一類微分差分方程的解與其位移分擔(dān)值的唯一性

麥澤坤，劉志學(xué)

(北京郵電大學(xué) 理學(xué)院 北京 100876)

1 引言與主要結(jié)果

微分差分方程在物理，生物，經(jīng)濟(jì)，金融等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。近些年，隨著復(fù)域方程以及Nevanlinna理論差分模擬的發(fā)展，微分差分方程引起了許多學(xué)者的關(guān)注[2-8]。徐玲等[9]研究了Fermat型微分差分方程的整函數(shù)解,他們得到

定理A設(shè)c為非零復(fù)數(shù)，p(z)為非零多項(xiàng)式。則Fermat型微分差分方程

f′(z)2+f(z+c)2=p(z)

的任意整函數(shù)解必形如

其中p(z)≡p1(z)p2(z)，p1(z)和p2(z)均為多項(xiàng)式，而且p(z)和h(z)僅滿足下面兩種情況之一：

(ⅱ)如果h(z)為非常數(shù)的整函數(shù)，那么h(z):≡±iz+B，且c=kπ，k為任意整數(shù)。

1992年Quispel，Capel和Sahadevan[10]研究得到Kac-Van Moerbeke微分差分方程

可退化為

w(z)[w(z+1)-w(z-1)]+aw′(z)=bw(z)

此后許多研究工作均在此方程的基礎(chǔ)上展開。Halburd和Korhonen[11]研究了一類微分差分方程解的存在性，他們得到

定理B假設(shè)f(z)為方程

(1.1)

的超越亞純解，其中a(z)為有理函數(shù)，P(z,f(z))和Q(z,f(z))為f(z)的多項(xiàng)式，系數(shù)為z的有理函數(shù)，且R(z,f(z))為f(z)的不可約有理函數(shù)。若ρ2(f)<1，則有

degw(P)=degw(Q)+1≤3

或者

degw(R)≤1。

張然然和黃志波[12]研究了方程(1.1)的整函數(shù)解存在的條件以及整函數(shù)解的性質(zhì)，得到：

定理C假設(shè)方程(1.1)存在超越整函數(shù)解f(z)滿足ρ2(f)<1，R(z,f(z))為f(z)的不可約有理函數(shù)，則方程(1.1)退化為

或者

其中a0(z),a1(z),a2(z)為有理函數(shù)。

在本文中,我們將研究以下方程

(1.2)

的亞純解的唯一性。

亞純函數(shù)的唯一性理論是復(fù)分析的重要研究方向，主要研究亞純函數(shù)在涉及分擔(dān)值情形下是否唯一[13]。為了方便敘述,我們先介紹IM分擔(dān)值和CM分擔(dān)值的定義。

定義1.1設(shè)f(z)和g(z)為兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，a為復(fù)平面上任意復(fù)數(shù)。若f(z)-a與g(z)-a具有相同的零點(diǎn)集，則稱f(z)和g(z)IM分擔(dān)值a；若f(z)與g(z)具有相同的極點(diǎn)集，則稱f(z)和g(z)IM分擔(dān)值∞。

定義1.2設(shè)f(z)和g(z)為兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，a為復(fù)平面上任意復(fù)數(shù)。若f(z)-a與g(z)-a的零點(diǎn)相同，且每個(gè)零點(diǎn)的重?cái)?shù)相同，則稱f(z)和g(z)CM分擔(dān)值a；若f(z)與g(z)的極點(diǎn)相同，且每個(gè)極點(diǎn)的重?cái)?shù)相同，則稱f(z)和g(z)CM分擔(dān)值∞。

1926年，Nevanlinna通過引入亞純函數(shù)的特征函數(shù)概念，建立了第一基本定理和第二基本定理，同時(shí)得到了以下唯一性理論中的經(jīng)典結(jié)果。

定理D(五值定理[14])設(shè)f和g為兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，ai(i=1,2,3,4,5)為擴(kuò)充復(fù)平面中5個(gè)互相判別的復(fù)數(shù)。若f和gIM分擔(dān)ai，則在整個(gè)復(fù)平面上有f≡g。

定理E(四值定理[15])設(shè)f和g為兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，ai(i=1,2,3,4)為擴(kuò)充復(fù)平面中4個(gè)互相判別的復(fù)數(shù)。若f和gCM分擔(dān)ai，則在整個(gè)復(fù)平面上有f≡g，或者f是g的M?bius變換。

李玉華和喬建永[16]研究了亞純函數(shù)分擔(dān)5個(gè)小函數(shù)的情形，對(duì)Nevanlinna五值定理做了精確拓廣。Laine和Korhonen[17]等人研究了亞純函數(shù)與其位移在涉及分擔(dān)值情形下的唯一性，結(jié)論如下所示：

定理F設(shè)f(z)為有限級(jí)亞純函數(shù)，a1、a2、a3是關(guān)于f(z)的三個(gè)不同的周期為c的小函數(shù)。如果f(z)與f(z+c)CM分擔(dān)a1、a2，IM分擔(dān)a3，則在整個(gè)復(fù)平面上有f(z)≡f(z+c)。

本文考慮方程(1.2)的有限級(jí)超越亞純解與其平移分擔(dān)值的唯一性問題，并得到了下面的定理：

定理1.1假設(shè)f(z)為方程(1.2)的有限級(jí)超越亞純解，α(z)、β(z)為非常數(shù)有理函數(shù)。當(dāng)f(z)與f(z+c)CM分擔(dān)a1、a2時(shí)(a1、a2∈{0})，如果f(z)只有有限多個(gè)零點(diǎn)或者f(z)有無限多個(gè)零點(diǎn)且均為單零點(diǎn)，則f(z)≡f(z+c)。

推論1.1假設(shè)f(z)為方程(1.2)的有限級(jí)超越亞純解，α(z),β(z)為非常數(shù)有理函數(shù)。當(dāng)f(z)與f(z+c)CM分擔(dān)a1、∞時(shí)(a1∈{0})，如果f(z)只有有限多個(gè)零點(diǎn)或者f(z)有無限多個(gè)零點(diǎn)且均為單零點(diǎn)，則f(z)≡f(z+c)。

定理1.2假設(shè)f(z)為方程(1.2)的有限級(jí)超越整函數(shù)解，α(z)(α(z)?0),β(z)為有理函數(shù)。如果f(z)與f(z+c)CM分擔(dān)a1(a1∈{0})，則f(z)≡f(z+c)。

2 重要引理和基本記號(hào)

引理2.1([18])假設(shè)f(z)為一個(gè)有窮級(jí)亞純函數(shù)，則對(duì)于任意c∈{0}，有

引理2.2([2])設(shè)c∈，f(z)是一個(gè)亞純函數(shù)，ρ(f)<∞并且Δcf(z)?0。設(shè)q≥2，亞純函數(shù)a1(z),…,aq(z)是f(z)不同的周期為c的小函數(shù)，即

max{T(r,a1),…,T(r,aq)}=o(T(r,f))=S(r,f)

滿足ak∈S(f),k=1,…,q,則有

其中Npair(r,f)=2N(r,f)-N(r,Δcf)+N(r,1/Δcf),Δcf=f(z+c)-f(z)。

引理2.3([18])假設(shè)f(z)為一個(gè)有限級(jí)亞純函數(shù)，c為一個(gè)非零實(shí)數(shù)，則f(z)滿足

T(r,f(z+c))=T(r,f(z))+S(r,f),

N(r,f(z+c))=N(r,f(z))+S(r,f)

引理2.4([19])設(shè)h(z)為非常數(shù)亞純函數(shù)滿足

令f=a0hp+a1hp-1+…+ap,g=b0hq+b1hq-1+…+bc為h(z)的多項(xiàng)式，系數(shù)a0,a1,…,ap,b0,b1,…,bq為h(z)的小函數(shù)，滿足a0b0ap?0。如果q≤p，則有

3 定理的證明

3.1 定理1.1的證明

假設(shè)f(z)?f(z+c)，由條件f(z)只有有限多個(gè)零點(diǎn)或者f(z)有無限多個(gè)零點(diǎn)且均為單零點(diǎn)，分類討論。

情形1f(z)有無窮多個(gè)單零點(diǎn)時(shí)，定義

E*={z|f(z)=0}{{z|α(z)=0,∞}∪{z|β(z)=0,∞}}

(3.1)

將任意z0∈E*代入方程(1.2)有

可以看出則z=z0+1和z=z0-1中至少有一個(gè)為f(z)的極點(diǎn)。

(ⅰ)若z=z0+1和z=z0-1均為f(z)的極點(diǎn)，則代入方程(1.2)有

從上式中可以看出z=z0+2和z=z0-2也為f(z)的極點(diǎn)。不難得出在充分大時(shí)有

結(jié)合(3.1)式有

(3.2)

利用引理2.2有

(3.3)

由分擔(dān)值條件f(z)與f(z+c)CM分擔(dān)a1,a2可知，當(dāng)f(z)分別取a1,a2時(shí)，f(z+c)也分別取a1,a2，且重?cái)?shù)相同。而f(z+c)-f(z)還可能有除去a1,a2以外的其他零點(diǎn)，所以

(3.4)

由(3.3)式和(3.4)式，結(jié)合引理2.3整理得

(3.5)

通過(3.2)式有T(r,f)

(ⅱ)：若z=z0+1和z=z0-1中一個(gè)為f(z)的極點(diǎn)，不失一般性，我們假設(shè)z=z0+1為f(z)的極點(diǎn)(z=z0-1為f(z)的極點(diǎn)的情況類似)，則將z=z0+1代入方程(1.2)可知z=z0+2為f(z)的極點(diǎn)，由此可以得出在r充分大時(shí)有

由(3.1)式有

(3.6)

結(jié)合(3.5)式有T(r,f)

情形2f(z)只有有限多個(gè)零點(diǎn)，可以得到在r→∞時(shí)，

通過前面的證明，結(jié)合(3.5)式有T(r,f)=S(r,f)，顯然是矛盾的。

3.2 推論1.1的證明

假設(shè)f(z)?f(z+c)。由定理1.1的證明可知方程(1.2)的有限級(jí)超越亞純解的零點(diǎn)數(shù)量滿足(3.2)式和(3.6)式，即在r充分大時(shí)有

(3.7)

(3.8)

通過分擔(dān)值條件可以得到，g(z)與g(z+c)CM分擔(dān)0,1/a1。當(dāng)g(z)分別取0,1/a1時(shí),g(z+c)也分別取0,1/a1且重?cái)?shù)相同。而g(z+c)-g(z)還可能有除去0,1/a1以外的其他零點(diǎn)，所以有

(3.9)

由(3.8)式和(3.9)式，結(jié)合引理2.3和引理2.4整理得

T(r,g)≤N(r,g)+S(r,g)

所以N(r,g)=T(r,g)+S(r,g)，由第一基本定理，即有

結(jié)合(3.7)式，在r充分大時(shí)，有T(r,f)

3.3 定理1.2的證明

假設(shè)f(z)?f(z+c)。因?yàn)閒(z)為方程(1.2)整函數(shù)解，則由之前的討論可知f(z)的零點(diǎn)有限，即在r充分大時(shí)，f(z)滿足

由f(z)與f(z+c)CM分擔(dān)a1可知，存在多項(xiàng)式H(z)使得

(3.10)接下來對(duì)eH(z)分類討論。

情形1若eH(z)≡1，則證得f(z)≡f(z+c)。

情形2若eH(z)?1，H(z)為常數(shù)，則由(3.10)式有

eH(z)f(z)-f(z+c)=a1eH(z)-a1

整理得

對(duì)等式兩邊求其均值函數(shù),有

(3.11)

情形三：若H(z)為非零多項(xiàng)式，則利用引理2.4可知

通過(3.11)式有