逆向教學(xué)設(shè)計(jì)建模類教學(xué)評(píng)價(jià)案例
——無(wú)線信號(hào)發(fā)射器安裝方案設(shè)計(jì)

辛玉鑫

（山東省青島市第六十七中學(xué)，山東青島 266100）

一、教學(xué)分析

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生高中階段必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，新課程標(biāo)準(zhǔn)中特別強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模思想的核心地位，并以主題的形式要求學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的全過(guò)程。使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力、增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)不具備外顯性，尤其是在單節(jié)課程中往往很難評(píng)價(jià)。本節(jié)課運(yùn)用逆向教學(xué)設(shè)計(jì)思路設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)方案，基于評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)整體教學(xué)思路，并給出評(píng)價(jià)量表中每個(gè)問(wèn)題的素養(yǎng)權(quán)重表，使得學(xué)生可以依據(jù)評(píng)價(jià)量表量化衡量核心素養(yǎng)達(dá)成情況。本節(jié)課的素養(yǎng)達(dá)成目標(biāo)重點(diǎn)在于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，授課目標(biāo)為求解在幾座建筑所組成的建筑群中安裝無(wú)線信號(hào)發(fā)射器的最優(yōu)方案。所運(yùn)用到的幾何模型為長(zhǎng)方體的外接球，同時(shí)需要應(yīng)用到數(shù)據(jù)分析，解不等式組，線性規(guī)劃等相關(guān)知識(shí)，是一節(jié)綜合性較強(qiáng)的應(yīng)用類課程。

二、主體教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）提出問(wèn)題，優(yōu)化模型

為迎接2021年將在我校舉行的全國(guó)大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，需在我校行政樓、實(shí)驗(yàn)樓、3，4號(hào)教學(xué)樓以及體育館內(nèi)建立內(nèi)部無(wú)線網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)，要求信號(hào)完全覆蓋于上述區(qū)域。請(qǐng)自行搜集數(shù)據(jù)，從成本角度給出網(wǎng)絡(luò)信號(hào)發(fā)射系統(tǒng)的最佳安裝方案，并給出分析過(guò)程。

通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)圖紙的分析整理，借用計(jì)算機(jī)軟件做出五棟樓的立體模型，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)，并為后期的計(jì)算做準(zhǔn)備，進(jìn)而得到較理想的平面模型。

優(yōu)化后的平面模型（單位：10 m）

信號(hào)發(fā)射能覆蓋的區(qū)域可以看作是一個(gè)球，信號(hào)完全覆蓋可以理解為球，可以完全包含這幾棟建筑，所以可以抽象成長(zhǎng)方體外接球的問(wèn)題，可以通過(guò)求解長(zhǎng)方體外接球的半徑來(lái)得到信號(hào)能夠完全覆蓋時(shí)對(duì)信號(hào)發(fā)射器發(fā)射半徑的要求。

（二）價(jià)格分析

以下為某公司給出的該項(xiàng)目的投標(biāo)書(shū)中產(chǎn)品價(jià)格報(bào)表，請(qǐng)根據(jù)報(bào)表分析該公司產(chǎn)品的價(jià)格：該公司的產(chǎn)品價(jià)格主要受哪些因素的影響？如何影響？

項(xiàng)目名稱：青島市第六十七中校園內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)安裝項(xiàng)目（以下為本公司現(xiàn)有產(chǎn)品型號(hào)參考價(jià)格，產(chǎn)品可根據(jù)項(xiàng)目需求進(jìn)行定制）

產(chǎn)品型號(hào) 最大覆蓋半徑/m 報(bào)價(jià)CRN-40 40 2000 CRN-50 50 2000 CRP-60 60 3000 CRP-75 75 4550 CRP-80 80 5050 CRP-100 100 7000

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖大致分兩部分，當(dāng)覆蓋范圍小于50m的時(shí)候，價(jià)格沒(méi)有變化，都是2000；當(dāng)價(jià)格大于50m時(shí)價(jià)格遞增，通過(guò)60m和75m所對(duì)應(yīng)的價(jià)格發(fā)現(xiàn)，半徑增加15m時(shí)價(jià)格增加了1550，也就是每米100元左右。且半徑最少增加5m，所以半徑應(yīng)該是以5的倍數(shù)增加，約為每5m收500元，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

各組最優(yōu)方案展示：

P= + ×= × + ×=images/BZ_235_559_333_913_555.png安裝1個(gè)R=121，86，取作125(125 50)2000 500 5 1 2000 15 500 9500?1組安裝5個(gè)images/BZ_235_559_576_962_829.pngr1～r4均小于50，取作50；r5≈50.71，近似取作50；P=5×2000=10000 2組 安裝2個(gè)images/BZ_235_559_864_942_1105.pngP1=4500 P2=5000 P=4500+5000=2×2000+11×500=9500 P1+P2+P3 3組 安裝三個(gè)images/BZ_235_559_1129_946_1372.pngr1≈73.19, P1=4500;r2≈49.9, P2=2000;r3≈50, P3=2000;4500+2000+2000=3×2000+5×500=8500 4組 安裝4個(gè)images/BZ_235_559_1400_1030_1696.pngP=4×2000+1×500=8500

（三）模型分析

可根據(jù)信號(hào)發(fā)射器的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類。將任務(wù)分給四個(gè)小組，合作求解成本最低的最佳安裝方案。學(xué)生展示自己的探究成果，教師記錄每種分類下的最優(yōu)方案的計(jì)算式，師生共同比較得到最佳方案。通過(guò)該過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，增強(qiáng)合作意識(shí)。

根據(jù)以上各小組分享，在現(xiàn)有報(bào)價(jià)下安裝3個(gè)或4個(gè)發(fā)射器價(jià)格最優(yōu)。對(duì)應(yīng)價(jià)格為：

P=3×2000+5×500=8500或P=4×2000+1×500=8500

（四）模型推廣

現(xiàn)有三家公司共同參與競(jìng)標(biāo)，通過(guò)類似的分析方法得到以下三家公司的價(jià)格表示，請(qǐng)通過(guò)對(duì)模型的分析選擇適當(dāng)?shù)姆桨福瑥膬r(jià)格角度給出建議。（忽略墻壁阻擋，其他設(shè)施對(duì)發(fā)射器安裝位置影響等外部因素）

其他兩家公司給出的報(bào)價(jià)中，費(fèi)用依然是兩部分，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以將變化的數(shù)據(jù)抽象為兩個(gè)變量，將剛才得到的不同分類下最優(yōu)方案的費(fèi)用表示成這兩個(gè)變量的函數(shù)，得到表達(dá)式分別為

單個(gè)發(fā)射器成本及安裝費(fèi)用 半徑每單位增加費(fèi)用甲2000 500 1900 650丙2200 400乙

最優(yōu)方案的選擇可以通過(guò)以下不等式組的求解來(lái)完成。

由此，只需要分別計(jì)算每個(gè)公司的報(bào)價(jià)中y與x的關(guān)系，就可以確定該公司的最優(yōu)方案和最低成本。以上分析是從“數(shù)”的角度利用不等式得到的計(jì)算結(jié)果，下面從“形”的角度利用圖像加以分析。我們現(xiàn)在將成本表示成關(guān)于x和y的函數(shù)，利用Matlab做出不同方案下成本z關(guān)于兩個(gè)變量的函數(shù)圖像，如圖1所示。

她之所以讓其他人回去，就是怕他們聽(tīng)到許諾醉后吐的這些真言，那一整晚，她聽(tīng)他一遍又一遍地說(shuō)著那句話，眼淚一顆接一顆地落在那件花了大價(jià)錢訂制的潔白婚紗上。

圖1

方案要最優(yōu)即成本最小，體現(xiàn)在圖像中即z的值要最低。取從下往上的視角觀察圖像，看到的顏色所代表的個(gè)數(shù)即為最優(yōu)方案。將圖像轉(zhuǎn)換得到從下往上看的圖像，截取其中x、y均大于0的部分并調(diào)整坐標(biāo)軸的方向，在平面直角坐標(biāo)系中表示出剛才所得到的結(jié)果。

（五）結(jié)果應(yīng)用

利用以上分析結(jié)果計(jì)算得到三家公司報(bào)價(jià)下的最優(yōu)成本。

單個(gè)發(fā)射器成本及安裝費(fèi)用半徑每單位增加費(fèi)用 方案選擇 最優(yōu)方案成本甲 2000 500 y= x 3個(gè)或4個(gè) 8500 14乙 1900 650 1 4 y> x 4個(gè)發(fā)射器 8250丙 2200 400 1 5 y< x 1個(gè)發(fā)射器 8200

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)報(bào)價(jià)數(shù)值的改變，結(jié)合函數(shù)的思想，將其中變化的量表示成函數(shù)的自變量，可以得到不同發(fā)射器個(gè)數(shù)下最優(yōu)方案成本的表達(dá)式，然后共同思考如何探究最優(yōu)成本。通過(guò)特殊問(wèn)題一般化的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

以上問(wèn)題解決時(shí)所用的探究方法同樣適用于其他類似問(wèn)題的討論，如說(shuō)手機(jī)信號(hào)增強(qiáng)器的安裝方案、照明系統(tǒng)的安裝方案等。并且以上討論都是建立在理想狀態(tài)下，忽略了很多其他因素的影響，如墻壁對(duì)于信號(hào)的影響，其他建筑對(duì)于信號(hào)發(fā)射器安裝位置的影響等。因此運(yùn)用結(jié)果時(shí)要結(jié)合綜合因素，結(jié)論描述需要從多角度進(jìn)行分析，結(jié)合現(xiàn)實(shí)、覆蓋率、維修、適用性、普遍性的因素等。

（六）素養(yǎng)達(dá)成分析

自我評(píng)價(jià)量表

問(wèn)題 得分1能夠設(shè)計(jì)合理的測(cè)能夠利用所測(cè)數(shù)據(jù)量方案，得到每座建筑長(zhǎng)寬高2繪制平面模型3 能夠結(jié)合實(shí)際情況對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化處理4 能夠分析出半徑為影響價(jià)格的因素并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖5 能夠根據(jù)散點(diǎn)圖分析價(jià)格和半徑的相關(guān)關(guān)系6 能夠結(jié)合實(shí)際情況用分段函數(shù)的形式表示半徑和價(jià)格的關(guān)系7 能夠根據(jù)平面圖確定方案的分類依據(jù)8 能夠有條理地完成不同分類下各種方案成本的核算工作9 能夠在不同方案的成本核算過(guò)程中靈活地處理數(shù)據(jù)，進(jìn)一步優(yōu)化方案10 能夠分析抽象出不同安裝個(gè)數(shù)下成本關(guān)于兩類費(fèi)用的函數(shù)表達(dá)式11 能夠用數(shù)學(xué)理論從代數(shù)角度分析出方案選擇與兩變量之間關(guān)系的關(guān)聯(lián)性12 能夠運(yùn)用信息技術(shù)工具利用圖像分析方案選擇與兩變量之間關(guān)系的關(guān)聯(lián)性13 能夠利用數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)果判斷每個(gè)公司報(bào)價(jià)下的最優(yōu)方案和最低成本14 能夠結(jié)合實(shí)際，有理有據(jù)地闡明方案的合理性

根據(jù)以上素養(yǎng)權(quán)重對(duì)照表，可以得到學(xué)生在本節(jié)課中各素養(yǎng)達(dá)成率，積累一段時(shí)間的數(shù)據(jù)后就可以形成個(gè)人階段性的素養(yǎng)追蹤報(bào)告，以及班級(jí)素養(yǎng)追蹤報(bào)告，使得核心素養(yǎng)的培養(yǎng)可以量化衡量。

階段性素養(yǎng)追蹤圖例

三、教學(xué)反思及效果分析

（一）問(wèn)題分析

以上素養(yǎng)追蹤數(shù)據(jù)的生成有賴于評(píng)價(jià)量表中素養(yǎng)權(quán)重賦值，而評(píng)價(jià)量表的設(shè)計(jì)、每個(gè)問(wèn)題的素養(yǎng)權(quán)重賦值均具有主觀性。

案例中給出的僅為針對(duì)課堂教學(xué)部分的評(píng)價(jià)方案，針對(duì)核心素養(yǎng)達(dá)成情況的追蹤還可以通過(guò)試卷分析、個(gè)人自評(píng)、小組互評(píng)、教師評(píng)價(jià)等多種方式展開(kāi)，進(jìn)行綜合評(píng)定。

（二）在日常教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)建模的必要性

本節(jié)課的整體設(shè)計(jì)思路源于筆者在日常教學(xué)中有一個(gè)深刻體會(huì)：學(xué)生根本不知道為什么學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用，盡管無(wú)論是考試大綱還是新課程標(biāo)準(zhǔn)中都明確提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)是能用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界[1]，但在日常教學(xué)中如何落實(shí)這一點(diǎn)是我們需要在教學(xué)過(guò)程中認(rèn)真思考的問(wèn)題。

回顧整個(gè)數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)數(shù)學(xué)理論的突破都是由需求產(chǎn)生的，也就是說(shuō)，每一個(gè)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的出現(xiàn)都是為了“用”而出現(xiàn)的。如果能在學(xué)生學(xué)習(xí)的同時(shí)，讓他們嘗試去運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決他們所熟悉的問(wèn)題，在應(yīng)用中體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，在自主思考中達(dá)到素養(yǎng)提升的目的，會(huì)收到事半功倍的效果，而這也正符合新課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的要求。

（三）采用逆向教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)建問(wèn)題導(dǎo)向機(jī)制，逐步培養(yǎng)建模思想

本節(jié)課采用逆向教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)建整體教學(xué)過(guò)程，在目標(biāo)導(dǎo)向下進(jìn)行梯度設(shè)置：首先從給定報(bào)價(jià)的模型入手，進(jìn)行一般性的討論；其次將單個(gè)變量改變，引導(dǎo)學(xué)生分析價(jià)格變化對(duì)方案選擇的影響，初步形成變量的概念；最后通過(guò)多家公司報(bào)價(jià)的提出，引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)置變量，解決一般問(wèn)題。并以評(píng)價(jià)量表的形式實(shí)現(xiàn)對(duì)每階段的目標(biāo)達(dá)成情況的量化衡量。

數(shù)學(xué)建模最終要面向的問(wèn)題是生活中的實(shí)際問(wèn)題，因此建模過(guò)程中要考慮很多實(shí)際因素對(duì)模型的影響。在對(duì)模型進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，要考慮到諸多實(shí)際條件的制約，而不是盲目地進(jìn)行分析，對(duì)于數(shù)據(jù)的分析也要考慮計(jì)算量的影響和實(shí)際條件的影響。培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想應(yīng)該是一個(gè)由淺入深，由特殊到一般，由問(wèn)題化設(shè)置到情境化、生活化的系統(tǒng)過(guò)程，逆向教學(xué)設(shè)計(jì)與此過(guò)程可以很好地契合，結(jié)合量化的素養(yǎng)達(dá)成情況分析，通過(guò)系統(tǒng)的問(wèn)題設(shè)置、情景模擬，盡可能地為學(xué)生提供培養(yǎng)建模思想的沃土，讓學(xué)生的思想可以充分地伸展、生長(zhǎng)。