含液膜的全金屬單螺桿泵柔性支承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)分析

李大奇 毛志宏 宋玉杰 魏玉芬

（東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院）

單螺桿泵轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)性能對(duì)泵的運(yùn)行工況和結(jié)構(gòu)性能具有很大的影響。 全金屬單螺桿泵擁有定轉(zhuǎn)子間隙配合、轉(zhuǎn)子偏心運(yùn)動(dòng)及耐高溫運(yùn)行等特點(diǎn)［1］，對(duì)于稠油井和含氣含砂井舉升具有顯著優(yōu)勢(shì)［2］。隨著轉(zhuǎn)速的增大，容易出現(xiàn)振動(dòng)大的問題，會(huì)影響桿柱或者地下設(shè)備的安全。 想要找到合理的運(yùn)行參數(shù)，使泵平穩(wěn)運(yùn)行，就需要研究轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)性能。 孫健利用理論分析和數(shù)值模擬的方法， 分析了單頭單螺桿泵的力學(xué)特性，得出應(yīng)力極限值處于單轉(zhuǎn)子接觸帶的連接處［3］。 吳志堅(jiān)和吳筱堅(jiān)通過Timoshenko梁-軸模型，研究了單螺桿泵抽油桿的動(dòng)力學(xué)特性，求得桿柱運(yùn)動(dòng)方程的解析解［4］。姜東利用有限元仿真法，研究了全金屬螺桿泵最高泵效下定轉(zhuǎn)子之間的配合間隙，得到轉(zhuǎn)速能較大程度地影響全金屬螺桿泵最優(yōu)工作區(qū)間的結(jié)論［5］。

筆者通過研究金屬單螺桿泵轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)過程，不考慮桿件的陀螺效應(yīng)，將一導(dǎo)程的螺桿泵轉(zhuǎn)子等效到跨中單盤處［6］，建立一個(gè)考慮液膜的兩端柔性支承-偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并采用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，研究了轉(zhuǎn)速比和定轉(zhuǎn)子配合間隙對(duì)偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的影響規(guī)律。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 柔性支承-轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

考慮到金屬螺桿泵舉升過程中定轉(zhuǎn)子配合間隙，同時(shí)轉(zhuǎn)子繞轉(zhuǎn)心進(jìn)行偏心轉(zhuǎn)動(dòng)，繞定子圓心進(jìn)行公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，建立的一個(gè)考慮液膜的兩端柔性支承-偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型（圖1）。 設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的剛性圓盤位于不考慮質(zhì)量的彈性軸的跨中，轉(zhuǎn)軸集中于兩端的等效質(zhì)量為mb，轉(zhuǎn)軸的剛度系數(shù)為k，阻尼系數(shù)為c。 為了便于分析，假設(shè)兩端支承一樣，將兩端的柔性支承簡(jiǎn)化為一個(gè)包含線性彈簧和阻尼的系統(tǒng)，其中剛度和阻尼系數(shù)分別為kx、ky、cx和cy。 O、O2和Oc分別是定子圓心、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)心和轉(zhuǎn)子圓心，且轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度與公轉(zhuǎn)角速度的大小均為ωr， 轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖1所示。 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)心與圓心的距離為偏心距e，與公轉(zhuǎn)半徑相同。

圖1 柔性支承的單盤偏心轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

1.2 液膜力模型

取JDGLB160-18型金屬螺桿泵進(jìn)行分析，單導(dǎo)程長(zhǎng)度160 mm，偏心距e=5.5 mm，轉(zhuǎn)子直徑2r=50 mm，定轉(zhuǎn)子配合間隙為0.18 mm［7］。 設(shè)轉(zhuǎn)子所處位置如圖2所示。

圖2 液膜示意圖

根據(jù)Reynolds方程得：

以x=rθ為周向坐標(biāo)，r為轉(zhuǎn)子半徑，液膜膜厚方向y為徑向坐標(biāo)，z為軸向坐標(biāo)，U為轉(zhuǎn)子表面與定子內(nèi)壁x方向的相對(duì)滑移速度，V為y方向的相對(duì)滑移速度。 因螺桿泵轉(zhuǎn)子除以角速度ωr繞轉(zhuǎn)心O2轉(zhuǎn)動(dòng)外，還需考慮其轉(zhuǎn)子圓心的水平和垂直移動(dòng)速度Vcx、Vcy，則：

故代入（1）式得：

1.3 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

忽略重力影響， 以定子圓心O建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)轉(zhuǎn)子圓心Oc位移為（xc，yc），轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)心O2位移為（x，y），柔性支承Ob的位移為（xb，xb），公轉(zhuǎn)軌跡點(diǎn)O1（x1，y2）。 如圖3所示，各點(diǎn)初始位置分別為Oc′、O2′、O1′、Ob′。

圖3 單截面轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)示意圖

因考慮了兩端柔性支承的影響，故能量函數(shù)中支承的kx、ky、cx、cy等參數(shù)的取值分別是單個(gè)支承參數(shù)的兩倍［9］。

利用Lagrange動(dòng)力學(xué)模型， 將系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)、動(dòng)能函數(shù)、阻尼耗散函數(shù)及相應(yīng)的廣義力代入Lagrange方程［10］，即：

引入Lagrange函數(shù)L=T-V， 其中，T為系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)；V為其勢(shì)能函數(shù)；Φ為與其阻尼有關(guān)的耗散函數(shù)；Qj為作用在系統(tǒng)上的廣義力；qj為其獨(dú)立廣義坐標(biāo)；n為其總自由度數(shù)。

得到運(yùn)動(dòng)微分方程為：

2 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

全金屬螺桿泵轉(zhuǎn)子系統(tǒng)因受非線性液膜力、定轉(zhuǎn)子配合間隙和轉(zhuǎn)子高轉(zhuǎn)速的影響，在運(yùn)動(dòng)過程中具有較復(fù)雜的動(dòng)態(tài)響應(yīng)行為。 綜合考慮多種參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，采用變步長(zhǎng)四階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算，轉(zhuǎn)動(dòng)角為ωrt，程序運(yùn)行1 000個(gè)周期，舍棄前900個(gè)周期，取最后100個(gè)的穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果。 繪制出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔圖、軌跡圖、相圖、瀑布圖和Poincaré截面圖，得到相關(guān)參數(shù)與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系。

2.1 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系

取液膜動(dòng)力粘度η=0.018 Pa·s， 定轉(zhuǎn)子配合間隙C=0.18 mm， 將轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωr作為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的變量，研究轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)關(guān)系。 系統(tǒng)的位移分岔圖如圖4所示， 因轉(zhuǎn)子在運(yùn)動(dòng)過程中一直受到液膜力的影響，故其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一直處于混沌與倍周期運(yùn)動(dòng)之間轉(zhuǎn)換。

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移分岔圖

當(dāng)ωr較小時(shí)，隨著ωr取值的增大，系統(tǒng)由倍周期運(yùn)動(dòng)逐漸進(jìn)入混沌狀態(tài)，轉(zhuǎn)心軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖如圖5、6所示；當(dāng)ωr繼續(xù)增大，在轉(zhuǎn)速達(dá)到62.6 rad/s（即597.79 r/min）時(shí)，系統(tǒng)由混沌的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)演變?yōu)檩^為穩(wěn)定的多周期運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)心軌跡圖、相圖與Poincaré截面圖如圖7所示；轉(zhuǎn)速ωr繼續(xù)增加， 系統(tǒng)繼續(xù)由倍周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)， 并在ωr取值為125.6 rad/s （即1 199.39 r/min）時(shí)， 進(jìn)入多周期運(yùn)動(dòng)， 轉(zhuǎn)心軌跡圖、 相圖與Poincaré截面圖如圖8所示。

圖5 ωr=1 rad/s時(shí)系統(tǒng)的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

圖6 ωr=20 rad/s時(shí)系統(tǒng)的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

圖7 ωr=62.6 rad/s時(shí)系統(tǒng)的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

圖8 ωr=125.6 rad/s時(shí)系統(tǒng)的軌跡圖、相圖和Poincaré截面圖

2.2 定轉(zhuǎn)子配合間隙變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

取液膜粘度η=0.018 Pa·s，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωr=62.6 rad/s，以螺桿泵定轉(zhuǎn)子配合間隙作為系統(tǒng)仿真的變量，研究間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。 考慮到間隙值對(duì)金屬螺桿泵泄漏量的影響，取定轉(zhuǎn)子配合間隙C≤0.001 m［11，12］。 得到轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值的瀑布圖，如圖9a所示，對(duì)于不同的間隙，系統(tǒng)振動(dòng)的頻譜出現(xiàn)相似的幅值分量。 從圖9b中可以得到，隨著間隙的增大，系統(tǒng)的最大幅值分量也隨之增大，且間隙越大趨勢(shì)越明顯。 而從圖9c中可以看出，系統(tǒng)振動(dòng)頻率的變化隨著間隙的變化未出現(xiàn)明顯改變。

圖9 定轉(zhuǎn)子配合間隙與系統(tǒng)響應(yīng)圖

2.3 轉(zhuǎn)速和定轉(zhuǎn)子配合間隙對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的耦合作用

取液膜粘度η=0.018 Pa·s，將轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωr和定轉(zhuǎn)子配合間隙C作為系統(tǒng)的變量進(jìn)行分析，研究?jī)烧吖餐饔孟碌南到y(tǒng)響應(yīng)規(guī)律。 根據(jù)金屬單螺桿泵的結(jié)構(gòu)和工作特點(diǎn)， 設(shè)配合間隙值的取值范圍為0.1～1.0 mm，轉(zhuǎn)速的取值范圍為10～120 rad/s，得到配合間隙、轉(zhuǎn)速和最大幅值之間的關(guān)系如圖10a所示。 從圖10b中可以得到，當(dāng)配合間隙較小且處于0.1～0.4 mm時(shí)， 間隙值的改變對(duì)最大幅值的變化趨勢(shì)影響很小，而隨著轉(zhuǎn)速的增大，最大幅值呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)；由圖10b、c可得，當(dāng)配合間隙值較大且處于0.5～1.0 mm時(shí)，隨轉(zhuǎn)速的增加，最大幅值呈現(xiàn)為先增大后減小的趨勢(shì)，但在不同的配合間隙下，轉(zhuǎn)速改變導(dǎo)致的最大幅值相對(duì)變動(dòng)區(qū)間基本相同，而在該條件下，配合間隙的改變能較大地影響各轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的最大幅值，使其隨配合間隙的增大而明顯增大。

圖10 定轉(zhuǎn)子配合間隙、轉(zhuǎn)速與系統(tǒng)最大幅值的關(guān)系圖

3 結(jié)論

3.1 在其他系統(tǒng)參數(shù)保持不變的情況下，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增大， 系統(tǒng)的響應(yīng)情況表現(xiàn)為倍周期-混沌交替的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。轉(zhuǎn)速在0.0～32.1 rad/s時(shí)，由多周期運(yùn)動(dòng)向混沌轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)速位于32.1～62.6 rad/s時(shí)，系統(tǒng)慢慢歸于多周期運(yùn)動(dòng)，并在這一過程中有一較為穩(wěn)定的運(yùn)行轉(zhuǎn)速ωr=62.6 rad/s。 當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，又出現(xiàn)轉(zhuǎn)換現(xiàn)象，并在ωr=125.6 rad/s時(shí)出現(xiàn)較為穩(wěn)定的運(yùn)行狀態(tài)。

3.2 在系統(tǒng)其他參數(shù)保持不變的條件下，改變定轉(zhuǎn)子之間的配合間隙，可以得出，隨著配合間隙的增大，系統(tǒng)的振動(dòng)特性呈現(xiàn)為，其最大振動(dòng)幅值逐漸增大，且配合間隙值越大，其增加的趨勢(shì)越大，但對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率影響不大。

3.3 在改變系統(tǒng)中定轉(zhuǎn)子配合間隙和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的情況下，可以得到，當(dāng)間隙值小于0.5 mm時(shí)，轉(zhuǎn)速較大地影響著系統(tǒng)的最大振幅，隨著轉(zhuǎn)速的增加系統(tǒng)最大幅值減小； 當(dāng)間隙值大于0.5 mm時(shí)，間隙較大地影響著系統(tǒng)的最大振幅，且隨轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)最大幅值呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)。