標準I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計算式

劉西樂，趙名彥*，李如意，劉子輝，趙亞鋒，孫杰

?灌溉水源與輸配水系統(tǒng)?

標準I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計算式

劉西樂1，趙名彥1*，李如意1，劉子輝1，趙亞鋒1，孫杰2

（1.河北省水利科學研究院，石家莊 050051；2.河套學院，內蒙古 巴彥淖爾 015000）

【】針對馬蹄形斷面幾何形式復雜，其臨界水深為高次超越方程，難以直接求解，現(xiàn)有公式多為分段函數(shù)且存在誤差大、適用范圍小等問題，提出一種方便實用且具有較高精度的臨界水深直接算法。通過對明渠臨界流方程進行恒等變換，統(tǒng)一標準I、II型馬蹄形斷面臨界水深計算方程，基于數(shù)學理論構造替代函數(shù)模型，并通過帶粒子釋放的優(yōu)化PSO算法對研究范圍內的真值按照預設函數(shù)模型進行逼近。建立了標準I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計算式。通過對現(xiàn)有公式的歸納比選、誤差分析及實例計算表明，該式形式簡單不分段、計算方便快捷且物理概念明確，在工程實用范圍內計算相對誤差絕對值最大分別為0.37%和0.40%，具有較高的計算精度。建立的馬蹄形斷面臨界水深直接計算式在簡捷性、適用范圍、精度等方面綜合評價較好，實用推廣性強。

水力學；臨界水深；馬蹄形斷面；PSO算法

0 引 言

【研究意義】臨界水深是明渠流態(tài)判別的重要參數(shù)[1]，是明渠水工斷面設計和水力計算不可避免的要素，具有廣泛的應用和較高的精度要求[2]?！狙芯窟M展】由于臨界水深的求解無直接解析式，因此眾多學者進行了大量的研究，目前對于斷面形式較為簡單的渠道，如梯形[3-5]、圓形[6-7]、城門洞[8-10]及懸鏈線形[10-11]等，其臨界水深計算研究已取得了不少成果，為實際工程問題的解決提供了很大便利。馬蹄形斷面適用于地質條件差或洞軸線與巖層夾角較小的情況[12]，優(yōu)越的受力及過流條件使其在無壓輸水隧洞中的應用越來越廣泛。馬蹄形斷面臨界水深常用求解方法有圖表法[13]、迭代法[14]、函數(shù)替代法[15-20]等。文獻[15-18]給出了馬蹄形斷面臨界水深的函數(shù)替代式，三者形式較為簡單，但為分段函數(shù)，使用不便；文獻[19]引入特征參數(shù)，給出了馬蹄形斷面臨界水深計算通用式，公式同樣為分段函數(shù)；文獻[20]依據(jù)優(yōu)化擬合原理，以標準剩余差最小為目標函數(shù)，提出一種無須分段的簡化計算方法，該式只適用于側拱段和部分頂拱段?！厩腥朦c】圖表法和迭代法存在計算精度低、計算煩瑣、收斂速度慢、使用不便等缺點，難以滿足工程實用要求。函數(shù)替代法使用方便應用性強，但現(xiàn)有函數(shù)式多為分段函數(shù)，適用范圍小，且精度均在0.5%以上?！緮M解決的關鍵問題】為此，本文對馬蹄形斷面臨界流水深計算方程組進行恒等變換，將臨界水深求解問題轉化為求解非線性約束優(yōu)化問題，并構造反函數(shù)模型。采用MATLAB軟件編程實現(xiàn)帶粒子釋放的優(yōu)化PSO算法，對預設模型進行逼近擬合，以期提出一套形式簡捷、物理概念明確、適用范圍較廣、精度較高的標準馬蹄形斷面臨界水深直接計算式。

1 臨界水深的基本計算方程

臨界水深是斷面單位能量最小的水深，可用于判別明渠水流流態(tài)[14]，其基本計算方程為：

式中：為流量（m3/s）；g為重力加速度（m/s2）；為流速分布不均勻系數(shù)，通常取1.0；為過水斷面面積（m2）；為水面寬度（m）。

1.1 標準馬蹄形隧洞斷面構成

標準馬蹄形斷面是由2個不同半徑的4段圓拱組成，分別為1個半徑為的底拱、2個半徑為的側拱以及1個半徑為的頂拱，并根據(jù)的不同，又分為標準I型（=3）和標準II型（=2）。如圖1、圖2所示。

由圖1、圖2可知，標準I、II型馬蹄形過水斷面有3種工況，即水面位于底拱段（0≤≤）、水面位于側拱段（＜≤）和水面位于頂拱段（＜≤）。不同工況下過水斷面對應的水深（m）；為底拱對應的圓心半角或兩側拱對應的圓心角（rad）；為水深處于底拱段時過水斷面寬對應的圓心半角（rad）；為側拱未臨水段對應的圓心角（rad）；為水深處于頂拱段時過水斷面寬對應的圓心角（rad）；為底拱高（m）。

1.2 標準馬蹄形隧洞斷面水力要素

為統(tǒng)一標準馬蹄形過水斷面水力要素，引入類型參數(shù)=/[19]，=3時為標準I型馬蹄形斷面，=2時為標準II型馬蹄形斷面（表1、表2）。

圖1標準I型馬蹄形過水斷面

圖2 標準II型馬蹄形過水斷面

表1 斷面相關參數(shù)

其水力要素如表2所示。

表2 標準馬蹄形斷面水力要素

1.3 標準I、II型馬蹄形斷面臨界流方程

由臨界水深基本計算方程和水力要素方程可知，標準I、II型馬蹄形斷面臨界流方程為高次隱函數(shù)，為簡化計算過程，引入過水斷面無量綱參數(shù)=(Α2/g5)1/3以及無量綱臨界水深=/。則3種工況下的未知圓心角可用無量綱臨界水深表示：

無量綱水深界限參數(shù)取決于，由表1可知，=3時為標準I型馬蹄形斷面，x取值約為0.129 173。=2時為標準II型馬蹄形斷面，x取值約為0.177 124。將水力要素、過水斷面特征參數(shù)以及3種工況下的未知圓心角（、和）代入式（1）中，可得標準馬蹄形過水斷面臨界水深隱函數(shù)表達式：

2 臨界水深的直接計算式

由式（3）可以看出，無量綱參數(shù)與無量綱臨界水深關系在數(shù)學角度上可理解為求解一個非線性高次連續(xù)分段方程的根，馬蹄形斷面臨界水深的計算實質為求解函數(shù)=()（∈[0,2]）的反函數(shù)，即值域為[0，2]的函數(shù)=-1()。由圖3可知，標準I、II型馬蹄形斷面定義域分別為[0，11.122]和[0，10.888]，當其他物理量已知時，臨界水深的計算也就轉化為求解定義域內的唯一正實根。由=0.001開始，以0.005步長代入式（3），求得共806組精確數(shù)值，繪制成圖3。

圖3 無量綱臨界水深x與無量綱參數(shù)k函數(shù)關系

觀察圖3并分析無量綱臨界水深與無量綱參數(shù)之間的數(shù)學關系，構造反函數(shù)模型：

由圖3可以看出，無量綱臨界水深的取值范圍理論上為[0，2]。在實際工程中，臨界水深很小的工況極為少見，臨界水深很小時計算實際意義不大，因此標準I、II型斷面模型擬合范圍下限分別定為0.120和0.165，水深范圍包含了部分底拱段。為避免隧洞輸水過程中產生明滿流交替的水流現(xiàn)象，無壓隧洞水面以上的空間一般不小于隧洞斷面的15%，頂部凈空高度不小于40cm[12]，不同于正常水深，臨界流是一種對應明渠水流斷面比能最小的水流現(xiàn)象，既可以產生于某一渠段內，也可產生在某一過水斷面上，因此考慮到實際可能存在的情況，文中I、II型斷面無量綱臨界水深上限均取為2，遠滿足工程要求。因此無量綱臨界水深的取值范圍分別為[0.120，2]和[0.165，2]，相應的無量綱參數(shù)為[0.114，11.122]和[0.151，10.888]。通過MATLAB編程實現(xiàn)帶粒子釋放的優(yōu)化PSO算法對研究范圍內的數(shù)據(jù)按照預設函數(shù)模型進行逼近，經對公式簡化后得出以下標準馬蹄形斷面臨界水深直接計算式：

標準I型（=3）：

標準II型（=2）：

3 精度分析

為驗證式（5）和式（6）的準確性，在給定的研究范圍內選取一系列的值，代入標準I、II型馬蹄形斷面臨界流方程組求得相對應的無量綱參數(shù)值，再將值代入式（5）和式（6）求得無量綱臨界水深的近似值*，并由式（7）求解相對誤差：

式中：x為無量綱臨界水深初擬值；為無量綱參數(shù)；為無量綱臨界水深近似計算值；Δ為相對誤差。計算結果數(shù)據(jù)如表3和表4所示。

由表3和表4擬合精度比較可知，本文直接計算式精度較高，其中標準I、II型馬蹄形斷面在分析范圍內最大誤差絕對值分別為0.37%和0.40%，誤差絕對值平均分別為0.218%和0.219%，本文提出的函數(shù)模型形式經逼近后所得式（5）和式（6）具有較高的替代性，公式精度完全滿足工程實踐的需求。

4 分析與評價

馬蹄形斷面由于受力特性和水力條件好而被廣泛應用于各種輸水工程中，在無壓輸水隧洞中較為常見。因此眾學者在探尋標準馬蹄形斷面臨界水深的簡便計算方法方面進行了較多研究。傳統(tǒng)的圖表法存在人為誤差較大、迭代法存在計算繁瑣且收斂速度慢等問題[16]，因此函數(shù)替代法逐漸被有關學者所采用，以王正中[15]、LIU Jiliang[9]、張寬地[16]、趙延風[19]以及吳國慶[17]等為典型代表。但這些方程組為分段函數(shù)，使用前需進行臨界流量的判別，且計算誤差較大。鄭博[20]提出了一種冪指函數(shù)形式計算公式，無須分段直接計算。但該公式計算精度偏低、適用范圍較小、函數(shù)關系復雜，不便于工程界推廣。表5歸納了現(xiàn)有計算標準馬蹄形斷面臨界水深精度在1%及以下的計算公式和筆者提出的公式，并繪制出了文獻[20]公式和下文公式的誤差分布圖（見圖4和圖5）。

表3 式（5）誤差分析

表4 式（6）誤差分析

圖4 標準I型相對誤差分布圖

圖5 標準II型相對誤差分布圖

表5列出了函數(shù)替代法較為典型的11套公式，對這些公式從簡捷性、適用范圍、精度方面進行綜合評價。從公式簡捷性來看，LIU Jiliang公式、趙延風公式、張寬地公式以及吳國慶公式均為分段函數(shù)，使用時需進行適用條件判斷，較為不便。鄭博公式和作者公式不分段，實際工作中僅需借助具有計算器功能的工具即可快速求解，方便廣大基層工程技術人員應用；從公式適用范圍來看，各公式均涵蓋了工程常用范圍，LIU Jiliang公式、趙延風公式、張寬地公式以及吳國慶公式包含了小流量工況，適用性更強，本文公式次之，范圍涉及部分底拱段、側拱段和頂拱段。鄭博公式范圍最小，為側拱段和部分頂拱段。就公式精度而言，LIU Jiliang公式和吳國慶公式誤差最大，最大誤差在1%及以上。趙延風公式、張寬地公式和鄭博公式最大誤差在0.5%～1%之間，本文公式最大誤差為0.40%，是目前精度最高的計算公式。

為驗證無須分段的直接計算式的有效性及誤差全程分布情況，繪制文獻[20]公式及式（5）、式（6）誤差分布曲線，如圖4、圖5所示。從圖4和圖5同樣可以看出，式（5）和式（6）計算精度完全滿足工程需求，誤差分布曲線成一定周期性擺動，無明顯的凹凸點，具有一定的可延展性。標準I型誤差范圍為[-0.32%，0.37%]，標準II型誤差范圍為[-0.39%，0.4%]。綜合來看，本文公式形式較為簡捷、適用范圍較廣、精度最高，是目前計算標準I、II型馬蹄形斷面臨界水深的綜合性能較優(yōu)公式。

表5 標準馬蹄形斷面臨界水深公式替代法統(tǒng)計表

5 應用算例

滇中引水工程從金沙江虎跳峽以上河段引水，以解決滇中地區(qū)嚴重缺水問題。其中大理II段獅子山隧洞，全長29482m，采用無壓引水方式，設計流量135m3/s，斷面形式采用標準II型馬蹄形斷面，圓拱半徑=4.65m，以此實例驗證本文公式精度及適用性。

解：根據(jù)算例中已知參數(shù)計算無量綱參數(shù)：

將無量綱參數(shù)代入式（6）中得：

=0.04+(0.009+11-6.43)-0.142 7=0.716 8 。

經迭代試算的精確解為0.7187，相對誤差為=0.26%，求解結果的精度滿足工程設計要求。

6 結 論

1）本文所建公式形式簡單，物理概念清晰，計算方便快捷，易于推廣。公式采用復合冪函數(shù)形式，無須進行分段判別可直接進行計算。適用范圍包含了部分底拱段、側拱段和頂拱段，滿足工程常用范圍需求。在實際應用中只需借助計算器即可計算，克服了查圖、查表法的煩瑣和迭代計算收斂慢的問題，減輕了基層工程技術人員工作量。

2）通過精度比較和實例計算，在適用范圍內計算相對誤差絕對值最大分別為0.37%和0.40%，具有較高的計算精度。并從簡捷性、適用范圍、精度三方面對現(xiàn)有的替代公式進行綜合評價，本文公式綜合性能較好，可為灌區(qū)引水工程和水利水電輸水隧洞工程馬蹄形斷面設計及運行管理提供有益參考。

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Formulae for Calculating the Critical Water Depth in Standard I and II Horseshoe-shaped Open Channels

LIU Xile1, ZHAO Mingyan1*, LI Ruyi, LIU Zihui, ZHAO Yafeng, SUN Jie2

(1. Hebei Provincial Academy of Water Resources, Shijiazhuang 050051, China;2. Hetao University, Bayannur 015000, China)

【】Critical water depth is an important design parameter of open channels. Since standard horseshoe-shaped open channel does not have strict requirements on geological environment and is convenient to construct, it has been widely used in water conveyance projects in both irrigation and other areas. However, the horseshoe-shape is geometrically complex and the calculation of its critical water depth is more difficult than other types of channels. The objective of this paper is to propose an alternative method to overcome this shortcoming.【】We first transformed the critical water depth problem to a nonlinear constrained optimization problem via the identity- transformation of the open channel critical flow equation. We then constructed an inverse function model with the optimization solved by the PSO algorithm with particle release. The results calculated in the practical range was approximated by a pre-set function, from which we derive a formula to calculate the critical water depth for standard I and II horseshoe-shaped channels.【】①Comparison with existing formulas showed that the proposed formula is simple and does not need segmentation; it is thus more efficient and physically sound as it comprises compounded power functions only. The formula can be used to design the bottom arch section, side arch section and top arch section of the open channels, it is thus practically useful for practitioners because its ease for use. ②Comparison with experimental data showed the maximum relative error of the proposed formula for standard I and II channel was 0.37% and 0.40%, respectively, which is comparable to, if not lower than, the existing formulae.【】The formula we proposed for calculating the critical water depth in horseshoe-shaped open channels is accurate and efficient. It can be used by researchers and practitioners to design water-conveyance channels in irrigation projects and other areas.

Hydraulics; critical water depth; horseshoe-shaped open channel; PSO algorithm

劉西樂, 趙名彥, 李如意, 等. 標準I、II型馬蹄形斷面臨界水深直接計算式[J]. 灌溉排水學報, 2021, 40(12): 142-148.

LIU Xile, ZHAO Mingyan, LI Ruyi, et al. Formulae for Calculating the Critical Water Depth in Standard I and II Horseshoe-shaped Open Channels[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2021, 40(12): 142-148.

TV131.4

A

10.13522/j.cnki.ggps.2021005

1672 - 3317（2021）12 - 0142 - 07

2021-01-05

河北省水利科研與推廣計劃項目（2018-9）；拋物線型混凝土襯砌渠道在河套灌區(qū)的應用研究（NJZY17386）

劉西樂（1993-），河北石家莊人。碩士研究生，主要從事水力學及河流動力學方面的研究。E-mail：liuxile0126@163.com

趙名彥（1982-），女。高級工程師，主要從事水工水力學及水土保持方面的研究。

責任編輯：趙宇龍