆粒物質(zhì)，利用粒子間以及粒子與阻尼器壁之間的非彈性碰撞消耗能量，實現(xiàn)減振效果。與上述基于減振平臺的PAF減振技術(shù)相比，具有結(jié)構(gòu)改動小、成本低、減振頻域廣等優(yōu)勢[11]。本文給出一種安裝于中心承力筒和衛(wèi)星分離面的粒子阻尼減振裝置參數(shù)設(shè)計方法，將粒子阻尼器安裝在中心承力筒上，在其空腔中添加粒子，通過改變粒徑、填充率等粒子參數(shù)來優(yōu)化減振效果[12-13]。

考慮到粒子是非連續(xù)介質(zhì)，有限元法只能解決結(jié)構(gòu)連續(xù)介質(zhì)問題，因此不能使用有限元法直接計算填充粒子后的阻尼矩陣[14-15]。Xiao等[16]針對齒輪傳動的振動問題提出一種基于非線性動力學理論的有限元--離散元耦合方法，仿真分析了不同轉(zhuǎn)速和載荷下不同粒徑的影響，有效地解決了粒子耗散的問題并能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)減振。本文借鑒上述有限元--離散元耦合方法計算粒子阻尼器的阻尼矩陣。

本文首先分析了粒子阻尼器耗能機理，并結(jié)合中心承力筒振動傳遞路徑及其模態(tài)特性，設(shè)計了粒子阻尼器的結(jié)構(gòu)參數(shù)。接著，通過仿真分析粒子耗散能量，確定了最佳粒徑。然后，基于有限元--離散元耦合方法，實現(xiàn)了接觸載荷從離散元非連續(xù)域向有限元連續(xù)域的等效映射。根據(jù)耦合分析確定了粒子阻尼器安裝在中心承力筒上的最佳位置。最后，開展了采用最佳粒徑和最佳安裝位置的振動測試實驗。

1 粒子阻尼器耗能機理分析及結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計

1.1 粒子阻尼器耗能機理

阻尼器粒子接觸力系統(tǒng)模型如圖1所示。粒子接觸力系統(tǒng)的耗能方式主要包括粒子間以及粒子--阻尼器壁間的摩擦和碰撞。粒子間接觸力主要包括切向力Fs1、法向力Fn1及粒子間的扭矩M，粒子與粒子阻尼器壁的接觸力主要包括切向力Fs2、法向力Fn2及粒子間的扭矩M′。粒子間的切向力Fs1可以簡化為滑動摩擦和彈簧組合的阻尼器模型Cs1,ks1，法向力Fn1可以簡化為彈簧阻尼器對Cn1,kn1。粒子與阻尼器間的切向力Fs2可以簡化為滑動摩擦和彈簧組合的阻尼器模型Cs2,ks2，法向力Fn2可以簡化為彈簧阻尼器對Cn2,kn2。粒子間碰撞摩擦以及粒子與阻尼器壁摩擦產(chǎn)生的切向力可通過庫倫摩擦模型計算得到。

圖1 阻尼器與粒子作用模型簡化

粒子阻尼耗能主要由碰撞和摩擦產(chǎn)生。對于粒子i和j，振動會引起兩粒子發(fā)生碰撞，產(chǎn)生能量消耗。假設(shè)Lij為兩粒子的相對位移向量，粒子Liw為粒子i與阻尼器壁發(fā)生的相對位移向量。兩部分位移向量的法向重疊量為

(1)

根據(jù)赫茲接觸理論計算得

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，E,G和υ分別為粒子的楊氏模量、剪切模量、泊松比，kn,cn,ks,cs分別表示法向剛度系數(shù)、法向阻尼系數(shù)、切向剛度系數(shù)和切向阻尼系數(shù)，m表示粒子的質(zhì)量，ri和rj分別表示粒子i和j的半徑。

粒子間的法向和切向合力分別為

(6)

(7)

式中，vn和vs分別表示粒子法向相對速度和切向相對速度，Ls為切向相對位移。

粒子間碰撞耗能為

(8)

式中，e為粒子的恢復(fù)系數(shù)，Δv為兩粒子碰撞前的相對速度。

摩擦力做功時會產(chǎn)生耗能，耗能大小為

ΔWf=μFnΔSμ

(9)

式中，μ，F(xiàn)n，ΔSμ分別為粒子之間的摩擦系數(shù)、法向壓力、切向相對位移。

同理，粒子與阻尼器壁間碰撞耗能也可根據(jù)上述方法進行計算。該粒子阻尼器系統(tǒng)的總體耗能可表示為

ΔW=∑ΔWe+∑ΔWf

(10)

1.2 有限元模態(tài)分析

中心承力筒上端外徑為1 760 mm，下端外徑為3 440 mm，整體高度為6 720 mm?？紤]到中心承力筒實際尺寸較大，在不影響仿真和實驗原理驗證的前提下，本文對實際樣機進行1∶8的尺寸縮放。振動傳遞路徑如圖2所示，圖中，中心承力筒所受振動從錐體下端輸入，傳遞至筒體，再經(jīng)由筒體傳遞至與筒體相連的負載。

圖2 振動傳遞路徑

本文利用ANSYS軟件進行有限元分析，在中心承力筒外表面劃分三角形和四邊形網(wǎng)格單元，將中心承力筒底部法蘭邊上的鉚釘孔設(shè)置為固定約束。使用有限元方法計算得到中心承力筒結(jié)構(gòu)的模態(tài)分布如圖3所示，中心承力筒固有頻率見表1。

(a)1階正視圖

表1 中心承力筒固有頻率

由圖3可知，模態(tài)敏感點主要分布在中心承力筒結(jié)構(gòu)的上端。在后續(xù)的粒子阻尼器設(shè)計中，將振動傳遞路徑和模態(tài)敏感點作為重要設(shè)計依據(jù)。

1.3 粒子阻尼器結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計

考慮到中心承力筒的圓柱體結(jié)構(gòu)特征，阻尼器設(shè)計為環(huán)形，具有拆裝方便的優(yōu)點。根據(jù)中心承力筒的實際結(jié)構(gòu)尺寸，粒子阻尼器的尺寸為：內(nèi)徑66.5 mm，外徑96.5 mm，內(nèi)部空腔高30 mm，內(nèi)部填充鐵基合金粒子，填充率90%。所設(shè)計的粒子阻尼器如圖4所示。

圖4 粒子阻尼器示意圖

2 中心承力筒用粒子阻尼器耗能仿真

由粒子減振機理可知，粒子間的碰撞與摩擦主要產(chǎn)生低階阻尼，粒子與阻尼器壁之間的碰撞與摩擦主要產(chǎn)生高階阻尼。當粒子粒徑過小時，粒子與粒子之間的摩擦系數(shù)會減小，摩擦耗能不僅不會隨粒子數(shù)量增加而提高，同時還會降低單次接觸耗能。當粒子粒徑增加時，粒子數(shù)量將減少，雖然單次接觸耗能增加，但粒子間發(fā)生相互作用的幾率降低，阻尼效果也將有所降低。本文利用EDEM軟件進行耗能分析，并根據(jù)對粒徑的研究在阻尼器中采用鐵基合金粒子進行仿真，不同粒徑對應(yīng)體積比模型如圖5所示。

(a)22∶1(2 mm鐵基合金粒子)

仿真計算參數(shù)設(shè)定如下：正弦激勵頻率為1～100 Hz，加速度為0.3g,0.5g，阻尼器填充率為90%，其他相關(guān)參數(shù)保持一致。計算得到不同阻尼器直徑與粒子粒徑比值的耗散能量值，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同直徑比值的耗能值

由圖6可得，隨著阻尼器直徑與粒子粒徑的直徑比值減小，阻尼器的耗能情況總體呈現(xiàn)先增大后減小再增大的規(guī)律。當直徑比值為22∶1時，耗能效果最優(yōu)。

3 中心承力筒用粒子阻尼器耦合仿真

3.1 有限元與離散元的耦合方法

有限元方法可以用于中心承力筒的動態(tài)響應(yīng)分析，但考慮到阻尼器腔內(nèi)填充的粒子為非連續(xù)體，不能通過有限元法直接計算出填充粒子后阻尼器的阻尼矩陣，因此，本文使用有限元與離散元耦合的方法來分析粒子在阻尼器中的作用。

阻尼器壁可以劃分為多個三角形殼單元，同一單元往往受到來自不同粒子的阻尼力。使用離散元法統(tǒng)計出各單元的受力情況，如表2所示。

表2 使用離散單元計算的載荷

為實現(xiàn)有限元與離散元的有效耦合計算，需將表2中的載荷轉(zhuǎn)換到有限元的節(jié)點上。使用形函數(shù)方法，可實現(xiàn)殼單元的粒子作用載荷到殼單元節(jié)點載荷的轉(zhuǎn)換。圖7為單個粒子與阻尼器壁某三角形單元的碰撞接觸示意圖。

圖7 三角形單元接觸力/力矩轉(zhuǎn)換圖

圖7中，O-XYZ為全局坐標系，即中心承力筒坐標系，o-xyz為單元局部坐標系，F(xiàn)c,a/Mc,a為o-xyz坐標系下a粒子在三角形平面內(nèi)產(chǎn)生的作用力/力矩。Fc,a/Mc,a在三角形單元3個節(jié)點處產(chǎn)生的力/力矩均為Fc,a/Mc,a。

單元局部坐標系的坐標軸向量為

nx=nij,ny=n×nx,nz=n

(11)

單元局部坐標系和全局坐標系的關(guān)系為

{x,y,z}T=[Tt,1]{X,Y,Z}T

(12)

式中，[Tt,1]表示從全局坐標系到單元局部坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣，[Tt,1]=[{nx}{ny}{nz}]T。

單元節(jié)點自由度包括3個位移自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度。單元內(nèi)任意點的位移和轉(zhuǎn)動與節(jié)點位移和轉(zhuǎn)動的關(guān)系如下

{nx,ny,nz,θx,θy,θz}T=[N]6×18·{nxi,nyi,

nzi,θxi,θyi,θzi,nxj,…,θzj,nxk,…,θzk}T

(13)

式中，[N]為插值矩陣，nxi為i節(jié)點的x方向位移，θxi為i節(jié)點的繞x方向轉(zhuǎn)動，nx為單元內(nèi)任意點的x方向位移，θx為單元內(nèi)任意點繞x方向轉(zhuǎn)動，其余符號含義與之類似。

將局部坐標系下接觸力/力矩矢量轉(zhuǎn)換到全局坐標系下需使用如下的轉(zhuǎn)換矩陣

(14)

對于三角形單元，可使用如下的轉(zhuǎn)換矩陣將局部坐標系下的3個節(jié)點處的力/力矩轉(zhuǎn)換至全局坐標系

(15)

可得全局坐標系下各節(jié)點的接觸力為

{Fc,particle}18×1=

(16)

式中，Na為粒子a接觸到的單元的插值矩陣，M為作用在三角形單元上粒子接觸點的個數(shù)，Wc,a為作用在三角形單元上粒子作用力/力矩。

綜上，可得到殼單元上的粒子作用力/力矩轉(zhuǎn)化為相應(yīng)位置的節(jié)點力。進一步可得粒子對中心承力筒結(jié)構(gòu)的阻尼力，如表3所示。

表3 粒子對結(jié)構(gòu)的阻尼力

3.2 不同粒子阻尼器安裝位置的減振效果

安裝位置不同，阻尼粒子受到的激勵不同，產(chǎn)生的阻尼效果也有所差異。粒子阻尼器的耗能效果與單次接觸耗能和接觸次數(shù)有關(guān)。所有粒子單次耗能與接觸次數(shù)的乘積為粒子阻尼器的總耗能。使用有限元--離散元耦合方法開展仿真計算。仿真中使用的參數(shù)為最優(yōu)粒子阻尼參數(shù)，即直徑比值22∶1，2 mm鐵基合金粒子，阻尼器填充率90%。圖8給出了不同安裝位置對應(yīng)的減振幅度。

由圖8可知，粒子阻尼器安裝位置為中心承力筒上端時，徑向、圓周方向和垂向的減振效果均可以達到40%以上；粒子阻尼器安裝位置為中心承力筒中端時，徑向、圓周方向和垂向的減振效果均將近30%；粒子阻尼器安裝位置為中心承力筒下端時，減振幅度較低，減振效果僅為20%。

圖8 不同安裝位置減幅

圖9為安裝粒子阻尼器前后中心承力筒的頻率響應(yīng)對比。由圖可知，安裝粒子阻尼器后系統(tǒng)的振動響應(yīng)峰值顯著降低。因此，最終確定設(shè)計的最優(yōu)粒子阻尼參數(shù)，即選用直徑比值為22∶1對應(yīng)的2 mm鐵基合金粒子，阻尼器填充率為90%，并將阻尼器安裝至中心承力筒上端可達到最佳的減振效果，根據(jù)有限元--離散元耦合仿真方法得到的減振效果可達40%。

圖9 仿真結(jié)果

4 中心承力筒的實驗驗證

圖10為中心承力筒振動測試原理圖。圖中，中心承力筒采用縮比模型，固定于振動臺上，在測點處采集增加粒子阻尼器前后的振動數(shù)據(jù)。

圖10 振動測試原理圖

實驗參數(shù)設(shè)置為：正弦掃頻，水平方向振幅2 mm，掃頻時間20 s，單個周期內(nèi)頻率變化為從1 Hz 到100 Hz再回到1 Hz。實驗用阻尼器為安裝在內(nèi)法蘭面上的環(huán)形阻尼器，其安裝位置如圖11所示。

圖11 阻尼器安裝位置

圖12給出了中心承力筒模型安裝方式及具體測點位置。實際飛行中，火箭轉(zhuǎn)接框下端面低頻振動量級較低，但經(jīng)過轉(zhuǎn)接框、上面級支架、中心承力筒后的星箭界面振動量級被逐步放大。鑒于此，在中心承力筒上選取4個測點位置進行測量，分別為測點1～4。

圖12 中心承力筒安裝及測點位置

為模擬中心承力筒承受外載荷的情況，在中心承力筒模型兩側(cè)添加相應(yīng)的配重表示負載。單邊負載配重20 kg。減振器質(zhì)量為1.3 kg，負載總質(zhì)量為40 kg，兩部分質(zhì)量比值為1∶30.77；中心承力筒原理樣機縮比模型質(zhì)量為51.42 kg(包括負載)，減振器與縮比模型質(zhì)量比值為1∶39.55。采用專用夾具將中心承力筒的轉(zhuǎn)接框下端面夾緊,在振動實驗臺上測量安裝粒子阻尼器前后的加速度值，匯總實驗數(shù)據(jù)，得到安裝粒子阻尼器前后的減振效果。4個測點位置在水平激勵下各測點的加速度減幅如圖13所示。

圖13 測點處仿真和實驗結(jié)果

測點1,2和4均在中心承力筒上端，安裝粒子阻尼器后減振效果均在35%以上。測點1和4的減振效果一致，這是因為兩測點對稱分布。綜合測點1,2和4的測量結(jié)果，中心承力筒上端添加粒子阻尼器后，加速度總有效值減幅均超過35%，總體趨勢與耦合仿真結(jié)果一致。另外，從測點3的加速度降幅可以看出,中心承力筒中端的減振效果沒有上端明顯，這是因為模態(tài)敏感點位于筒體上端，同時上端的振動幅值大，在此處安裝粒子阻尼器能達到最佳的減振效果，驗證了仿真模型的正確性和有效性。

5 結(jié)論

本文以中心承力筒為減振對象，采用有限元與離散元耦合的方法，設(shè)計了基于粒子阻尼的中心承力筒減振方案。主要結(jié)論如下：

1)提出了一種基于有限元--離散元的粒子阻尼器耗能仿真算法。針對中心承力筒結(jié)構(gòu)，仿真得到耗能效果最優(yōu)的粒子阻尼器參數(shù)為：阻尼器直徑與粒子直徑比值22∶1，鐵基合金粒子，粒子直徑2 mm，填充率90%。最優(yōu)減振效果對應(yīng)的阻尼器安裝位置為中心承力筒上端，仿真得到中心承力筒添加粒子阻尼器后的最終減振效果可達40%。

2)使用耗能效果最優(yōu)的粒子阻尼器參數(shù)開展中心承力筒正弦掃頻振動實驗，實驗所得的加速度總有效值減幅均能超過35%，驗證了所設(shè)計粒子阻尼減振器的正確性和有效性。實驗減振效果與仿真結(jié)果基本一致。