基于Copula函數(shù)模型的圓柱滾子軸承旋轉(zhuǎn)精度分析

魏建波，朱建新，滿維偉

(中國航發(fā)湖南動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002)

0 引言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中極為重要的支承構(gòu)件，其旋轉(zhuǎn)精度是影響整個(gè)設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)精度和可靠性的重要因素。軸承在加工過程中不可避免地產(chǎn)生各種尺寸誤差，進(jìn)而影響軸承的旋轉(zhuǎn)精度，其中滾子存在直徑誤差時(shí)會(huì)顯著降低軸承旋轉(zhuǎn)精度，因此開展軸承滾子直徑誤差與軸承旋轉(zhuǎn)精度的相關(guān)性研究，對(duì)提高軸承生產(chǎn)質(zhì)量具有重要意義。

Copula函數(shù)理論廣泛應(yīng)用于水文、金融等各項(xiàng)領(lǐng)域中。近年來眾多學(xué)者在各項(xiàng)領(lǐng)域進(jìn)行深入研究：沈小軍等[1]基于Copula函數(shù)理論建立風(fēng)電機(jī)組間風(fēng)速相關(guān)性計(jì)算方法，并針對(duì)某一地區(qū)的運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行了案例分析。吳建華等[2]分析了Copula函數(shù)選擇的難點(diǎn)，提出了基于參數(shù)Bootstrap技術(shù)的對(duì)數(shù)似然準(zhǔn)則檢驗(yàn)方法，并利用模擬實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了該方法的有效性。張蕾等[3]研究了基于Copula函數(shù)的抗剪強(qiáng)度參數(shù)聯(lián)合分布模型對(duì)巖土結(jié)構(gòu)物系統(tǒng)可靠性的影響規(guī)律，揭示了抗剪強(qiáng)度參數(shù)間相關(guān)結(jié)構(gòu)對(duì)巖土結(jié)構(gòu)物系統(tǒng)可靠度影響的過程。尤琦英等[4]分析了不同Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)法對(duì)函數(shù)類型選擇及對(duì)河流年徑流遭遇豐枯期的影響。指出極大似然估計(jì)法的擬合結(jié)果略優(yōu)于Kendall系數(shù)估計(jì)法，但兩種參數(shù)估計(jì)方法針對(duì)Copula函數(shù)類型選擇都是可行的。李玉敦等[5]基于Copula函數(shù)和馬爾科夫過程理論，提出了一種多維時(shí)序風(fēng)速相依模型及該模型的兩階段蒙特卡洛模擬方法。張堯庭[6]討論了Copula函數(shù)在金融市場分析方面的應(yīng)用前景。史道濟(jì)等[7]分析了滬深股票市場間的相關(guān)性。國外學(xué)者提出了兩階段極大似然估計(jì)法來進(jìn)行二元Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)[8-9]。ENGLE等[10]提出了一種用樣本經(jīng)驗(yàn)分布代替邊際分布函數(shù)值的半?yún)?shù)估計(jì)法?？梢奀opula函數(shù)在分析變量間的非線性相關(guān)性方面，具有一定的基礎(chǔ)和優(yōu)勢(shì)，但是目前將Copula函數(shù)用于研究軸承旋轉(zhuǎn)精度的文章還少見報(bào)道。

本文以圓柱滾子軸承為例，利用Copula函數(shù)這一有力手段來研究滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)之間的關(guān)系，并建立了數(shù)學(xué)分析模型，并對(duì)模型的合理性進(jìn)行了驗(yàn)證。利用建立的數(shù)學(xué)模型計(jì)算了兩者間的相依性條件概率，為深入研究軸承元件尺寸誤差與軸承旋轉(zhuǎn)精度的關(guān)系，提供了新的研究思路。

1 特征變量的獲取與分析

將軸承中其中兩個(gè)相鄰滾子的直徑尺寸誤差和軸承徑向跳動(dòng)數(shù)據(jù)作為研究變量。根據(jù)對(duì)滾子尺寸檢測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，用正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成兩組滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)，并分別記為w1、w2。以w1、w2為輸入條件，獲得相應(yīng)的軸承徑向跳動(dòng)數(shù)據(jù)s。由仿真程序得到的各特征變量參數(shù)如表1所示。

表1 特征變量的邊緣分布參數(shù)

利用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)法[11](以下簡稱K-S檢驗(yàn)法)對(duì)各特征變量的邊緣分布函數(shù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)。結(jié)果如表2所示。

表2 Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗(yàn)中的D值

由上表可知的各特征變量的D值均不大于0.215，伴隨概率P均不小于0.05，所以可以認(rèn)為三組特征變量均符合正態(tài)分布。

2 模型的優(yōu)選、建立及驗(yàn)證

Copula函數(shù)的模型具有多種多樣的類型，本文將從常用的5種Copula函數(shù)中優(yōu)選出最適宜的模型。優(yōu)選依據(jù)為不同類型Copula函數(shù)的均方根誤差[12]，優(yōu)選結(jié)果分別如表3和表4所示。

表3 5種模型的均方根誤差(1號(hào)滾子)

表4 5種模型的均方根誤差(2號(hào)滾子)

由上表可知，Gumbel-Copula函數(shù)誤差最小，為本文最優(yōu)的建模選擇。

根據(jù)Copula函數(shù)相關(guān)理論，只要已知特征變量的連接函數(shù)及各自的邊緣分布函數(shù)即可建立出相應(yīng)的函數(shù)模型：

(1)

式中，u(w)、v(s)為邊緣分布；θ為建模參數(shù)。

通過對(duì)比計(jì)算模型的經(jīng)驗(yàn)累積概率值和理論累積概率值的相關(guān)性來驗(yàn)證模型的合理性。

由仿真程序計(jì)算得出兩特征變量的相關(guān)系數(shù)分別為0.982和0.981，顯示了兩者間的顯著相關(guān)性，表明了模型的合理性。

3 相關(guān)性分析

本文分別計(jì)算了基于樣本數(shù)據(jù)的Kendall系數(shù)τ、基于Copula函數(shù)的Kendall系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρn來對(duì)比分析表征變量間的相關(guān)性。

由表1可知，生成的兩組滾子直徑誤差數(shù)據(jù)中，兩者的均值相當(dāng)，但第二組數(shù)據(jù)的方差更小，結(jié)合表5分析可得到以下結(jié)論：

表5 1,2號(hào)滾子存在誤差時(shí)特征變量間的秩相關(guān)系數(shù)τ

(1)滾子直徑尺寸誤差值與軸承徑向跳動(dòng)量之間存在顯著的相關(guān)性。當(dāng)兩個(gè)相鄰滾子的尺寸誤差具有不同的均值與方差時(shí)，兩個(gè)滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)分別為0.511 7、0.637 3。

(2)滾子直徑尺寸誤差數(shù)據(jù)組方差的大小不僅代表著滾子誤差數(shù)據(jù)的集中與分散，也表征了該組數(shù)據(jù)與軸承徑向跳動(dòng)相關(guān)系數(shù)的大小。

由上述結(jié)果可得：滾子尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)相關(guān)性較強(qiáng)；Copula函數(shù)能較好的分析特征變量間的相關(guān)性。

4 基于Copula函數(shù)的條件概率計(jì)算

當(dāng)軸承零部件存在一定尺寸誤差時(shí)，軸承徑向跳動(dòng)的變化是未知的，但通過Copula函數(shù)可以對(duì)軸承徑向跳動(dòng)超出值的概率進(jìn)行預(yù)測(cè)；同理在軸承旋轉(zhuǎn)精度即跳動(dòng)一定時(shí)，也可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軸承滾子誤差的超出概率。下面對(duì)基于Sklar定理建立的Copula函數(shù)條件概率計(jì)算方法進(jìn)行介紹：

在二維Copula函數(shù)中，設(shè)F(x1,x2)=P(X1≤x1,X2≤x2)=C(u,v)，對(duì)于條件概率，可以通過Copula函數(shù)獲得在X1=x1條件下，事件X2≤x2的條件概率為：

F(X2≤x2|X1=x1)=P(X2≤x2|X1=x1)=

(2)

用式(1)所示Gumbel-Copula函數(shù)，進(jìn)行基于Copula函數(shù)的條件概率預(yù)測(cè)。設(shè)定軸承滾子尺寸誤差為0.01 mm～0.1 mm，間距為0.01 mm，分別計(jì)算軸承徑向跳動(dòng)大于0.03 mm、0.05 mm、0.07 mm的超出概率；同理設(shè)定軸承徑向跳動(dòng)為0.01 mm～0.1 mm，間距為0.01 mm，分別計(jì)算W1組滾子尺寸誤差大于0.03 mm、0.05 mm、0.07 mm的超出概率，計(jì)算結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 軸承徑向跳動(dòng)不變時(shí)基于Gumbel-Copula函數(shù)的1號(hào)滾子尺寸誤差超出概率

圖2 1號(hào)滾子誤差不變時(shí)基于Gumbel-Copula函數(shù)的軸承徑向跳動(dòng)超出概率

可以得出：

(1)當(dāng)軸承滾子的尺寸誤差逐漸增大時(shí)，基于Gumbel-Copula函數(shù)條件概率下的軸承滾子尺寸誤差超出概率不斷減小。

(2)同一滾子尺寸誤差下，軸承徑向跳動(dòng)越小，滾子尺寸誤差的超出概率越??；軸承徑向跳動(dòng)越大，滾子尺寸誤差的超出概率越大。變化趨勢(shì)線均呈非線性。

(3)當(dāng)軸承滾子尺寸誤差不變時(shí)，軸承徑向跳動(dòng)的超出概率隨軸承徑向跳動(dòng)超出值的增大不斷減小。

同理，針對(duì)W2組滾子做相同處理，計(jì)算結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 軸承徑向跳動(dòng)不變時(shí)基于Gumbel-Copula函數(shù)的2號(hào)滾子尺寸誤差超出概率

圖4 2號(hào)滾子誤差不變時(shí)基于Gumbel-Copula函數(shù)的軸承徑向跳動(dòng)超出概率

對(duì)比圖1與圖3，圖2與圖4，得出：

(1)在不同的Gumbel-Copula函數(shù)建模參數(shù)、滾子尺寸誤差分布特征下，基于Gumbel-Copula函數(shù)的條件概率曲線呈現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì)；

(2)方差越小，滾子尺寸誤差超出概率的減小趨勢(shì)更為陡峭；但隨著尺寸誤差的增大到0.07 mm后，滾子的尺寸誤差超出概率均逐步趨近于0，即滾子尺寸誤差分布的特征參數(shù)對(duì)條件概率值有一定影響。

5 結(jié)論

(1)Copula函數(shù)可以作為研究軸承旋轉(zhuǎn)精度的有效手段，但不同類型的Copula函數(shù)對(duì)相同數(shù)據(jù)間相依性的評(píng)估結(jié)果有明顯差別，需要進(jìn)行擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)，選出最優(yōu)的Copula函數(shù)模型。

(2)滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的相關(guān)性較強(qiáng)。滾子尺寸誤差數(shù)據(jù)分布的特征參數(shù)會(huì)影響滾子直徑尺寸誤差與軸承徑向跳動(dòng)的秩相關(guān)系數(shù)。

(3)通過Gumbel-Copula函數(shù)能較為地準(zhǔn)確分析軸承徑向跳動(dòng)與滾子尺寸誤差之間的相關(guān)性。

通過Gumbel-Copula函數(shù)進(jìn)行條件概率分析，可以合理選擇一定直徑尺寸范圍內(nèi)的滾子進(jìn)行裝配，有利于保證軸承的旋轉(zhuǎn)精度。