一類半線性退化Schr?dinger方程的無(wú)窮多大能量解的存在性①

冉 玲，陳尚杰，李 麟

重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；經(jīng)濟(jì)社會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067

本文主要研究半線性退化Schr?dinger方程

(1)

無(wú)窮多大能量解的存在性，其中N≥2，Δγ是退化橢圓算子，形式如下：

并且，函數(shù)γj滿足文獻(xiàn)[1]中相關(guān)結(jié)論的所有條件，退化算子Δγ包含Gru?in型算子

Gα=Δx+|x|2αΔyα≥0

其中(x，y)表示RN1×RN2中的點(diǎn)． 文獻(xiàn)[2]研究了α是整數(shù)的情況，文獻(xiàn)[3-4]研究了α不是整數(shù)的情況． Δγ算子還包含強(qiáng)退化算子

Pα，β=Δx+Δy+|x|2α|y|2βΔz(x，y，z)∈RN1×RN2×RN3

其中α，β是非負(fù)常數(shù)． 文獻(xiàn)[5]研究了算子Pα，β． 關(guān)于Δγ算子的更多信息可參見文獻(xiàn)[1]．

當(dāng)μ=0時(shí)，文獻(xiàn)[6]利用變分法研究了半線性Δγ橢圓型偏微分方程(1)的無(wú)窮多解的存在性，其中方程(1)的位勢(shì)V(x)是強(qiáng)制位勢(shì)，并且方程(1)的非線性項(xiàng)f(x，u)滿足文獻(xiàn)[7]中的局部Ambrosetti-Rabinowitz增長(zhǎng)條件． 另外，利用變分法還可以解決其他方程解的存在性問題，見文獻(xiàn)[8-10]．

基于上述結(jié)果，本文研究半線性退化Schr?dinger方程(1)的無(wú)窮多解的存在性，其中方程(1)的非線性項(xiàng)是凹凸的． 為了研究方程(1)，我們做如下假設(shè)：

|f(x，z)|≤c0(|z|+|z|p-1)?(x，z)∈RN×R

(f3) 存在常數(shù)L0>0，θ>2以及c1≥0，使得

zf(x，z)-θF(x，z)+c1|z|2≥0 ?(x，|z|)∈RN×[L0，+∞)

(f4)f(x，-z)=-f(x，z)(?(x，z)∈RN×R)．

|g(x，z)|≤h1(x)|z|q1-1+h2(x)|z|q2-1?(x，z)∈RN×R

(g2)g(x，-z)=-g(x，z)(?(x，z)∈RN×R)．

定理1假設(shè)條件(V1)，(f1)-(f4)，(g1)和(g2)成立． 則存在常數(shù)μ0>0，使得當(dāng)|μ|≤μ0時(shí)，方程(1)有無(wú)窮多個(gè)大能量解．

注1據(jù)我們所知，定理1首次研究了在RN上具有凹凸非線性項(xiàng)的半線性Δγ橢圓型偏微分方程的無(wú)窮多個(gè)能量解． 另外，值得一提的是，文獻(xiàn)[11]運(yùn)用噴泉定理得到了RN中的有界域上的具有凹凸非線性項(xiàng)的半線性Δγ橢圓型偏微分方程無(wú)窮多個(gè)高能量解的存在性．

定義函數(shù)空間

令

|u|q≤dq‖u‖

(2)

其中Lq(RN)表示勒貝格空間，在Lq(RN)上的范數(shù)記作|·|q．

(3)

從條件(f4)和(g2)可知J(u)是偶函數(shù)，并且滿足J(0)=0． 同時(shí)J是一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且

(4)

(5)

因此，由(2)式以及H?lder不等式，可得

(6)

(7)

又根據(jù)J(un)>0，有

(8)

因此，由(3)，(7)以及(8)式，可得

這結(jié)論與(5)式矛盾．

根據(jù)文獻(xiàn)[12]的引理2.5，選擇整數(shù)m≥1，使得

(9)

引理2設(shè)條件(V1)，(g1)和(f1)成立，則存在正常數(shù)μ0，ρ，α，滿足當(dāng)|μ|≤μ0時(shí)，J(u)|{u∈W：‖u‖=ρ}≥α．

因此，由(3)，(6)，(9)式以及1

其中

當(dāng)t≥0時(shí)，令

顯然存在常數(shù)00． 選擇‖u‖=t0=ρ，可得

根據(jù)條件(f1)以及p>2，可知

|f(x，z)z|≤c0(|z|2+|z|p)≤2c0|z|2?(x，|z|)∈RN×[0，1]

再次用條件(f1)，存在常數(shù)M>0，滿足

|f(x，z)z|≤c0(|z|2+|z|p)≤M≤M|z|2?(x，|z|)∈RN×[1，L0]

因此，可得

|f(x，z)z|≤(M+2c0)|z|2?(x，|z|)∈RN×[0，L0]

(10)

(11)

根據(jù)(10)和(11)式，有

(12)

(13)

(14)