基于模糊熵的組合混沌映射及其性能

張雪鋒，惠嘉珺，范九倫

(西安郵電大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，陜西 西安 710121)

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展，越來越多的數(shù)字信息在互聯(lián)網(wǎng)上傳播。傳輸?shù)男畔⒅型脩綦[私甚至機密信息等需要保密的信息，如果這些私密信息被非法獲取，可能會造成嚴重的安全問題。在傳輸和存儲過程中，如何保證數(shù)字信息的內(nèi)容不被非授權(quán)訪問或惡意篡改，成為亟需解決的問題。

使用傳統(tǒng)的加密方式，如數(shù)據(jù)加密標準(Data Encryption Standard,DES)，高級加密標準(Advanced Encryption Standard,AES)對數(shù)據(jù)加密時，存在效率低、實用性差等問題[1]。混沌是一種非線性動力學(xué)系統(tǒng)，具有初值敏感性、遍歷性、不可預(yù)測性和偽隨機性等特性[2]。這些特性使得混沌映射在應(yīng)用于加密算法時具有良好的雪崩效應(yīng)、安全性和更大的密鑰空間[3]。正是由于混沌的這些特性，使得混沌系統(tǒng)被越來越廣泛地應(yīng)用于數(shù)字信息的保密中。

應(yīng)用于加密算法中的混沌系統(tǒng)可以分為一維混沌映射和高維混沌映射兩類[4]。相對而言，高維混沌映射的結(jié)構(gòu)復(fù)雜、參數(shù)較多，保密效果較好[5-8]。然而，多個參數(shù)增加了高維混沌映射實現(xiàn)的難度和計算復(fù)雜度。一維混沌系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、計算速度快，易于實現(xiàn)[9-12]。但是，經(jīng)典的一維混沌映射的保密效果相對較差，比如，某些混沌系統(tǒng)的混沌區(qū)間具有有限性或不連續(xù)性，當受到外界因素干擾時，混沌特性容易被破壞，使得其混沌軌跡易于被預(yù)測，保密效果有待提高。

作為一個經(jīng)典的一維混沌映射，Logistic混沌映射[13]由于其結(jié)構(gòu)簡單、計算方便，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)字信息加密領(lǐng)域中。但是，其存在密鑰空間小、復(fù)雜度和安全性較低等缺點，使得相關(guān)的加密算法容易被破譯。

針對一維Logistic混沌映射在應(yīng)用時存在的密鑰空間小、安全性差等問題，文獻[14]提出了一種改進的Logistic混沌映射，該映射將全映射參數(shù)和混沌參數(shù)的范圍與原始映射相乘任意β次。將修改后的映射應(yīng)用于加密算法后，密鑰空間和密鑰的敏感性均得到增強。但是，該映射的分岔圖存在窗口，混沌狀態(tài)較差。另外，該映射的Lyapunov指數(shù)(Lyapunov Exponent,LE)較小，混沌行為不夠復(fù)雜。文獻[15]提出了一種新的一維正弦(One-Dimensional Sine Powered,1DSP)混沌映射。受到正弦映射的啟發(fā)，1DSP映射將結(jié)構(gòu)擴展到包括兩個控制參數(shù)，同時保持單一維度。性能分析表明，與其他一維混沌映射相比，1DSP混沌映射具有較好的混沌行為和較大的控制參數(shù)區(qū)間。但是，1DSP映射的分岔圖窗口較大，進入混沌狀態(tài)的控制參數(shù)區(qū)間較小，并且初值敏感性較差。文獻[16]提出了一種基于余弦對正弦分數(shù)的一維混沌系統(tǒng)(One-Dimensional Chaotic System,1-DFCS)，該系統(tǒng)存在復(fù)雜的混沌行為和較高的初值敏感性，但是，其產(chǎn)生的混沌序列隨機性較差。混沌系統(tǒng)的混沌行為不夠復(fù)雜、初值敏感性和隨機性較差，在應(yīng)用于加密算法時混沌軌跡容易被預(yù)測，難以保證加密的安全性。

針對一維混沌映射存在的密鑰空間小、混沌行為簡單等問題，本文擬提出一種基于模糊熵和Logistic映射的一維混沌映射(One-Dimensional Chaotic Mapping Based on Fuzzy Entropy and Logistic,1DFL)。將模糊熵的基本函數(shù)和Logistic映射相結(jié)合，增大系統(tǒng)的控制參數(shù)，進行取模運算生成新的一維混沌映射，從而擴大混沌區(qū)間，提升初值敏感性，生成隨機性較好的混沌序列。

1 預(yù)備知識

1.1 Logistic映射

Logistic映射的數(shù)學(xué)定義式[13]可以表示為

xi+1=μ·xi(1-xo)

(1)

式中：系統(tǒng)參數(shù)μ∈[0,4]；xi∈[0,1]。

當3.569 9…<μ≤4時，Logistic映射的Lyapunov指數(shù)μ>0，表明系統(tǒng)進入穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，產(chǎn)生的混沌序列分布在(0,1)區(qū)間中。

由于Logistic映射結(jié)構(gòu)簡單、計算方便，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于保密通信的各個領(lǐng)域。但是，Logistic映射存在隨機性差、密鑰空間小，安全性差等問題。

1.2 1DSP映射

2020年Mansouri A等人提出了一種一維混沌1DSP映射[15]，其數(shù)學(xué)定義式為

xi+1=(xi(α+1))sin(βπ+xi)

(2)

式中：xi(α+1)用于生成狀態(tài)值的遞增值；指數(shù)sin(βπ+xi)使用正弦函數(shù)形式，以避免指數(shù)值增加，限制1DSP映射的輸出；系統(tǒng)控制參數(shù)α>0，β∈[0,1]。

與Logistic映射相比，1DSP映射增加了控制參數(shù)個數(shù)，擴大了控制參數(shù)范圍，使得1DSP映射不太容易預(yù)測，混沌性能較復(fù)雜。但是，1DSP映射分岔圖的窗口較大，進入混沌狀態(tài)的控制參數(shù)區(qū)間范圍依然較小，并且初值敏感性仍然較差。

1.3 1DFCS映射

2021年Midoun M等人提出了一種基于余弦對正弦分數(shù)的一維混沌系統(tǒng)1DFCS映射[16],其數(shù)學(xué)定義式為

(3)

式中，系統(tǒng)參數(shù)α>0。

1.4 模糊熵

熵是模糊變量的一個重要的數(shù)字特征，用來衡量模糊變量的不確定性，是處理模糊信息的重要工具[17]。模糊集用來描述元素無法明確界定是否屬于給定集合的集合類。模糊熵描述了一個模糊集的模糊性程度。

構(gòu)成模糊集A的模糊熵的一個基本函數(shù)形式[17]為

xi+1=μA(xi)e1-μA(xi)+(1-μA(xi))eμA(xi)

(4)

其中：xi+1為模糊熵；μA(xi)是模糊集A的一個函數(shù)。

2 基于模糊熵的組合混沌映射

觀察Logistic映射的基本公式xi+1=μ·xi·(1-xi)和模糊集X函數(shù)的定義式xn·(1-xn)可以發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的特點都是在x=0和x=1時值為0，在x=1/2時值最大且均為上凸函數(shù)，因此，可以考慮將二者組合起來，在Logistic映射和模糊熵基本函數(shù)式(4)的基礎(chǔ)上，提出一種一維組合混沌映射，通過增大控制參數(shù)和增加模運算使得映射的序列分布更加均勻，提出的一維映射1DFL可以表示為

xi+1=(μ(xie1-xi+(1-xi)exi)modt)

(5)

式中：xi∈[0,t]；系統(tǒng)參數(shù)μ的取值范圍為(-∞,0)∪(0.8,+∞)；系統(tǒng)參數(shù)t的取值范圍為[1,30]。

接下來，將進行仿真，分析提出的1DFL混沌映射的混沌區(qū)間、遍歷性和初值敏感性等性能。

3 性能分析

為了分析本文所提1DFL映射的性能，采用MATLAB軟件對所提映射的對該映射的分岔圖、Lyapunov指數(shù)、相關(guān)性和初值敏感性等性能進行仿真，并與經(jīng)典Logistic映射、文獻[15]的1DSP映射以及文獻[16]的1DFCS映射進行比較。

3.1 分岔圖

分岔是指系統(tǒng)參數(shù)小而連續(xù)的變化，結(jié)果造成系統(tǒng)本質(zhì)或是拓撲結(jié)構(gòu)的突然改變。映射的分岔特性反映了映射的軌跡特征[18]。Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種的分岔圖仿真結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯觯啾绕渌?種映射，提出的1DFL混沌映射的軌道分離速度更快，分岔點分布情況更為復(fù)雜，說明1DFL映射的混沌性能優(yōu)于其它3種映射。這是因為，1DFL混沌映射產(chǎn)生分岔時，對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)μ的取值范圍比Logistic映射、1DSP映射和1DFCS映射的參數(shù)取值范圍更大，因此，產(chǎn)生混沌序列的隨機性更好。在加密算法中，使用1DFL混沌映射進行加密具有更好的安全性。

圖1 4種映射的分岔圖仿真結(jié)果

3.2 Lyapunov指數(shù)

初始狀態(tài)的敏感性是混沌行為最明顯的特征之一[18]。Lyapunov指數(shù)可以定量描述映射對初始狀態(tài)的敏感性，其描述了一個混沌系統(tǒng)的吸引子中相鄰軌道間發(fā)散或者是收斂的物理量，是判斷一個動力系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)的重要標志[18]。

Lyapunov指數(shù)為正值，表示混沌映射的軌跡在每個單位時間內(nèi)發(fā)散，并隨著時間的增加演化為完全不同的軌跡。因此，如果一個混沌映射的Lyapunov指數(shù)為正，則表示該映射呈混沌狀態(tài)，Lyapunov指數(shù)越大，意味著映射軌跡的分叉越快，混沌行為越明顯[18]。

Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的Lyapunov指數(shù)仿真結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯觯琇ogistic映射的混沌區(qū)間較小，進入混沌后狀態(tài)不穩(wěn)定。1DSP映射和1DFCS映射雖然具有較大的混沌區(qū)間，但是，其混沌狀態(tài)不穩(wěn)定。提出的1DFL映射不僅具有更大的混沌區(qū)間，并且系統(tǒng)能更快地進入混沌狀態(tài)，進入混沌后系統(tǒng)的混沌狀態(tài)也更加穩(wěn)定。

圖2 4種映射的Lyapunov指數(shù)仿真結(jié)果

3.3 序列分布

序列分布在一定程度上能夠反映混沌映射輸出的隨機性[19]。如果一個混沌映射的序列分布占有較大的相空間，則表明其具有良好的隨機輸出性和更好的遍歷性，從而具有更好的安全性能。Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的序列分布仿真結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，Logistic映射、1DSP映射和1DFCS映射在相空間存在明顯的局部聚集，并且1DSP映射和1DFCS映射遍歷性較差，而提出的1DFL映射的在相空間內(nèi)滿足近似均勻分布，且相空間更大。

圖3 4種映射的序列分布仿真結(jié)果

3.4 自相關(guān)性

自相關(guān)性在一定程度上可以反映混沌系統(tǒng)的隨機性，自相關(guān)系數(shù)值與步長有關(guān)，自相關(guān)系數(shù)越接近于0，表明映射產(chǎn)生的二值序列的隨機性越好，混沌映射就具有越好的自相關(guān)性[13]。

Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的自相關(guān)性仿真結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯敳介L不等于0時，提出1DFL映射產(chǎn)生的二值序列的自相關(guān)系數(shù)接近0，與其他3種映射相比無明顯差別，說明4種映射產(chǎn)生二值序列的自相關(guān)性性能基本相同。

圖4 4種映射的自相關(guān)性仿真結(jié)果

3.5 互相關(guān)性

互相關(guān)性在一定程度上可以反映混沌系統(tǒng)的隨機性，互相關(guān)函數(shù)的取值越接近0，說明兩個序列越互不相關(guān)，差異程度越大，混沌映射的隨機性就越好[13]。

Logistic、1DSP、1DFCS、1DFL映射的互相關(guān)性分析如圖5所示。可以看出，1DFL映射產(chǎn)生的序列相關(guān)性與其他映射的生成序列相關(guān)性基本相同。

圖5 4種映射的互相關(guān)性仿真結(jié)果

3.6 初值敏感性

初值敏感性描述了初始條件下的微小變化經(jīng)過一定次數(shù)的迭代所產(chǎn)生的明顯偏差的明顯程度。初值敏感性反映了系統(tǒng)的復(fù)雜性和不可預(yù)測性。初值敏感性越高，混沌系統(tǒng)的性能越好[20]。

設(shè)定序列的初始值為0.4，對初始值作1×10-12的微小改變，Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的初值敏感性仿真結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，初始值改變后，提出的1DFL映射在3次迭代后發(fā)散，1DFCS映射在4次迭代后發(fā)散，而Logistic映射和1DSP映射在20次內(nèi)迭代無發(fā)散，說明提出的1DFL映射的初值敏感性較好，當應(yīng)用于加密算法中時，算法的安全性較高。

圖6 4種映射的初值敏感性仿真結(jié)果

(續(xù))圖6 4種映射的初值敏感性仿真結(jié)果

3.7 分叉迭代次數(shù)

分叉迭代次數(shù)是指混沌映射對應(yīng)兩個不同初始值所產(chǎn)生的混沌序列，在給定分叉判斷閾值后，將產(chǎn)生的混沌序列作差得到分叉迭代次數(shù)[21]。序列的分叉迭代次數(shù)越小，說明映射序列分叉的速度越快，混沌狀態(tài)就越穩(wěn)定[21]。

在[0,1]區(qū)間內(nèi)，依次選取10 000個采樣點，給定分叉判斷閾值分別為0.2、0.4和0.6，逐次計算相鄰點之間所需要的分叉迭代次數(shù)，取平均值得到平均分叉迭代次數(shù)。4種映射產(chǎn)生分叉所需的平均迭代次數(shù)如表1所示?？梢钥闯?，1DFL映射所需的平均迭代次數(shù)明顯小于其他3種映射，說明1DFL映射分叉的速度快于其他3種映射。在加密過程中，與其他3種映射相比，1DFL映射能夠較快地進入穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，安全性更好。

表1 4種映射產(chǎn)生分叉所需的平均迭代次數(shù)

4 結(jié)語

以模糊熵和經(jīng)典Logistic映射為基礎(chǔ)，提出了一種基于模糊熵的組合混沌映射1DFL。該映射主要以模糊熵的基本函數(shù)與Logistic映射作為種子映射，然后通過增大控制參數(shù)和取模運算，使得混沌序列均勻分布。仿真結(jié)果表明，與其它映射相比，1DFL映射擴大了控制參數(shù)，改善了混沌區(qū)間小、混沌區(qū)間不連續(xù)、初值敏感性和隨機性差等問題，混沌性能較好。下一步的研究重點是，將所提出的1DFL混沌映射應(yīng)用于加密算法中，在不降低安全性的前提下提高計算效率。