深水多波束聲納的快速聲線追蹤方法*

湯巧英，黃智才

(1.浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院經(jīng)濟(jì)與信息學(xué)院，浙江 杭州 311231；2.浙江大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310027；3.地理與空間信息研究所，浙江 杭州 310027)

多波束測(cè)深是當(dāng)前飛速發(fā)展的一項(xiàng)全新的海底地形精密勘測(cè)技術(shù)。該技術(shù)采取廣角度定向發(fā)射和多通道聲納信息接收，每次發(fā)射可獲得水下高密度的具有上百個(gè)波束的條幅式海底地形數(shù)據(jù)。隨著多波束探測(cè)設(shè)備的移動(dòng)，以條幅推掃的方式探測(cè)海底地形[1-6]。由于海水的作用，探測(cè)聲波波束在海水中不是沿著一條直線進(jìn)行傳播，由于在不同介質(zhì)層界面都會(huì)發(fā)生反射和折射，因此實(shí)際探測(cè)聲波波束在海水中是一條曲線。為了能夠反演計(jì)算波束腳印的真實(shí)位置，就必須反演出聲波波束的實(shí)際傳播路徑，也就是根據(jù)聲速剖面(不同深度的實(shí)際聲速信息)進(jìn)行聲線追蹤，計(jì)算出波束腳印距離波束發(fā)射點(diǎn)的水平相對(duì)位移和垂直相對(duì)位移[7-12]。

在多波束聲納系統(tǒng)中，對(duì)測(cè)深數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)反演與顯示是其一項(xiàng)重要任務(wù)。其目的是幫助聲納操作者和研究人員及時(shí)了解海底地形起伏信息，提高現(xiàn)場(chǎng)決策能力。因此，基于聲線追蹤的波束腳印快速解算是保證多波束聲納系統(tǒng)正常執(zhí)行測(cè)繪任務(wù)的基本條件。然而聲速的采樣信息直接決定了聲線追蹤的計(jì)算精度，因此快速聲線追蹤方法需要在計(jì)算精度與計(jì)算效率之間做出有效平衡，能夠同時(shí)保證準(zhǔn)確性和運(yùn)行時(shí)間的雙重需求[13-17]。波束腳印位置雖然是根據(jù)聲納波束的傳播路徑及往返時(shí)間確定，但是由于海水是非均勻的介質(zhì)，聲速在深度方向上變化很大，導(dǎo)致聲波的傳播路徑是不規(guī)則的連續(xù)曲線。因此，聲線追蹤的基本原理是把海水分成n 層，每層對(duì)應(yīng)特定的聲速(即聲速剖面)，根據(jù)Snell 定律可以計(jì)算出每層的聲納波束指向角，從而追蹤聲波的傳播路徑，最終逐層計(jì)算出波束腳印的位置。目前常用的聲線追蹤方法有以下3 種:①常梯度聲線追蹤法。該方法假設(shè)聲速剖面中兩個(gè)相鄰采樣點(diǎn)之間的聲速為固定梯度的線性變化[1，18-19]；②常聲速聲線追蹤法。該方法假設(shè)聲速剖面中兩個(gè)相鄰采樣點(diǎn)之間的聲速是固定不變[1，18]；③等效聲速剖面法。該方法的原理是波束腳印位置誤差僅與入射角和相對(duì)面積差有關(guān)，因此可以找到一條相對(duì)簡(jiǎn)略的聲速剖面取代原始精細(xì)聲速剖面進(jìn)行計(jì)算[18-20]。很顯然，聲速剖面越精確則聲線追蹤結(jié)果越精確。在深水多波束實(shí)際作業(yè)過(guò)程中，為了盡可能提高測(cè)量精度，聲速剖面中的采樣點(diǎn)數(shù)量通常會(huì)達(dá)到幾百甚至上千，導(dǎo)致聲線追蹤計(jì)算量巨大。上述方法中，常梯度方法最能精確刻畫(huà)聲速變化，因而計(jì)算結(jié)果精度最高，但是計(jì)算量較大，計(jì)算效率較低。常聲速方法雖然簡(jiǎn)化了聲速變化，但是聲速剖面中每個(gè)采樣點(diǎn)仍需計(jì)算，因此計(jì)算量仍然較大，同時(shí)計(jì)算精度也會(huì)明顯下降。等效聲速法雖然能有效簡(jiǎn)化聲速剖面，兼顧計(jì)算效率與精度，但是該方法在尋找等效聲速剖面時(shí)依然面臨很大挑戰(zhàn)，必須預(yù)先獲取作業(yè)海域的參考深度，且不適用于海底地形起伏較大的區(qū)域[21-23]。

為了兼顧計(jì)算精度與效率，本文采取了一種簡(jiǎn)化聲速剖面以減少聲速采樣點(diǎn)的策略，提出了一種快速聲線追蹤方法，該方法利用經(jīng)典道格拉斯-普克算法對(duì)聲速剖面(聲線追蹤的唯一參數(shù))進(jìn)行簡(jiǎn)化，并且對(duì)因聲速剖面簡(jiǎn)化所引入的誤差進(jìn)行有效控制，使得簡(jiǎn)化聲速剖面的聲線追蹤結(jié)果能同時(shí)滿足精度與效率需求。

1 原理

1.1 聲速剖面特征分析與簡(jiǎn)化機(jī)制

聲速剖面是指海水中聲速隨深度變化的信息，反映聲速在海水中的變化規(guī)律。海水中聲波的傳播速度受到海水溫度、鹽度和壓力等因素的影響而發(fā)生改變。通常情況下，聲速在一定水平面范圍內(nèi)變化不大，主要是在垂直深度方向上發(fā)生劇烈變化，呈現(xiàn)出以下規(guī)律[24-25](如圖1 所示):

圖1 聲速剖面的典型特征

①在海平面到水下幾米(或數(shù)十米)的深度范圍內(nèi)，由于受到太陽(yáng)輻射的影響，該范圍中的海水溫度基本是恒定的，而海水的靜壓力則隨著深度的增加而增加，因此聲速也隨著深度的增加而緩慢增大；

②在幾十米到幾百米范圍中，是一個(gè)溫度躍變層，在此范圍內(nèi)，溫度是影響聲速最主要的因素，其影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)海水靜壓力。由于溫度隨著海水深度的增加急速下降，聲速會(huì)呈近似線性的減小；

③在幾百米以下區(qū)域?yàn)樯詈５葴貙?，在該范圍?nèi)，溫度處于恒定，這時(shí)，海水的靜壓力是影響聲速變化的主要因素，在這個(gè)范圍內(nèi)，聲速會(huì)隨著深度增加呈近似線性的增長(zhǎng)。

一般情況下，要想準(zhǔn)確反演波束腳印(即聲波與海底界面的交點(diǎn))位置，就需要根據(jù)聲速剖面進(jìn)行聲線追蹤。根據(jù)Kinsler 和Frey 的證明[26]:當(dāng)聲速呈線性變化時(shí)(即聲速梯度為固定常數(shù))，波束的傳播軌跡為一段圓弧，如圖2 所示。圖中θi-1是波速傳播速度為vi-1時(shí)的掠射角，θi是波束傳播速度為vi時(shí)的掠射角；gi為聲速梯度，Ri為圓弧半徑，這兩個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式為:

式中，n為Snell 常數(shù)。根據(jù)圖2 中的幾何關(guān)系，可以得到波束在該范圍中的水平位移yi和垂直位移zi:

圖2 常梯度聲速介質(zhì)中波束傳播軌跡

由此可知，根據(jù)上述聲速剖面的變化特征，對(duì)于聲速隨深度呈線性變化的部分(溫度躍變層與深海等溫層)，波束的水平位移和垂直位移可以直接通過(guò)式(3)、式(4)計(jì)算獲得；進(jìn)而可以得到，在聲速呈線性或類線性變化的部分，對(duì)聲線追蹤結(jié)果形成主要影響的是該部分首尾數(shù)據(jù)點(diǎn)，而在首尾之間的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)于聲線追蹤的最終結(jié)果影響小。

根據(jù)上述分析，本文快速聲線追蹤方法的主要策略就是剔除聲速剖面中的冗余數(shù)據(jù)點(diǎn):對(duì)于聲速剖面中聲速隨深度呈線性或類線性變化的部分(如溫度躍變層、深海等溫層)進(jìn)行數(shù)據(jù)抽稀處理，保留對(duì)聲線追蹤結(jié)果影響較大的數(shù)據(jù)點(diǎn)(如線性變化部分的首尾點(diǎn))，而剔除對(duì)結(jié)果影響微小的數(shù)據(jù)點(diǎn)。通過(guò)簡(jiǎn)化聲速剖面，減少聲速采樣點(diǎn)，以降低聲線追蹤的計(jì)算量，從而提高計(jì)算效率。

1.2 聲速剖面簡(jiǎn)化誤差分析

上述聲速剖面簡(jiǎn)化機(jī)制雖然可以很好地保持聲速剖面的整體變化特征，但是對(duì)聲速快速非線性變化部分的簡(jiǎn)化(減少聲速采樣點(diǎn))勢(shì)必會(huì)造成原始數(shù)據(jù)信息丟失，從而導(dǎo)致聲線追蹤的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差，即快速聲線追蹤是以犧牲計(jì)算結(jié)果精度為代價(jià)的。為了有效控制因聲速剖面簡(jiǎn)化處理所帶來(lái)的誤差，保證聲線追蹤結(jié)果滿足準(zhǔn)確性需求，還需要對(duì)計(jì)算誤差進(jìn)深入分析，以明確誤差產(chǎn)生的影響，從而進(jìn)行有效的誤差控制。本文通過(guò)分析并證明，得到了以下結(jié)論:聲速剖面經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，導(dǎo)致的聲線追蹤誤差由中心波束向邊緣波束線性依次增大(具體證明過(guò)程見(jiàn)附錄)。換言之，只要邊緣波束的聲線追蹤結(jié)果滿足準(zhǔn)確性需求，那么其他波束的計(jì)算結(jié)果必然滿足需求。因而，對(duì)聲速剖面進(jìn)行簡(jiǎn)化處理時(shí)，只需控制邊緣波束的聲線追蹤結(jié)果(相較于未簡(jiǎn)化的原始聲速剖面)在滿足準(zhǔn)確性需求的基礎(chǔ)上盡可能地減少聲速采樣點(diǎn)，就可以得到最佳的聲速剖面簡(jiǎn)化結(jié)果，從而使聲線追蹤兼顧效率與準(zhǔn)確性。

2 方法

2.1 聲速剖面簡(jiǎn)化處理

根據(jù)聲速剖面的特征以及其簡(jiǎn)化機(jī)制，其簡(jiǎn)化過(guò)程為:保留聲速剖面中反映其變化特征的數(shù)據(jù)點(diǎn)(即聲速剖面曲線中的主要形值點(diǎn))，而剔除其他位于線性變化中的數(shù)據(jù)點(diǎn)(主要是溫度躍變層與深海等溫層中的聲速線性變化數(shù)據(jù)點(diǎn))。從數(shù)學(xué)角度而言，這個(gè)過(guò)程即為矢量數(shù)據(jù)的抽稀處理。為了保證簡(jiǎn)化處理的效率和效果，本文采用道格拉斯—普克算法[27]這一經(jīng)典曲線化簡(jiǎn)算法，對(duì)聲速剖面進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。其基本原理是首先將聲速剖面作為一條完整的線段取首尾兩端點(diǎn)，然后計(jì)算線段內(nèi)其余各點(diǎn)到連接兩端點(diǎn)的直線的距離。如果這些點(diǎn)到該直線的垂直距離中最大者仍小于事先給定的閾值，則兩端點(diǎn)間的數(shù)據(jù)點(diǎn)均被舍去；如最大距離大于給定閾值，則將此點(diǎn)保留，并以此點(diǎn)將原來(lái)的線段分為兩段，對(duì)這兩段重復(fù)上述過(guò)程，分別檢驗(yàn)最大垂距是否大于閾值，重復(fù)此過(guò)程直到?jīng)]有多余的點(diǎn)需要被舍去為止。如圖3 所示，對(duì)于連續(xù)曲線ABCD，求曲線上各點(diǎn)(除A、D 兩點(diǎn))到AD 連線的距離最大值dMax，若這個(gè)最大值小于事先給定的閾值k，則連續(xù)曲線就由AD 兩點(diǎn)的連線取代，其余點(diǎn)均被舍去。否則，則留下該點(diǎn)。圖3 中B 點(diǎn)為曲線上選中的抽稀點(diǎn)，然后分別再找出AB 及BD 上滿足最大距離大于k的點(diǎn)，以此下去，直到找不到這樣的點(diǎn)為止。因此，根據(jù)道格拉斯-普克算法的原理，只需設(shè)定合適的閾值k，就可以有效減少聲速剖面中的聲速采樣點(diǎn)。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的聲速剖面保留了反映聲速變化特征的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而剔除了溫度躍變層與深海等溫層中對(duì)聲線追蹤結(jié)果影響較小的數(shù)據(jù)點(diǎn)，降低了聲線追蹤的實(shí)際計(jì)算量。

圖3 道格拉斯-普克算法基本原理示意圖

2.2 基于“反饋”機(jī)制的誤差控制

采用道格拉斯—普克算法進(jìn)行聲速剖面簡(jiǎn)化時(shí)，需要設(shè)定抽稀(簡(jiǎn)化)閾值k。k值越大，保留的特征點(diǎn)(聲速采樣點(diǎn))越少，聲線追蹤計(jì)算量越小、效率提高越多，但由于原始數(shù)據(jù)中信息丟失過(guò)多，會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)更多誤差；k值越小，所保留的特征點(diǎn)(聲速采樣點(diǎn))越多，聲線追蹤計(jì)算量減少不多、效率提升不高，但由于原始數(shù)據(jù)中信息丟失較少，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差也較小。因而，為了兼顧聲線追蹤的效率和準(zhǔn)確性，聲速剖面的簡(jiǎn)化閾值k至關(guān)重要。但是道格拉斯-普克算法的閾值設(shè)定無(wú)法滿足上述要求，具體體現(xiàn)為:由于道格拉斯-普克算法中抽稀閾值k的含義為點(diǎn)到直線段距離，其難以與聲線追蹤之間形成明確的物理聯(lián)系，因而使合理的閾值設(shè)定變得十分困難。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種由“允許誤差”反向確定簡(jiǎn)化閾值的方法，即設(shè)定最大允許誤差。通過(guò)誤差反饋與閾值自適應(yīng)調(diào)整機(jī)制確定最佳簡(jiǎn)化閾值。由于在多波束測(cè)深精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中，對(duì)于誤差并不是直接評(píng)價(jià)其絕對(duì)值大小，而是誤差值與對(duì)應(yīng)水深值的比值。根據(jù)國(guó)際海道測(cè)量組織(International Hydrography Organization，IHO)的規(guī)定，當(dāng)海水的實(shí)際深度與計(jì)算深度之差小于4z‰(z為實(shí)際深度)時(shí)滿足測(cè)量精度要求。由于波束腳印位置信息包括了深度值和相對(duì)水平位移，衡量其位置的精度時(shí)應(yīng)兼顧水平位移誤差和深度值誤差，因此本文在進(jìn)行精度評(píng)價(jià)時(shí)，采用兩者的空間位置偏差Δd作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文將聲速剖面簡(jiǎn)化后的邊緣波束誤差定義為e，其計(jì)算公式如式(5)所示。e值直接決定了一定水深下的最大允許誤差。

式中，z為水深值，Δd表示在水深為z時(shí)，由原聲速剖面與抽稀簡(jiǎn)化后聲速剖面所計(jì)算得到的波束腳印空間位置的偏差。

上文已經(jīng)證明聲速剖面簡(jiǎn)化對(duì)于邊緣波束的影響最大。因此，只需控制邊緣波束的誤差即可滿足精度要求，其具體處理流程為(如圖4 所示):

圖4 基于“反饋”機(jī)制的誤差控制流程

①設(shè)定邊緣波束的掠射角angle、允許誤差e和初始聲速剖面簡(jiǎn)化參數(shù)k(即道格拉斯-普克算法中的抽稀閾值)；k可以取大于零的任意實(shí)數(shù)，其取值最終取決于允許誤差e:e越大，表示最大允許誤差越大，聲速剖面中可以剔除的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，k值越大，反之亦然；

②以未經(jīng)簡(jiǎn)化處理的聲速剖面為基準(zhǔn)聲速剖面，計(jì)算波束到達(dá)聲速剖面上各個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)深度zi(i＝1，2，…，n)的時(shí)間ti(i＝1，2，…，n)，并計(jì)算出波束在特定深度的水平位移yi(i＝1，2，…，n)，其中，n是基準(zhǔn)聲速剖面的層數(shù)；

③根據(jù)簡(jiǎn)化參數(shù)k對(duì)聲速剖面進(jìn)行處理，由簡(jiǎn)化后的聲速剖面和時(shí)間ti，計(jì)算出波束在時(shí)間ti到達(dá)的深度z′i和水平位移y′i，得到簡(jiǎn)化前后深度值和水平位移的偏差:

由此可得到兩者的空間距離偏差:

則在一定深度下，兩者之間的誤差為:

④通過(guò)比較得到ei的最大值emax，比較emax和e之間的大小，如果emax大于e，說(shuō)明k值過(guò)大，則減小k值；如果emax小于e，表明k值過(guò)小，則增大k值(k值增減采用區(qū)間二分法)，并返回步驟(3)。如此迭代，直至k值的前后兩次變化幅度小于規(guī)定范圍，即得到了最佳的聲速剖面抽稀參數(shù)k；由于抽稀參數(shù)k與聲線追蹤誤差e呈單調(diào)關(guān)系(k值越大則誤差e越大，k值越小則誤差e越小)，所以通過(guò)該迭代過(guò)程可以尋找到允許誤差emax范圍內(nèi)的最大抽稀參數(shù)k。

⑤根據(jù)參數(shù)k對(duì)聲速剖面進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，并以簡(jiǎn)化后的聲速剖面為聲線追蹤的參數(shù)，完成聲線追蹤的迭代計(jì)算。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

用VC＋＋編程實(shí)現(xiàn)了所提出的快速聲線追蹤方法，并以3 條采集不同海域的聲速剖面(如表1 所示)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，用以證明本文方法既能提高聲線追蹤的計(jì)算效率，又能保證其計(jì)算精度。

表1 對(duì)比實(shí)驗(yàn)的聲速剖面信息

在聲速剖面簡(jiǎn)化處理時(shí)，設(shè)定的閾值為1‰(即聲速剖面簡(jiǎn)化處理后引起的誤差不能超過(guò)對(duì)應(yīng)水深值的1‰)，簡(jiǎn)化前后聲速剖面的對(duì)比如表2 所示。表2 中的對(duì)比結(jié)果表明:簡(jiǎn)化前后聲速剖面的相關(guān)性都大于99.9%，這說(shuō)明簡(jiǎn)化后的聲速剖面很好地保持了聲速變化趨勢(shì)(只剔除了對(duì)聲線追蹤結(jié)果影響微小的數(shù)據(jù)點(diǎn))，同時(shí)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)抽稀，簡(jiǎn)化后的聲速剖面數(shù)據(jù)量降低了2 個(gè)數(shù)量級(jí)，這將大幅減少聲線追蹤的計(jì)算量，從而提高聲線追蹤的計(jì)算效率(見(jiàn)表3 所示:處理單ping 數(shù)據(jù)所需的時(shí)間)。由于深度不同主要影響的是聲速剖面中采樣點(diǎn)的數(shù)量，因此深度越深，聲線追蹤所需要的時(shí)間越多。可以看出，由于簡(jiǎn)化后的聲速剖面采樣點(diǎn)已經(jīng)非常少，因此聲線追蹤所需要的時(shí)間非常短，相比原始聲速剖面，其計(jì)算效率提高了約10～100 倍。

表2 簡(jiǎn)化前后聲速剖面對(duì)比

表3 方法效率對(duì)比

為了便于說(shuō)明，本文將根據(jù)原始聲速剖面計(jì)算得到的結(jié)果稱為“基準(zhǔn)值”，根據(jù)簡(jiǎn)化后的聲速剖面計(jì)算得到的結(jié)果稱為“計(jì)算值”，兩者之間的差異表示了由于聲速剖面簡(jiǎn)化而產(chǎn)生的誤差。由表2～表6 的對(duì)比結(jié)果中可以看出，本文對(duì)聲速剖面進(jìn)行簡(jiǎn)化而產(chǎn)生的誤差非常小(小于指定的允許誤差1‰)。這證明本文提出的基于“反饋”機(jī)制誤差控制方法能夠有效且可靠地尋找到最佳抽稀參數(shù)，從而在聲速剖面簡(jiǎn)化過(guò)程中保證了聲線追蹤計(jì)算結(jié)果滿足精度需求，同時(shí)又最大限度地減少了聲線追蹤的計(jì)算量，提高了計(jì)算效率(如表4～表6 所示)。

表4 本文方法計(jì)算精度(聲速剖面1)

表5 本文方法計(jì)算精度(聲速剖面2)

表6 本文方法計(jì)算精度(聲速剖面3)

4 結(jié)論

由于聲波在海水中的速度受到多種水文因素的影響，導(dǎo)致其在海水中的傳播軌跡是一條復(fù)雜的曲線。利用聲納探測(cè)海底，首先要對(duì)聲納的聲波波束進(jìn)行聲線追蹤，反演其準(zhǔn)確的波束腳印位置。在測(cè)量作業(yè)過(guò)程中，為了提高現(xiàn)場(chǎng)分析決策能力，需要實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的聲線追蹤方法。為了監(jiān)督聲線追蹤的效率與精度，提出了一種快速聲線追蹤方法。該方法通過(guò)對(duì)聲速剖面的合理簡(jiǎn)化，大幅降低了聲線追蹤的實(shí)際計(jì)算量，提高了計(jì)算效率。同時(shí)通過(guò)基于“反饋”機(jī)制的誤差控制方法，有限約束了聲速剖面簡(jiǎn)化處理，保證了聲線追蹤精度控制在合理范圍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠有效簡(jiǎn)化聲速剖面，滿足聲線追蹤計(jì)算精度與計(jì)算效率的實(shí)際需求。

附錄

證明 聲速剖面簡(jiǎn)化對(duì)邊緣波束的聲線追蹤計(jì)算精度影響最大。

設(shè)原聲速剖面為SSP1，抽稀后聲速剖面為SSP2，根據(jù)Geng 和Zielinski 的研究，對(duì)于給定的深度zB，可以找到SSP1的等效聲速剖面SSP1eq，SSP2的等效聲速剖面SSP2eq，設(shè)SSP1eq的斜率為g1，SSP2eq的斜率為g2。在聲速呈線性變化的介質(zhì)中，波束的傳播軌跡是一段圓弧，圓弧的曲率半徑為R＝在深水條件下，等效聲速剖面的聲速變化率非常小[1]，由此可以得到以下的結(jié)論:該圓弧的曲率非常小，圓弧非常平緩，同時(shí)，由于聲速的變化幅度小，根據(jù)Snell 定理可知，波束掠射角變化小，則圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角非常小，所以可用該段圓弧所對(duì)應(yīng)的弦近似表示波束的軌跡，如圖5 所示。

圖5 波束傳播軌跡

但此時(shí)波束的掠射角不再是θ0，對(duì)于SSP1eq其波束的掠射角為，對(duì)于SSP2eq其波束掠射角為，θ1和θ2分別是SSP1eq和SSP2eq所對(duì)應(yīng)的波束到達(dá)層底時(shí)的掠射角。這樣，根據(jù)給定深度zB，可以根據(jù)聲速剖面SSP1eq和SSP2eq分別計(jì)算出波束到達(dá)深度zB所需時(shí)間:

式中，v1，v2分別是波束到達(dá)層底時(shí)的聲速。進(jìn)一步，根據(jù)給定深度zB以及t1和t2，分別計(jì)算出波束在此過(guò)程中的平均聲速，即:

當(dāng)?shù)竭_(dá)層底時(shí)，波束的空間位置偏差為Δd＝，將式(5)、式(6)代入，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理，可得到:

將式(8)～式(11)代入cos(θ1-θ2)中，并對(duì)其關(guān)于θ0求導(dǎo)，可求得導(dǎo)數(shù)為: