面向大規(guī)模定制的改進型AEWMAQ控制圖應用研究

權政，趙玲玲，徐濱，樊樹海

(1.南京工業(yè)大學工業(yè)工程系，江蘇南京 210009;2.MIT Quality Information Program “Data Quality & Info Security” Lab.,Cambridge MA,USA)

0 前言

質量是企業(yè)的立足之本，是良好聲譽的保障。大規(guī)模生產模式中，通過大批量生產某一產品而獲得規(guī)模效益。這種生產模式能夠產生大量的質量數(shù)據(jù)，質量控制圖的繪制較為方便且可操作性強。然而，大規(guī)模定制生產模式中，由于單一產品生產的批量小，采用抽樣的方法無法獲取足夠的質量數(shù)據(jù)，因此無法繪制質量控制圖。

質量控制圖由休哈特博士[1]于1928年提出，現(xiàn)階段使用最多的是Xbar-R控制圖。針對數(shù)據(jù)源不足的問題，楊旭等人[2]將樣本均值、極差與總體均值、極差獨立，實現(xiàn)小樣本控制限穩(wěn)定，降低了誤發(fā)警報概率；苗瑞等人[3]利用概率積分變換理論，使質量特征值轉化為標準正態(tài)分布而不受控于樣本的μ、σ；劉祚時等[4]通過建立零件族與利用歷史數(shù)據(jù)增加樣本量，給出歷史、實時數(shù)據(jù)的標準化方法，實現(xiàn)小批量生產監(jiān)控；陳鑫和陳富民[5]引用貝葉斯理論，根據(jù)質量特征數(shù)據(jù)實時計算控制限，實現(xiàn)對生產過程的動態(tài)控制；宋承軒和吉衛(wèi)喜[6]將Xbar-s與EWMA控制圖聯(lián)合監(jiān)控，解決小規(guī)模數(shù)據(jù)對微小變化靈敏度不足的問題。趙玲玲等[7]提出EWMAQ控制圖，減少了對源數(shù)據(jù)的需求量，對微小偏移也更加靈敏。

上述研究在一定程度上解決了大規(guī)模定制下質量監(jiān)控問題，但未關注參數(shù)未知情況下相似產品質量數(shù)據(jù)標準化的方法以及控制圖對微小、中等和較大偏移監(jiān)測能力較差的問題。ROBERTS[8]于1959年提出指數(shù)加權移動平均控制圖(Exponentially Weighted Moving Average,EWMA)，較休哈特控制圖對微小偏移靈敏性高[9]。CAPIZZI和MASAROTTO[10]提出自適應EWMA控制圖(AEWMA)，解決了常規(guī) EWMA 控制圖對中等和較大偏移不敏感的局限性問題。

本文作者針對上述問題，在產品族的基礎上提出基于Q統(tǒng)計量的改進型AEWMA控制圖，對大規(guī)模定制下產品生產過程進行質量監(jiān)控，具有良好的效果。

1 基本理論

1.1 Q統(tǒng)計量

現(xiàn)有生產模式中，單一產品產生的質量特征值無相似性信息，沒有建立休哈特控制圖的條件。為此，DEL CASTILLO和QUESENBERRY提出Q統(tǒng)計量[11]，并給出正態(tài)分布下參數(shù)已知以及一個或兩個參數(shù)未知情況下Q統(tǒng)計量的計算方法。事實上，控制圖具有識別過程參數(shù)值異常的能力，Q控制圖則對異常的監(jiān)控更靈敏。如果將Q統(tǒng)計量繪制在控制限為±3σ的控制圖上，就能較準確地知道當過程穩(wěn)定且參數(shù)μ與σ為常數(shù)時預測點的趨勢。

Q統(tǒng)計量要求樣本特征值服從穩(wěn)定的正態(tài)分布，即假設平均值和標準差是常數(shù)。這些統(tǒng)計量都具有正態(tài)或近似正態(tài)分布和近似獨立特性，該方法利用t分布減少監(jiān)控過程質量對于數(shù)據(jù)量的需求，且可較少地受控于樣本量和樣本分布的限制，能夠較好地適應大規(guī)模定制所產生的數(shù)據(jù)量較少以及無可參考歷史信息的情況。其通過公式(1)(2)進行轉換：

ht=Gv(wt)

(1)

Qt=φ-1(ht)

(2)

式中:Gv(·)為服從自由度為v的t分布函數(shù)；φ-1(·)表示標準正態(tài)分布的反函數(shù)。統(tǒng)計量wt通過分布函數(shù)Gv轉換為統(tǒng)計量ht，再通過標準正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)轉換為Q統(tǒng)計量。

不同參數(shù)條件下的轉換公式如表1所示，其中：μ表示分布均值；σ表示標準差；n表示子組大?。籱表示樣本量。在不同參數(shù)的情況，通過t分布函數(shù)、標準正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)Φ-1、χ卡方分布函數(shù)、F分布函數(shù)進行Q統(tǒng)計量轉換。

表1 不同μ與σ參數(shù)條件下Q統(tǒng)計量轉換公式

1.2 AEWMA

Shewhart控制圖能夠較準確地反映質量參數(shù)值的實際情況，具有一定的方便性與實用性。但是其靈敏度低，對微小偏移反應遲緩，無法及時發(fā)現(xiàn)異常值。

EWMA控制圖較Shewhart控制圖對微小偏移靈敏性高。EWMA統(tǒng)計模型如下：

(3)

Mt=Mt-1+Φ(et)

(4)

其中：M0=0；et=ˉXt-Mt-1為預測偏移量;Φ(·)為關于et的分段函數(shù)。

式中:λ∈(0,1];γ>0。當λ=1或γ→0時，AEWMA統(tǒng)計量退化為Shewhart統(tǒng)計量;當γ→∞時，Φ(et)=λet，Mt退化成EWMA統(tǒng)計量。AEWMA控制圖實際上是Shewhart和EWMA控制圖的平滑組合。確定控制圖設計參數(shù)后，參數(shù)λ與γ為常量。為保證控制圖的性能[12]，通常取0.1≤λ≤0.4、1.5σx≤γ≤3σx。

設v(t)=Φ(et)/et為等效平滑系數(shù)，v(t)隨預測值et的變化而變化。當|et|增大時，v(t)隨之增大，當|et|≤γ時，v(t)=λ。則AEWMA統(tǒng)計量表達式改寫為

(5)

根據(jù)樣本的均值與標準差，可得控制圖的上控制限fUCL=μ0+L·σ0，下控制限fLCL=μ0-L·σ0。

2 基于產品族的改進型AEWMAQ控制圖

基于上述理論，本文作者提出基于產品族的改進型AEWMAQ(Adaptive Exponentially Weighted Moving Average on Q-statistics)控制圖。單一產品質量參數(shù)值存在數(shù)量不足以及無可參考歷史信息的情況，通過相似元、成組技術等[13-16]理論形成相似產品的產品族。引用Q統(tǒng)計量對質量參數(shù)值進行標準化，為后續(xù)質量控制圖的繪制創(chuàng)造條件。標準化后數(shù)據(jù)的方差獨立于實際過程方差，并可使過程保持穩(wěn)定。過程方差的變化可以轉化為標準化后的數(shù)據(jù)在均值上的變化，它相較于未處理的數(shù)據(jù)具有穩(wěn)定性和準確性的優(yōu)勢。與一般質量控制圖相比，改進型AEWMAQ控制圖能夠更加準確、靈敏地對質量問題進行監(jiān)控。通過Minitab對質量控制圖進行仿真，提升了便捷性與準確性。在大規(guī)模定制的背景下，產品質量特征值數(shù)量較少，并且在實際生產過程中，其μ與σ通常是未知的。針對μ與σ未知的情況，給出Q統(tǒng)計量實時標準化具體步驟。樣本數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 樣本數(shù)據(jù)

假設參數(shù)Xij～N(μ,σ2)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，則樣本的均值為

(6)

(7)

樣本的方差為

(8)

(9)

(10)

由于存在未知參數(shù)σ，引入卡方分布將其消除：

(11)

通過t分布，構造出不含未知參數(shù)的變量T：

(12)

變量T服從自由度為m(n-1)的t分布。為解決因為自由度的不同而使控制限不斷變化的問題，求解變量T的概率密度積分h。求解過程如下：

(13)

根據(jù)概率積分變換定理,將變量T轉換為Q統(tǒng)計量：

Q(xi)=φ-1(h)～N(0,1)

(14)

樣本數(shù)據(jù)通過Q統(tǒng)計量標準化后，相應的AEWMA理論模型轉化為

(15)

Φ(et)的表達式為

Φγ(et)=

本文作者提出的基于產品族的改進型AEWMAQ控制圖，解決了源數(shù)據(jù)的處理問題，與Shewhart、EWMA控制圖相比具有明顯的優(yōu)越性。其使用步驟如圖1所示。

圖1 控制圖使用步驟

3 改進型AEWMAQ控制圖應用案例

3.1 控制對象的選取

以凈水器的水路板生產為例。水路板是凈水器的核心物件之一，對凈水器的整體質量起決定性作用。水路板由標準模具注塑而成，其質量受注塑時間、溫度、環(huán)境等多種因素的影響，若直接測量水路板的力學性能，不僅會耗費額外的人力和物力，也會影響生產節(jié)拍。初步檢測水路板的質量問題可采用稱量其質量的方法，這種檢驗方法省時、簡單、易操作。

大規(guī)模定制生產模式下，單一產品多為小批量生產，因此利用成組技術形成關于相似產品的產品族，收集相似產品的質量特征數(shù)據(jù)。

3.2 源數(shù)據(jù)處理

分別取AOS-S0010、AOS-S0016和AOS-S0030 三種相似型號水路板各35個質量參數(shù)值。

生產活動中，常常根據(jù)相對觀測時間間隔來劃分子組。子組大小n取4或5最適宜。表3所示為Q統(tǒng)計量標準化后的實驗數(shù)據(jù)(n=5)。

表3 Q統(tǒng)計量標準化后的數(shù)據(jù)(n=5)

3.3 AEWMA控制圖

將Q統(tǒng)計量標準化后的數(shù)據(jù)進行自適應移動加權平均處理，結果如表4所示。

表4 自適應移動加權平均處理結果

中心線為

由于樣本量較少，樣本的方差采用移動極差平均值的方法估計：

(16)

式中：n表示參數(shù)數(shù)量；w表示移動極差長度，文中仿真移動極差長度取2；ε=1.128，為無偏常量。文中取最常見的L=3,以確定控制圖的上下限。

控制上限：

控制下限：

圖2所示為數(shù)據(jù)經過Q統(tǒng)計量標準化后建立的改進型AEWMA控制圖。可見：樣本多點靠近控制限，由此判斷生產過程發(fā)生異常。

圖2 改進型AEWMAQ控制圖 圖3 Q統(tǒng)計量標準化后的EWMA控制圖

使用Q統(tǒng)計量標準化后的數(shù)據(jù)建立EWMA控制圖作為對照組，標準化后的EWMA控制圖處于穩(wěn)定狀態(tài)，如圖3所示。

3.4 控制圖評價

利用Q統(tǒng)計量對質量參數(shù)值標準化，并通過Minitab軟件分別繪制改進型AEWMA控制圖與EWMA控制圖。由控制圖的對比可以看出，兩種控制圖的總體趨勢保持一致，但AEWMA控制圖明顯對中等、較大偏移更靈敏、準確性更高。

此例中EWMA控制圖處于穩(wěn)定狀態(tài)，但是改進型AEWMA控制圖有5個點位于±2σ與±3σ之間，靠近控制限。因此，控制圖判異。該生產過程出現(xiàn)了異常，需要解決異常以后才能繼續(xù)進行生產。

4 結束語

針對大規(guī)模定制下單一產品數(shù)據(jù)源不足的問題，引入Q統(tǒng)計量方法，對相似產品的關鍵質量參數(shù)值進行標準化處理。創(chuàng)新性地將Q統(tǒng)計量與自適應移動加權平均控制圖聯(lián)合應用，并對自適應移動加權平均模型進行改進。該方法有效解決了傳統(tǒng)控制圖與EWMA控制圖的不足，實現(xiàn)了對大規(guī)模定制下產品質量的監(jiān)控。文中給出的AEWMAQ控制圖的使用步驟具有一定的實際應用價值。