基于復(fù)值損失函數(shù)的并行MRI的深度重建

黃進(jìn)紅，周根嬌，喻澤峰，胡文玉

贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院//江西省數(shù)值模擬與仿真技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗室//贛州市計算成像重點(diǎn)實(shí)驗室，江西 贛州 341000

MRI是斷層成像的一種，它利用磁共振現(xiàn)象從人體中獲得電磁信號,并重建出人體信息，它的主要缺點(diǎn)是數(shù)據(jù)采集速度相對較慢。為了解決該問題，研究人員先后嘗試了硬件加速、并行成像（pMRI）［1,2］、壓縮感知（CS）［3］等方法。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)已被證明可以為MRI 重建提供快速且穩(wěn)健的解決方案，很多深度學(xué)習(xí)模型都包含了CNN模塊［4-6］。除了利用CNN網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行MRI重建，也有作者使用多層感知器網(wǎng)絡(luò)［7］、編碼-解碼網(wǎng)絡(luò)［8］、生成對抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）［9］、遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［10］等。以上都是基于常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊構(gòu)造的MRI重建模型，這是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的端到端的深度學(xué)習(xí)重建方法。還有一類稱為是基于算法展開（指CS中的相關(guān)算法）的深度學(xué)習(xí)模型，它將傳統(tǒng)的求解CS模型過程中每一步迭代轉(zhuǎn)換為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個層，根據(jù)使用的算法不同構(gòu)造不同的深度重建模型，如將ADMM 算法展開得到的ADMM-Net 模型［11］，以及將ISTA 算法展開而得到的ISTA-Net模型［12］。

上述大多數(shù)深度重建方法將復(fù)值MRI數(shù)據(jù)視為2-通道數(shù)據(jù)（單線圈）或2c-通道數(shù)據(jù)（多線圈，其中c表示線圈的數(shù)量），從而將數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部分開訓(xùn)練。這種表示方法沒有考慮實(shí)部和虛部之間的數(shù)據(jù)相關(guān)性，會造成一些相位信息的丟失，從而降低重建精度。針對復(fù)值數(shù)據(jù)，Trabelsi等［13］于2017年提出了專門處理復(fù)數(shù)的深度網(wǎng)絡(luò)并應(yīng)用于計算機(jī)視覺領(lǐng)域，取得了較好的定量和定性結(jié)果。在MRI重建領(lǐng)域，借助于復(fù)梯度計算方法［14］，一種新的適用于復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)的激活函數(shù)［15］，取得了較好的結(jié)果。其它MRI應(yīng)用中的初步研究結(jié)果［16-19］也表明了復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢。對于并行磁共振成像領(lǐng)域，利用復(fù)卷積運(yùn)算，提出了一種具有復(fù)值輸入輸出的殘差卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于并行MRI重建，并取得相比于實(shí)數(shù)卷積網(wǎng)絡(luò)更好的定量結(jié)果，但該方法僅在卷積運(yùn)算中將相應(yīng)的實(shí)值運(yùn)算推廣到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域［20］。實(shí)際上，復(fù)數(shù)域上的激活函數(shù)也引起了部分研究人員的注意?；谏疃葘W(xué)習(xí)的MRI重建方法時，不僅利用了復(fù)卷積運(yùn)算，還比較了多個適用于復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)的激活函數(shù)對重建精度的影響［21］。

盡管基于復(fù)卷積運(yùn)算、復(fù)激活函數(shù)的深度重建模型避免了實(shí)部和虛部分開訓(xùn)練，提高了重建精度，但損失函數(shù)仍采用均方誤差（MSE）或平均絕對值誤差（MAE），本質(zhì)上還是對實(shí)部和虛部進(jìn)行了分離。因此，如何設(shè)計一種適用于復(fù)數(shù)的損失函數(shù)是一個值得進(jìn)一步討論的問題。一方面，對于并行磁共振成像的重建問題，由于涉及多線圈數(shù)據(jù)，已有方法或者在訓(xùn)練前，或者在訓(xùn)練后，通過“平方和”方法將多線性圈數(shù)據(jù)合并成單線圈數(shù)據(jù)。前者在訓(xùn)練前已經(jīng)丟失相位信息，無法直接利用已采樣的多線圈K空間數(shù)據(jù)，只適合于常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊構(gòu)造的深度重建網(wǎng)絡(luò)，重建精度相對更低；而后者的網(wǎng)絡(luò)輸出結(jié)果是多線圈數(shù)據(jù)，要得到最終的圖像還需進(jìn)行合并運(yùn)算，而且這種方法在訓(xùn)練時損失函數(shù)是基于多線圈數(shù)據(jù)計算的，這跟最終需要的合并數(shù)據(jù)之間的損失函數(shù)值并不完全一致。實(shí)際上，訓(xùn)練后再合并的方法會導(dǎo)致訓(xùn)練時顯示的峰值信噪比（PSNR）較高，而合并后PSNR值明顯降低，這是因為合并前是多線圈數(shù)據(jù)，比合并后的單線圈數(shù)據(jù)在數(shù)量上多了c倍（c表示線圈數(shù)量），因此均方誤差值有所降低，導(dǎo)致PSNR值增大。另一方面，已有方法在訓(xùn)練時使用的損失函數(shù)一般是MSE或MAE，前者是誤差平方和的平均數(shù)，而后者是誤差絕對值的平均數(shù)。從統(tǒng)計學(xué)角度，這需要以樣本間的相互獨(dú)立性為前提。對于并行磁共振數(shù)據(jù)，由于不同線圈之間數(shù)據(jù)噪聲并不完全獨(dú)立，利用MSE或MAE作為損失函數(shù)會使估計出的系數(shù)產(chǎn)生一定的偏差，導(dǎo)致重建精度有所降低。

基于以上分析，本文提出了基于一種基于復(fù)值損失函數(shù)的并行磁共振深度重建方法，它相當(dāng)于在傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上增加了一層數(shù)據(jù)合并層，將多線圈數(shù)據(jù)合并成單線圈數(shù)據(jù)，并以合并后的單線圈數(shù)據(jù)計算損失函數(shù)值。該方法既可以充分利用已采樣的多線圈K空間數(shù)據(jù)，又是基于最終需要的合并數(shù)據(jù)計算損失函數(shù)，體現(xiàn)了“端到端”的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計。實(shí)驗表明該方法在定性和定量方面都優(yōu)于已有的類似方法。

1 方法

1.1 已有復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算模塊

已有的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要包括兩個區(qū)別于實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算模塊：復(fù)值卷積運(yùn)算和復(fù)值激活函數(shù)。

由于并行磁共振圖像的自然數(shù)據(jù)格式是復(fù)數(shù)，傳統(tǒng)方法將其實(shí)部和虛部分開作實(shí)卷積運(yùn)算（圖1A）。這種方式?jīng)]有考慮實(shí)部數(shù)據(jù)和虛部之間的耦合性，所以文獻(xiàn)［13］中提出利用復(fù)卷積運(yùn)算（圖1B）替代這種運(yùn)算，復(fù)卷積運(yùn)算在后面的很多文獻(xiàn)［16-17,21］中也被采納。用矩陣符號表示，設(shè)復(fù)數(shù)磁共振圖像用X表示，卷積核為W，它們的實(shí)部分別為Re{X}、Re{W},虛部分別為Im{X}、Im{W}，由于卷積運(yùn)算具有分布律，故可得：

圖1 對多通道復(fù)值圖像的實(shí)部和虛部分別作實(shí)卷積運(yùn)算及整體作復(fù)卷積運(yùn)算的區(qū)別Fig.1 Depiction of real-valued convolution and complex-valued convolution for multichannel complex-valued MR images.A:Convolution operation applied on real and imaginary parts independently.B:Complex convolution.

對于卷積核的初始化問題，由于在深度MRI重建中一般較少使用批量歸一化（Batch normalization），在這種情況下，卷積核這個待訓(xùn)練參數(shù)的初始化對克服梯度消失和梯度爆炸問題顯得尤為重要［13］。為此我們采用文獻(xiàn)［13］中提出的方法，將復(fù)卷積核W的初始化分成兩步：首先假設(shè)W的實(shí)部和虛部是獨(dú)立同分布具有零均值的高斯分布，利用瑞利分布（Rayleigh distribution）對其幅值|W|作初始化；然后利用[-π,π]上的均勻分布初始化W的相位θ，從而得到：

上述瑞利分布中標(biāo)準(zhǔn)差的設(shè)定與激活函數(shù)有關(guān)。若激活函數(shù)選擇ReLU函數(shù)，一般選擇He 初始化規(guī)則［22］，即σ=，其中nin表示MRI圖像的通道數(shù)，即并行MRI中線圈的個數(shù)。

對于激活函數(shù)，在實(shí)值深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最常用的是ReLU函數(shù)，其定義為：

在ReLU函數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，使之適合于復(fù)值數(shù)據(jù)，產(chǎn)生了4 種激活函數(shù)：?ReLU［13］、zReLU［23］、mod ReLU［24］以及心形函數(shù)［15］。?ReLU是ReLU的最直接推廣，它直接對復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部作ReLU運(yùn)算，即：

?ReLU僅在復(fù)平面的第一象限和第三象限上滿足柯西-黎曼方程（即為解析函數(shù)）。與之類似的是zReLU函數(shù)，它在第一象限的值不變，其它象限的值為0，并且它在除了實(shí)軸正半部分和虛軸正半部分外的復(fù)平面上都解析，其定義為：

其中θx表示輸入變量x的相位。

modReLU中包含了一個可訓(xùn)練的參數(shù)b，其定義為：

經(jīng)訓(xùn)練后，b值一般為負(fù)值。這個結(jié)果導(dǎo)致該函數(shù)的函數(shù)值除了在原點(diǎn)處為0外，在一個以圓點(diǎn)為圓心、以|b|的半徑的圓形區(qū)域內(nèi)也為0；而在該區(qū)域外保持相位不變，但幅值增加減少-b。modReLU在整個復(fù)平面上都不解析，為了得到一個解析的激活函數(shù)，Virtue等［15］提出一個心形激活函數(shù)，并用于MRI“指紋成像”中。該函數(shù)保持相位不變，但幅值按一定比例縮小，其定義為：

1.2 復(fù)值損失函數(shù)的構(gòu)造

對于實(shí)值圖像，常用的損失函數(shù)是MSE或MAE。當(dāng)我們把復(fù)值圖像的實(shí)部和虛部串聯(lián)在一起，從而把它看成是實(shí)值數(shù)據(jù)時，已有方法大多選擇MSE作為深度學(xué)習(xí)的損失函數(shù)。令訓(xùn)練樣本的參考圖像為X1,X2,…,XN,其中N表示訓(xùn)練樣本個數(shù)，通過深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)得到的圖像為，它們是在已經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)Θ 的前提下，通過網(wǎng)絡(luò)前向算法得到。為了更新系數(shù)Θ，傳統(tǒng)方法在訓(xùn)練過程中最小化下面的MSE損失函數(shù)：

其中‖· ‖F(xiàn)表示矩陣的F范數(shù)，即所有元素的平方和的算術(shù)平方根。式（8）即為基于MSE的實(shí)部和虛部分開計算的損失函數(shù)。

從統(tǒng)計學(xué)角度看，選擇（8）式為損失函數(shù)的默認(rèn)前提是實(shí)部和虛部上的噪聲是相互獨(dú)立的，相同位置不同線圈上的噪聲也是獨(dú)立同分布的，前都一般認(rèn)為是成立的，但后者不太符合并行MRI圖像的實(shí)際情況。并行MRI圖像在同一像素點(diǎn)上不同線圈的原始信號所帶噪聲是相近的，不能認(rèn)為相互獨(dú)立。同時考慮到我們要重建的是一個幅值圖像及相位信息，因此，可以先將多線圈數(shù)據(jù)按照某種方法合并成單線圈數(shù)據(jù)（一般采用SOS法，即不同線圈幅值的平方和再開方，但這種方法會丟失相位信息），并將式（8）中求和的兩部分分別換成幅值和相位，即：

其中|·|表示對矩陣逐元素求模得到的幅值矩陣，θX表示對矩陣逐元素求相位角得到的相位矩陣，參數(shù)λ用于平衡幅值方差和相位方差數(shù)量級之間的差距。另外，參數(shù)λ還可用于調(diào)節(jié)具體應(yīng)用中幅值和相位重要性之間的差別，比如在MRI重建中，若只需圖像的幅值信息，可設(shè)λ=0。在采用SOS法進(jìn)行合并時，由于此時已經(jīng)丟棄了相位信息，也需設(shè)置λ=0。式（9）即為本文提出的由幅值和相位均方誤差構(gòu)成的復(fù)值損失函數(shù)。

1.3 基于復(fù)值損失函數(shù)的深度重建模型

本文利用上述幾個基本的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊，構(gòu)建一種級聯(lián)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［6,20］。如圖2A所示，網(wǎng)絡(luò)主要由卷積模塊（CNN）（圖2B）、數(shù)據(jù)一致層（DC）（圖2C）以交替方式串聯(lián)而成，稱之為DCCNN網(wǎng)絡(luò)。首先，將欠采樣的K空間數(shù)據(jù)直接做補(bǔ)零重建，得到具有混疊偽影的圖像，并將其作為網(wǎng)絡(luò)的輸入；然后，將其循環(huán)往復(fù)多次通過卷積子塊和數(shù)據(jù)一致層，最終得到重建圖像。

圖2 級聯(lián)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Architecture of the deep cascading CNN.A:The overall design of the network.B:A CNN subnetwork.C:A DC layer of the network.

如圖2A所示，網(wǎng)絡(luò)由nc個模塊以串聯(lián)的方式構(gòu)成，每個模塊由一個卷積子塊（含nd個卷積層）和一個數(shù)據(jù)一致層構(gòu)成。卷積子塊實(shí)際上是一個殘差網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)圖像的殘差特征，因此具有一定的去偽影和去噪的功能。卷積子塊的輸出記為xcnn,它等于該子塊的輸入與學(xué)習(xí)得到的殘差這兩項數(shù)據(jù)之和。隨后連同原始的欠采樣K空間數(shù)據(jù)一同輸入DC層，其輸出xrec等價于求解下面的最小二乘問題：

此時我們將待重建圖像看成是一個向量x，它在欠采樣算子Fu的作用下得到部分K空間數(shù)據(jù)Fux,它要求盡量靠近原始欠采樣數(shù)據(jù)y0，這由（10）式第一項保證，因此這一項又稱為保真項；同時x還不能與上一步CNN子網(wǎng)絡(luò)得到的xcnn偏離太大，因此需要（10）式的第二項來保證，這一項稱為正則化項或先驗項（把網(wǎng)絡(luò)得到的結(jié)果看成先驗信息）；保真項和正則化項的重要程度通過參數(shù)μ來平衡。參數(shù)μ一般根據(jù)經(jīng)驗取值，在深度學(xué)習(xí)的框架下，它也可以看作一個待學(xué)習(xí)的參數(shù)，這也是本文的處理方式。

問題（10）雖然是最小二乘問題，但由于像素點(diǎn)多，導(dǎo)致x的維數(shù)太大，直接求解不太現(xiàn)實(shí)。實(shí)際上，根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)，問題（10）有一個簡單的閉合形式解［6］。令x、xcnn的離散Fourier變換結(jié)果分別為y0、ycnn，最優(yōu)解xrec的離散Fourier變換結(jié)果為y，則有：

其中S表示采樣點(diǎn)位置集合，k表示一個二維采點(diǎn)。求出y后，只需將其作Fourier逆變換即可得DC層的輸出xrec，由此便可得到DC層的運(yùn)算過程，如圖2C所示。

1.4 實(shí)驗數(shù)據(jù)與采樣模式

很多公共數(shù)據(jù)集提供的是實(shí)值MRI圖像，通過對實(shí)值圖像進(jìn)行Fourier變換得到仿真K空間數(shù)據(jù)，這樣得到的數(shù)據(jù)集不太符合實(shí)際。因此，本文采用公共數(shù)據(jù)庫FastMRI［25］來進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗，它提供了未經(jīng)處理的全采樣K空間復(fù)值數(shù)據(jù)。FastMRI包含兩種類型的MRI數(shù)據(jù)：腦部磁共振圖像（Brain MRIs）和膝蓋磁共振圖像（Knee MRIs）。

Brain MRIs使用包括3T Prisma和1.5T Avanto在內(nèi)的11種磁共振機(jī)型獲取了5個臨床位置的腦部MR圖像，并分成了訓(xùn)練、驗證、測試3個數(shù)據(jù)集。每組MR圖像數(shù)據(jù)是一個多切片、多線圈的四維數(shù)組，其中第1維大小表示切片數(shù)量（從10到16不等），第2維大小表示線圈個數(shù)（從4到20不等），后面兩維是圖像的空間尺寸，介于640×320及768×396之間。本文收集訓(xùn)練及測試數(shù)據(jù)時，選取線圈數(shù)量為16的數(shù)據(jù)，對每組這樣的數(shù)據(jù)抽取中間4個切片，并將圖像統(tǒng)一裁剪為320×320，這樣每個訓(xùn)練數(shù)據(jù)的維度尺寸為：(16,320,320)。本文實(shí)驗中一共收集了3334幅這樣的16通道圖像構(gòu)成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，531幅構(gòu)成驗證數(shù)據(jù)集，120幅構(gòu)成測試數(shù)據(jù)集。Brain MRIs中的示例圖像如圖3A所示。

Knee MRIs中的數(shù)據(jù)在3個臨床3T系統(tǒng)（Siemens Magnetom Skyra、Prisma和Biograph mMR）或1個臨床1.5T系統(tǒng)（Siemens Magnetom Aera）中采集，數(shù)據(jù)采集使用15通道膝關(guān)節(jié)線圈陣列和紐約大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床使用的傳統(tǒng)笛卡爾2D TSE協(xié)議。該數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)來自兩個脈沖序列，分別產(chǎn)生帶脂肪抑制和不帶脂肪抑制的冠狀質(zhì)子密度加權(quán)圖像。數(shù)據(jù)采集使用以下序列參數(shù)：回波序列長度4，矩陣大小320×320，平面內(nèi)分辨率0.5 mm×0.5 mm，切片厚度3 mm，切片之間沒有間隙。不同系統(tǒng)有不同的重復(fù)時間（TR）和回波時間（TE），重復(fù)時間2200～3000 ms，回波時間27～34 ms。本文實(shí)驗中使用的膝蓋磁共振圖像維數(shù)尺寸為（15,320,320），訓(xùn)練數(shù)據(jù)集、驗證數(shù)據(jù)集、測試數(shù)據(jù)集中分別包括2519、506、117個樣本。Knee MRIs中的示例圖像如圖3B所示。

本文大部分分實(shí)驗采用現(xiàn)代商業(yè)MRI系統(tǒng)中的等距采樣模式，相位編碼方向為水平方向，欠采樣僅在相位編碼方向上進(jìn)行?？臻g采樣點(diǎn)的位置用一個320×320的mask矩陣來表示，同一組數(shù)據(jù)不同切面采用相同的mask矩陣。利用mask矩陣從全采樣數(shù)據(jù)中回溯性地掩蓋k空間線來執(zhí)行欠采樣操作。利用等距采樣模式的所有實(shí)驗均采用4倍加速，即每隔3條相位編碼線進(jìn)行一次采樣，填充矩陣的一列；同時，中間設(shè)置24條自校準(zhǔn)線，以便應(yīng)用一些并行成像方法。實(shí)驗中所用的mask矩陣如圖3C所示。

圖3 FastMRI中示例圖片及4倍欠采樣等間隔mask矩陣Fig.3 Representative images in FastMRI and equispaced mask with 4-fold acceleration.A:A brain image taken from the FastMRI dataset.B: A knee image taken from the FastMRI dataset.C: An equispaced mask with an acceleration factor of 4.

1.5 評價標(biāo)準(zhǔn)及網(wǎng)絡(luò)超參數(shù)設(shè)定

本文使用峰值信噪比（PSNR）和結(jié)構(gòu)相似指數(shù)（SSIM）［26］來度量網(wǎng)絡(luò)重建圖像與全采樣重建圖像（即參考圖像）之間的區(qū)別。PSNR 是圖像質(zhì)量評價中常用的度量方法之一，其定義為：，其中Xref表示參考圖像，X是待評估圖像，MSE是它們之間的均方誤差。SSIM根據(jù)人類視覺特征評估圖像保真度，計算結(jié)果位于0和1之間，數(shù)值越大，重建結(jié)果越好。需要說明的是，本文方法得到的圖像其背景部分誤差非常小，而其它方法誤差相對更大。但是背景區(qū)域沒有任何圖像信息，其誤差沒有參考價值。為公平起見，本文所有定量結(jié)果僅針對前景區(qū)域，即去除了背景區(qū)域后再計算PSNR值和SSIM值。

在DCCNN 網(wǎng)絡(luò)中，我們將其規(guī)模設(shè)定為：nc=5,nd=5,即一共使用5個CNN子模塊串聯(lián)而成，每個CNN子模塊包含5個二維卷積層，后面緊跟著一個數(shù)據(jù)一致層。每個卷積層中卷積核數(shù)量均設(shè)為32（其參數(shù)數(shù)量相當(dāng)于64個卷積核的實(shí)值卷積層），卷積核為3×3，滑動窗步長為1，每個CNN子模塊中除最后一個卷積層外，都使用由式(4)-(7)定義的某個復(fù)值激活函數(shù)，最后一層不設(shè)置激活函數(shù)。每個CNN子模塊后緊跟一個數(shù)據(jù)一致層，該層中有一個待學(xué)習(xí)的參數(shù)μ（見式(10)），其初始值設(shè)為200。另外，激活函數(shù)ModReLU中也有一個待學(xué)習(xí)參數(shù)b（見式(6)），其初始值設(shè)為0。

網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中使用的優(yōu)化器選擇為Adam，其參數(shù)為：β1=0.9，β2=0.99，初始學(xué)習(xí)率設(shè)為0.001，損失函數(shù)采用本文中式（9）的形式。由于本文實(shí)驗只涉及圖像重建，不涉及與相位相關(guān)的應(yīng)用，因此式（9）中的λ設(shè)為0，即僅以幅值的MSE作為損失函數(shù)。訓(xùn)練過程采用小批量訓(xùn)練策略，批量大小為6，最大訓(xùn)練次數(shù)設(shè)為200，但引入“提前結(jié)束”機(jī)制，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)在驗證集上的表現(xiàn)在近15次內(nèi)都沒有提升時結(jié)束訓(xùn)練。整個訓(xùn)練過程和測試過程均在TensorFlow 2.4平臺下完成，設(shè)備操作系統(tǒng)版本為CentOS Linux release 7.4.1708(Core)，配備12核Intel(R)Xeon(R)Gold 5118 CPU、128 G內(nèi)存及2塊16GB NVIDIAQuadro P5000 GPU。

2 結(jié)果

2.1 不同復(fù)值激活函數(shù)的實(shí)驗結(jié)果

表1給出了4個不同激活函數(shù)分別在腦部數(shù)據(jù)和膝部數(shù)據(jù)下的性能表現(xiàn)，表中給出了以不同激活函數(shù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)后，對測試數(shù)據(jù)集進(jìn)行重建得到的數(shù)值均值及方差。從表1中可以看出，modReLU在兩個測試集上的數(shù)值結(jié)果都是最優(yōu)的，其次是cardioid和CReLU，而zReLU表現(xiàn)最差，幾乎與直接補(bǔ)零重建的結(jié)果相同。除去zReLU的相關(guān)結(jié)果，最好的modReLU的結(jié)果比最差的CReLU其PSNR值一般高出2 dB左右，SSIM值略高0.01～0.05。由于modReLU的良好表現(xiàn)，后續(xù)實(shí)驗中我們將不加說明地一直使用該激活函數(shù)。

表1 不同復(fù)值激活函數(shù)的性能比較Table 1 Performance comparison of different complex-valued activation functions

2.2 復(fù)值損失函數(shù)實(shí)驗結(jié)果

為評價本文提出的復(fù)值損失函數(shù)對提高重建精度的作用，我們選擇3 種性能較好的類似方進(jìn)行比較：SPIRiT、使用平均絕對值誤差作為損失函數(shù)的DCCNN（記為L1-DCCNN）、使用均方誤差作為損失函數(shù)的DCCNN（記為L2-DCCNN），本文的方法記為Mag_DCCNN。圖4給出了4種方法對于120組腦部數(shù)據(jù)的定量重建結(jié)果，兩幅子圖的橫軸均為測試數(shù)據(jù)集中的樣本序號，縱軸分別為各樣本的PSNR 值和SSIM值。SPIRiT作為一種傳統(tǒng)的有效方法，其結(jié)果僅作參考，基于深度網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的重建方法一般都優(yōu)于傳統(tǒng)方法，從圖中也可以明顯看出這點(diǎn)。L1-DCCNN已有相關(guān)研究［20］，文獻(xiàn)中的結(jié)論已經(jīng)證明它是當(dāng)前最好的模型之一。從圖4中可以看出，本文提出的以幅值MSE作為損失函數(shù)的方法可以比使用一般損失函數(shù)的方法提高精度1 dB左右。

圖4 在腦部測試數(shù)據(jù)集上的定量結(jié)果比較Fig.4 Quantitative comparison of the proposed method with other existing state-of-art methods for reconstruction of brain MRI test dedaset. A: PSNR curves for different reconstruction methods. B: SSIM curves for different reconstruction methods.

圖5給出其中一組腦部測試數(shù)據(jù)在4倍欠采樣下的定性重建結(jié)果，從圖中可以看出，3種基于深度學(xué)習(xí)的方法得到的重建結(jié)果均優(yōu)于傳統(tǒng)SPIRiT 方法，Mag_DCCNN給出了精度最高的重建結(jié)果。從圖像上看，SPIRiT 方法得到的結(jié)果存在明顯的噪聲，而L1-DCCNN和L2-DCCNN的結(jié)果上還殘留了一些混疊偽影。從定量結(jié)果看，L1-DCCNN和L2-DCCNN的重建結(jié)果相似，其PSNR值分別為35.76 dB、35.62 dB，而利用Mag_DCCNN 方法得到的重建結(jié)果其PSNR 值為36.68 dB；L1-DCCNN 和L2-DCCNN 的重建結(jié)果的SSIM值均為0.93，而利用Mag_DCCNN方法得到的重建結(jié)果其SSIM值為0.94。

圖5 一組腦部試數(shù)據(jù)經(jīng)4倍等間隔采樣后的重建結(jié)果比較，圖像下面顯示的是PSNR/SSIM值Fig.5 Comparison of reconstruction results using different methods for a brain test dataset with equispaced sampling and an undersampling factor of 4.PSNR and SSIM values are given below the images.

圖6給出其中一組膝部測試數(shù)據(jù)的定性重建結(jié)果，和腦部數(shù)據(jù)實(shí)驗結(jié)果類似，本文提出的Mag_DCCNN方法可以從大量的離線數(shù)據(jù)集中學(xué)習(xí)有價值的先驗信息，然后對不同MR數(shù)據(jù)進(jìn)行高質(zhì)量的在線圖像重建，重建出更多、更清晰的細(xì)節(jié)。從圖片下面的定量結(jié)果可以看出，本文提出的Mag_DCCNN方法在PSNR上可以提升1 dB左右，而SSIM僅略微提升。

圖6 一組膝部試數(shù)據(jù)經(jīng)4倍等間隔采樣后的重建結(jié)果比較，圖像下面顯示的是PSNR/SSIM值Fig.6 Comparison of reconstructions using different methods on a knee test dataset with equispaced sampling and an undersampling factor of 4.PSNR and SSIM values are given below the images.

為了驗證本文所提方法在高欠采樣倍數(shù)下的有效性，我們在采樣倍數(shù)設(shè)為8的情況下進(jìn)行了腦部數(shù)據(jù)的相關(guān)實(shí)驗。由于在高欠采樣倍數(shù)下，補(bǔ)零重建中含有較嚴(yán)重的混疊偽影，包含SPIRiT在內(nèi)的傳統(tǒng)并行成像方法無法有效去除因欠采樣造成的混疊偽影。因此，此實(shí)驗中我們不再與SPIRiT方法相比，僅比較其它3種方法。為了同時驗證方法在不同采樣模式下的性能表現(xiàn)，此實(shí)驗采用二維隨機(jī)欠采樣的模式（圖7第1排第2幅子圖）。從圖7的結(jié)果可以看出，3種方法均能有效去除混疊偽影。下方顯示的定量結(jié)果表明，即使去除沒有實(shí)際意義的背景部分，本文所提出的Mag_DCCNN得到的重建結(jié)果其PSNR 值仍然比L1-DCCNN 和L2-DCCNN的PSNR值略高0.6 dB左右，顯示出Mag_DCCNN方法略高的重建精度。

圖7 一組腦部試數(shù)據(jù)經(jīng)8倍隨機(jī)欠采樣后的重建結(jié)果比較，圖像下面顯示的是PSNR/SSIM值Fig.7 Comparison of reconstructions using different methods on a brain test dataset with 2D random sampling and an undersampling factor of 8.PSNR and SSIM values are given below the images.

2.3 主要參數(shù)的設(shè)置

文中涉及的主要參數(shù)都是參考已有文獻(xiàn)進(jìn)行設(shè)置。在網(wǎng)絡(luò)的深度方面，我們根據(jù)文獻(xiàn)［6］的研究結(jié)果，雖然提高網(wǎng)絡(luò)的深度有助于精確重建，但考慮到nc＞5、nd＞5 時，訓(xùn)練過程中的內(nèi)存需求高，同時重建精度提高的幅度明顯減弱，因此我們將網(wǎng)絡(luò)深度確定為nc=5、nd=5，即整個網(wǎng)絡(luò)包括5個卷積模塊，每個卷積模塊包含5個卷積層，后面緊跟一個數(shù)據(jù)一致層。卷積層里的超參數(shù)完全按照常規(guī)設(shè)置，卷積核大小為3×3，滑動窗步長為1，卷積核數(shù)量的設(shè)置主要還是基于性能和訓(xùn)練難度方面的考慮，設(shè)置為32。由于是復(fù)卷積核，其實(shí)際參數(shù)的規(guī)模相當(dāng)于64個卷積核的實(shí)值卷積層。在數(shù)據(jù)一致層中，其計算框架來源于問題（10）的最小二乘求解算法，其中的參數(shù)μ雖然是一個可學(xué)習(xí)的參數(shù)，但最后結(jié)果顯示，經(jīng)訓(xùn)練之后的μ值變化較小，個別層中幾乎相等。這個現(xiàn)象說明μ值初始設(shè)置有可能會像壓縮感知中的迭代算法一樣，在一定程度上影響重建精度。為此，我們針對腦部數(shù)據(jù)在不同μ初始值的情況下進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗，實(shí)驗結(jié)果如圖8所示。結(jié)果表明，當(dāng)μ初始值在一個較大范圍內(nèi)變化時（10～300），結(jié)果的變化并不明顯，只是μ初始值過小或過大時，會導(dǎo)致訓(xùn)練提前結(jié)束，使得重建結(jié)果稍微更差。

圖8 數(shù)據(jù)一致層中參數(shù)μ 的初始設(shè)置對網(wǎng)絡(luò)性能的影響Fig.8 Network performance with different values ofμin data consistency layer using brain dataset.

3 討論

MRI圖像信號包含實(shí)部和虛部這兩部分的信號，它們分別帶有均值為0，方差相同且獨(dú)立的加性高斯白噪聲。但實(shí)際中使用的并不是其實(shí)部或虛部，而是其幅值函數(shù)，因此MRI圖像噪聲呈Rician分布［27］，在低信噪比位置近似服從瑞利分布，在高信噪比位置近似服從正態(tài)分布。已有的基于深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)重建的方法往往對復(fù)值多線圈數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部在線圈維度上進(jìn)行拼接，視為多通道數(shù)據(jù)，其通道數(shù)是線圈數(shù)的2倍，并以MSE作為損失函數(shù)。從統(tǒng)計學(xué)的角度，這相當(dāng)于使用了正態(tài)分布的極大似然估計，而這需要以樣本間的相互獨(dú)立假設(shè)為前提。但是，正如前面所述，同一像素點(diǎn)的實(shí)部和虛部上的噪聲一般認(rèn)為是相互獨(dú)立，但同一像素點(diǎn)不同線圈之間的噪聲一般不是相互獨(dú)立。因此，理論上，以MSE作為損失函數(shù)的傳統(tǒng)方法對單線圈數(shù)據(jù)是可適用的，但對多線圈數(shù)據(jù)并不適用。

為了解決上述問題，本文針對多線圈數(shù)據(jù)，提出了一個新的基于幅值和相位均方誤差和為損失函數(shù)的圖像重建方法。首先，我們按某種方法（如常用的SOS法）將多線圈數(shù)據(jù)合并成單線圈幅值數(shù)據(jù)，以消除不同線圈噪聲間的相關(guān)性，并以此為訓(xùn)練時的標(biāo)簽；同時考慮到在一些應(yīng)用中相位信息的重要性，因此將損失函數(shù)定義為幅值與相位均方誤差的和，并用一個參數(shù)平衡它們之間的大小。當(dāng)我們只需要圖像時，可以將此參數(shù)設(shè)為0；當(dāng)我們只需相位時，可以將其設(shè)置為一個充分大的數(shù)。在具體實(shí)現(xiàn)時，需要在現(xiàn)有的深度學(xué)習(xí)平臺上重新定義損失函數(shù)，當(dāng)然也可以在網(wǎng)絡(luò)的最后加上一個合并層。合并方法可以采用Walsh等［28］得出的特征向量法（保留相位信息），也可以使用SOS法（丟棄相位），同時將標(biāo)簽數(shù)據(jù)也按同樣的方法進(jìn)行合并，這樣可以方便地使用現(xiàn)有的深度學(xué)習(xí)平臺，如TensorFlow、Pytorch等。實(shí)驗結(jié)果表明，這種方法是有效的，當(dāng)把平衡參數(shù)設(shè)為0時，相比于使用常規(guī)損失函數(shù)，本文提出的方法可以得到精度更高的重建圖像。對于涉及相位信息的應(yīng)用時，此時平衡參數(shù)不能設(shè)為0，這方面的研究我們將在后續(xù)開展。

實(shí)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般采用ReLU函數(shù)作為激活函數(shù)，即便是采用復(fù)卷積的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，有些文獻(xiàn)［20］也使用了這類實(shí)值函數(shù)。為了適合復(fù)數(shù)運(yùn)算，有研究者提出在復(fù)卷積中使用一些復(fù)激活函數(shù)，包括：等。關(guān)于不同復(fù)值激活函數(shù)的表現(xiàn)，文獻(xiàn)［21］在使用平均絕對值誤差（文中稱L1損失函數(shù)）作為訓(xùn)練時的損失函數(shù)的前提下，得出的結(jié)論是：?ReLU表現(xiàn)最好，modReLU表現(xiàn)最差，我們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論與本文的結(jié)果剛好相反。根據(jù)本文實(shí)驗結(jié)果，在卷積層使用mod ReLU作為激活函數(shù)得到的圖像不管在PSNR或SSIM方面都是最好的。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是多方面的，但一個重要的原因可能是本文和文獻(xiàn)［21］使用了不同的損失函數(shù)，文獻(xiàn)［21］的損失函數(shù)是實(shí)部和虛部的MAE之和，而本文采用新提出的幅值MSE作為損失函數(shù)。modReLU實(shí)際上可以看作是作用在幅值上的ReLU函數(shù)，因而它可能更適合于本文的情形。當(dāng)然，除了損失函數(shù)，這種相反的結(jié)果還可能與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、訓(xùn)練數(shù)據(jù)等因素相關(guān)。不管怎樣，兩種結(jié)果都反映出一個事實(shí)，那就是激活函數(shù)對重建結(jié)果的影響是不可忽視的，關(guān)于具體如何影響重建精度還有待于深入研究。

本文在實(shí)驗中利用的是真實(shí)的腦部和膝部MRI數(shù)據(jù)，相比于已有文獻(xiàn)中多數(shù)采用的仿真數(shù)據(jù)，真實(shí)數(shù)據(jù)的噪聲有明顯的不同。數(shù)據(jù)仿真的過程實(shí)際上就是對每個線圈上的數(shù)據(jù)，加入獨(dú)立同分布的高斯噪聲。仿真數(shù)據(jù)的噪聲在實(shí)部和虛部之間、不同線圈之間都是相互獨(dú)立的，因此用MSE作為損失函數(shù)可以對相關(guān)參數(shù)得到很好的估計，從而重建出質(zhì)量較好的圖像。而真實(shí)數(shù)據(jù)的噪聲比這復(fù)雜得多，分布的類型、獨(dú)立性都跟仿真數(shù)據(jù)有較大區(qū)別。本文的方法用于真實(shí)數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果無論是定性方面還是定量方面，都要優(yōu)于之前的以MSE或MAE為損失函數(shù)方法，說明本文所得出的方法更適合于真實(shí)數(shù)據(jù)。

需要指出的是，本文所采用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中含卷積層，需要事先給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)的通道數(shù)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的每個數(shù)據(jù)樣本都必須具有相同的通道數(shù)。因此，具有不同線圈數(shù)（即通道數(shù)）的腦部數(shù)據(jù)和膝部數(shù)據(jù)無法放在一起訓(xùn)練，在其中一個數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)也無法應(yīng)用于其它數(shù)據(jù)集，這是本文方法的一個局限性。當(dāng)然，這同時涉及有關(guān)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展性方面的研究，已超出本文的研究范圍。

綜上所述，本文從統(tǒng)計學(xué)角度出發(fā)，指出了已有方法的損失函數(shù)可能與多線圈MR數(shù)據(jù)噪聲類型不匹配的問題，并針對這個問題，提出了一種簡單、可行的處理方法，即先將多線圈數(shù)據(jù)按照某種方法合并成單線圈數(shù)據(jù)，然后再以幅值及相位的均方誤差為損失函數(shù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。合并方法可以選擇常規(guī)的SOS方法，也可以使用保留相位信息的其他方法。在真實(shí)的腦部及膝部數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗表明這種簡單的處理方式是有效的，不管從定性還是定量方面，使用本文提出的方法均優(yōu)于具有類似結(jié)構(gòu)的用MSE或MAE作為損失函數(shù)的相關(guān)方法。