淺談大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽心得

◎陳 劭

(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，北京 100083)

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)模型求解問(wèn)題，是當(dāng)代解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段.

目前，中國(guó)比較認(rèn)可的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽主要有“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(簡(jiǎn)稱國(guó)賽)、美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(簡(jiǎn)稱美賽)、華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽、數(shù)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等.特別是前兩個(gè)競(jìng)賽，參與的大學(xué)生團(tuán)隊(duì)非常多，含金量也比較高.高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是全國(guó)高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)之一，該競(jìng)賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，九月舉行，是首批列入高校學(xué)科競(jìng)賽排行榜的19項(xiàng)競(jìng)賽之一.美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，由美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)主辦，是唯一的國(guó)際性數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，也是世界范圍內(nèi)最具影響力的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽.我多次參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，有校級(jí)的、國(guó)家級(jí)的，也有國(guó)際級(jí)的，都獲得了好成績(jī).這里我就自己的參與經(jīng)歷，淺談大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的心得.

一、建模前期準(zhǔn)備

良好的開(kāi)端，等于成功的一半，建模前期準(zhǔn)備工作的充分與否，直接影響后續(xù)建模的成敗.準(zhǔn)備工作主要有以下兩個(gè)方面：

(一)隊(duì)友選擇

一個(gè)好的團(tuán)隊(duì)，他們的凝聚力、戰(zhàn)斗力勢(shì)必非常強(qiáng)大.選擇隊(duì)友的面很廣，可以是你相同專業(yè)的同班級(jí)同學(xué)，也可以是不同班級(jí)不同專業(yè)甚至是不同年級(jí)的同學(xué)，只要是同一個(gè)學(xué)校的都可以自由組合.聯(lián)系的渠道很多，原來(lái)認(rèn)識(shí)的同學(xué)，可以直接溝通探討，不認(rèn)識(shí)的同學(xué)也可通過(guò)在一些公共社群發(fā)出招賢合作信息，例如在學(xué)校的數(shù)學(xué)建模群(大學(xué)里面一般都會(huì)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模的群)里投發(fā)自己的意愿，招納合作人士.在建模組隊(duì)、選擇合作伙伴時(shí)，要注意：

1.隊(duì)友要有高度責(zé)任感.這是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽非常關(guān)鍵的因素.建模是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)合作的項(xiàng)目，必須同心同德，不可出現(xiàn)責(zé)任不強(qiáng)或者想搭便車的人.

2.組隊(duì)時(shí)，可以男女搭配，但盡量不要出現(xiàn)情侶關(guān)系.數(shù)學(xué)建模過(guò)程是很辛苦的，團(tuán)隊(duì)中有異性伙伴，對(duì)團(tuán)隊(duì)的互相激勵(lì)有很大的作用，但最好不要有情侶關(guān)系的同伴，因?yàn)榻F(tuán)隊(duì)多數(shù)是3人，若其中有兩人是情侶關(guān)系，另外一個(gè)隊(duì)友可能會(huì)比較尷尬，影響戰(zhàn)斗力.

3.適當(dāng)考慮個(gè)人的特長(zhǎng)，合理組合.隊(duì)伍中最好有一個(gè)擅長(zhǎng)編程的人，有一個(gè)寫作能力強(qiáng)的人，在參加美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)，可以適當(dāng)考慮加入一位外語(yǔ)較強(qiáng)的隊(duì)友.

(二)賽前訓(xùn)練

賽前訓(xùn)練對(duì)于正式建模的進(jìn)度效率影響很大，相當(dāng)于陣前磨刀.最重要的是對(duì)算法模型的熟悉理解，知道它們能用于哪些問(wèn)題，能解決什么方向的問(wèn)題.三個(gè)人都應(yīng)該掌握，不能把希望寄托在其他人身上，因?yàn)樵谶@種需要靈感的學(xué)術(shù)研究中，多一份智慧，可能就會(huì)有意想不到的收獲.

團(tuán)隊(duì)一起訓(xùn)練時(shí)，可以找往年的賽題.可能有些人覺(jué)得，每年賽題都不一樣，訓(xùn)練的題目也不可能是今后比賽項(xiàng)目，做了也是浪費(fèi)時(shí)間.但我認(rèn)為，團(tuán)隊(duì)訓(xùn)練是非常重要的，通過(guò)訓(xùn)練，可以加強(qiáng)團(tuán)隊(duì)間的默契程度.通過(guò)團(tuán)隊(duì)一起反復(fù)演練，很多細(xì)節(jié)分工，合作問(wèn)題會(huì)暴露出來(lái).比如在賽中，通常是要花一天的時(shí)間確定選題、收集材料，理清每個(gè)小問(wèn)題的大致框架，把可能的解題思路列出來(lái)，最終形成的論文篇幅很大，若是沒(méi)有分工，到最后時(shí)間可能來(lái)不及；在美賽中，通常安排一位英語(yǔ)較強(qiáng)的隊(duì)員負(fù)責(zé)文章寫作，另外兩個(gè)隊(duì)員負(fù)責(zé)編程建模.那么在還沒(méi)有清晰思路的情況下，這位負(fù)責(zé)英文寫作的隊(duì)員又該做些什么呢？這些分工細(xì)節(jié)，如果沒(méi)在賽前多演練，上場(chǎng)時(shí)可能就會(huì)手忙腳亂.

二、建模思路要點(diǎn)

(一)簡(jiǎn)化題干，明確關(guān)鍵詞

比賽時(shí)，建模時(shí)間非常緊迫.團(tuán)隊(duì)收到賽題后，就會(huì)開(kāi)始著手分析賽題.在此我強(qiáng)烈建議，大家收到賽題后，先把比賽題目打印下來(lái)，然后用不同顏色的筆，把題干進(jìn)行簡(jiǎn)化，把關(guān)鍵詞圈起來(lái)，這個(gè)細(xì)節(jié)貌似微不足道，但卻可以使團(tuán)隊(duì)始終保持明確的目標(biāo)方向.因?yàn)楫?dāng)大家剛拿到數(shù)學(xué)建模題目的時(shí)候，一般是沒(méi)有思路框架的，思路跳躍很大，想到什么，就會(huì)去查找相關(guān)資料，而資料查多了，頭腦會(huì)出現(xiàn)混亂，甚至?xí)说降滓沂裁?，忘了目?biāo)是什么.簡(jiǎn)化題干，明確關(guān)鍵詞，并時(shí)刻擺在眼前，能夠讓你在尋找答案時(shí)不忘初心，在解決問(wèn)題時(shí)更具有針對(duì)性.

(二)從關(guān)鍵詞入手，尋找最佳方案

在關(guān)鍵詞明確后，團(tuán)隊(duì)就可以著手探討解決問(wèn)題的方案.在方案初步選擇中，我們往往會(huì)被直觀的假象所迷惑，從而選擇難做的方案，甚至走進(jìn)思路的死胡同.所以在探討方案時(shí)，大家要根據(jù)關(guān)鍵詞，分析問(wèn)題的意圖，頭腦風(fēng)暴，各抒己見(jiàn)，從不同的角度構(gòu)建出多個(gè)不同的模型，從中選出最優(yōu)方案.

以2017年第十屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請(qǐng)賽D題為例，該題以香菇分類作為背景，要求實(shí)現(xiàn)對(duì)花紋混雜的香菇進(jìn)行自動(dòng)分揀.其中第一問(wèn)是：

確定一種方法，快速定位如下圖片(圖1、圖2和圖3)中香菇的位置.

圖1 A類香菇圖2 B類香菇圖3 C類香菇

此題中“位置”便是題目中最重要的關(guān)鍵詞.如何理解“位置”的含義呢？可能有些同學(xué)認(rèn)為眼睛看到的位置就是“位置”，但是事實(shí)上自動(dòng)分揀是靠機(jī)器來(lái)識(shí)別的，它是依據(jù)接收到的數(shù)據(jù)來(lái)判斷的，所以我們需要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，讓機(jī)器接收合理的數(shù)據(jù).剛開(kāi)始，我們想著利用香菇在圖片中所占的像素的坐標(biāo)來(lái)表示位置，但是香菇的面積太大，像素坐標(biāo)太多，定位起來(lái)太過(guò)麻煩.若通過(guò)某種手段能把香菇所在區(qū)域的上下左右四條邊界線找出來(lái)，四條邊界線圍成一個(gè)小方框(如圖4、5、6所示)，那么利用小方框四個(gè)角的點(diǎn)坐標(biāo)表示香菇的“位置”，就相對(duì)簡(jiǎn)潔多了.

圖4 A類香菇圖5 B類香菇圖6 C類香菇

第二問(wèn)是：

根據(jù)香菇表面紋理的不同，選取適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，識(shí)別A型和B型香菇(題目中包含附件，里面包含許多A、B類型香菇的圖片)，并討論模型的效果.

這一問(wèn)題的關(guān)鍵詞是“識(shí)別”，要求我們要建立數(shù)學(xué)模型來(lái)識(shí)別，而數(shù)學(xué)模型是要根據(jù)相應(yīng)指標(biāo)建立的.那么A、B這兩種類型的香菇，有什么區(qū)別呢？從直觀上看，A香菇有較多的明顯的白色條紋，若從這一特征著手識(shí)別，顯而易見(jiàn)，條紋越多，它的邊界就越多，那么我們可以通過(guò)條紋大小對(duì)兩種香菇進(jìn)行區(qū)分.然而，我們換一種思路考慮，條紋越多也意味著條紋面積越大，所以也可以通過(guò)條紋面積進(jìn)行區(qū)分.相比之下，后面這種方案準(zhǔn)確率會(huì)更高.

(三)重視建模邏輯性，大膽假設(shè)

在三、四天之內(nèi)讓大學(xué)生想出一個(gè)萬(wàn)全的、具有真正可行性的建模方案，這本身就是非常困難的事，所以不要因?yàn)榭紤]到的因素不周全就失去信心.我們建立的數(shù)學(xué)模型，必定要選一些重要因素作為假設(shè)基礎(chǔ)，并忽略一些次要的因素，沒(méi)有辦法做到盡善盡美.甚至有些時(shí)候，雖然你提出的方法并不實(shí)用，但是只要你擁有合理的邏輯，做出合理的假設(shè)，能夠自圓其說(shuō)，就達(dá)到建模的目的了.

以2020年美賽D題為例，題目提供了上個(gè)賽季某支球隊(duì)的具體信息，包括每場(chǎng)比賽每個(gè)球員的傳球情況，以及每一場(chǎng)比賽的勝負(fù)情況等.第一題的要求如下：

Create a network for the ball passing between players，where each player is a node and each pass constitutes a link between players.Use your passing network to identify network patterns，such as dyadic and triadic configurations and team formations.Also consider other structural indicators and network properties across the games.

這一題目，我們想到利用足球隊(duì)較為固定的陣型，球員之間的站位大概率相對(duì)固定的現(xiàn)象，大膽假設(shè)一場(chǎng)比賽該球隊(duì)陣型不會(huì)發(fā)生較大的改變.但其實(shí)看過(guò)足球賽的人都知道，球場(chǎng)上的局勢(shì)是千變?nèi)f化的，很少會(huì)出現(xiàn)整場(chǎng)比賽局勢(shì)、位置一直不變的情況.然而我們通過(guò)大概率的大膽假設(shè)，就可以利用圖論知識(shí)來(lái)構(gòu)建網(wǎng)絡(luò).可以看到，雖然我們的模型并不一定真正具有可行性，但是它有合理的邏輯，因此所建立的模型也就有一定道理了.

三、建模論文寫作要點(diǎn)

(一)摘要清晰，高度概括

摘要在數(shù)學(xué)建模論文撰寫中起著舉足輕重的作用，一篇好的摘要會(huì)讓老師眼前一亮.老師評(píng)閱一篇論文的時(shí)間一般不會(huì)很長(zhǎng)，如果他通過(guò)摘要就能夠清晰地知道你是在什么平臺(tái)，運(yùn)用什么模型，用了什么方法來(lái)解決這些問(wèn)題，那么當(dāng)老師閱讀你們的論文正文時(shí)，就會(huì)比較清楚該論文的脈絡(luò).

(二)布局合理，方便評(píng)閱

排版布局的合理與否，會(huì)直接影響老師的評(píng)閱心情.作為參賽者，應(yīng)考慮老師評(píng)閱論文的方便性.所以在文章排版布局上，要美觀大方，層次分明，邏輯清晰.

(三)論文數(shù)據(jù)，直觀可視

建模論文篇幅較大，若相關(guān)數(shù)據(jù)都很生硬地羅列在文章內(nèi)，老師評(píng)閱的時(shí)候會(huì)很麻煩，因此數(shù)據(jù)可視化分析是一件非常有必要的事情.有時(shí)候一張圖就能夠讓老師了解到你在做什么，避免了冗雜的文字，也會(huì)讓老師對(duì)論文的好感度大幅提升.

(四)所建模型，經(jīng)得起驗(yàn)證

通過(guò)驗(yàn)證模型，可以大大增加結(jié)論可信度.老師在短短的評(píng)閱時(shí)間內(nèi)，不一定能完全清楚你做的模型是否合理，而通過(guò)檢驗(yàn)，讓模型更有說(shuō)服力，老師就會(huì)更加認(rèn)可你的模型.

以2020年“高教社杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題為例，該題以電焊爐為背景，電焊爐如圖7、圖8所示.爐內(nèi)有多個(gè)溫區(qū)，通過(guò)設(shè)定爐中不同溫區(qū)溫度和傳送帶過(guò)爐速度，可以使得焊接區(qū)域在入爐后有不一樣的溫度變化情況.第一問(wèn)(其中的一部分)是：

圖7

圖8

請(qǐng)對(duì)焊接區(qū)域的溫度變化規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.假設(shè)傳送帶過(guò)爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173 ℃(小溫區(qū)1～5)、198 ℃(小溫區(qū)6)、230 ℃(小溫區(qū)7)、257 ℃(小溫區(qū)8～9)和25 ℃(小溫區(qū)10～11)，請(qǐng)給出焊接區(qū)域中心的溫度變化情況，并畫出相應(yīng)的爐溫曲線，并將每隔0.5s焊接區(qū)域中心的溫度存放在提供的result.csv中.

對(duì)于這道題，我們可通過(guò)題目的已知條件，利用牛頓冷卻定律求解出合理公式.但是我們?cè)趺粗缹?duì)不對(duì)呢？于是我們利用題目所給出的已知數(shù)據(jù)條件，將一個(gè)個(gè)單點(diǎn)數(shù)據(jù)繪制成一張圖，再與公式求解出的曲線在同一張圖上作對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)有很好的擬合效果.最后，我們通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)，發(fā)現(xiàn)值接近于1，從而深度驗(yàn)證了模型公式的準(zhǔn)確性.

四、其他

很多沒(méi)有參加過(guò)建模的同學(xué)看到獲獎(jiǎng)比賽的論文會(huì)感到高不可攀，覺(jué)得里面用了非常高端的模型.事實(shí)上，那些看上去很難的算法，一般都是別人已有封裝好的資源，或者寫好的代碼.你需要做的就是在建模時(shí)找到這些方法，能夠在網(wǎng)上找到資源進(jìn)行套用，根據(jù)具體的題目進(jìn)行分析和修改.

另外，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是三人組隊(duì)，隊(duì)員之間需要相互信任，充分展現(xiàn)協(xié)作能力，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)精神.競(jìng)賽要求我們?cè)诙潭痰谋荣悤r(shí)間里完成選題、建模和求解，還要寫出完整的學(xué)術(shù)論文，這是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)，必須集三人之合力，匯集大家的智慧和能力，才能交出一份優(yōu)秀的答卷[1].建模過(guò)程中，最好是建模與寫作并行，切忌最后一天才開(kāi)始寫作.如果是美賽，最好兩個(gè)人一邊建模一邊寫中文論文，另一個(gè)人同時(shí)翻譯.

五、總 結(jié)

大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，在短短的三到四天的時(shí)間里，僅靠一個(gè)人的努力是很難完成一篇學(xué)術(shù)論文的.因此在組隊(duì)時(shí)，要找到合適的人選，隊(duì)員的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和合作意識(shí)要非常強(qiáng).參加建模比賽，對(duì)大學(xué)生的創(chuàng)新精神有很大的提升作用，同學(xué)們會(huì)想辦法解答出最優(yōu)方案，很好地鍛煉了學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，不僅能夠拓寬大學(xué)生的視野，也能很好地提高個(gè)人的建模能力和水平，是一個(gè)非常好的鍛煉機(jī)會(huì).另外，數(shù)學(xué)建模還有助于解決生活中的問(wèn)題，對(duì)大學(xué)生的未來(lái)科研也有著重要影響.若能在參賽中獲得名次，還可以獲得一些榮譽(yù).當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是非常辛苦的，常會(huì)有“山重水復(fù)疑無(wú)路”的感覺(jué)，但只要堅(jiān)持團(tuán)隊(duì)合作，總會(huì)柳暗花明的.希望我的淺薄之談，能對(duì)準(zhǔn)備參加建模的同學(xué)有一些啟發(fā).