多層復雜網(wǎng)絡上的滲流與級聯(lián)失效動力學

賈春曉，李 明，劉潤然*

(1. 杭州師范大學復雜科學研究中心 杭州 311121；2. 合肥工業(yè)大學物理學院 合肥 230009)

復雜網(wǎng)絡理論描述了真實世界事物之間的普遍聯(lián)系，而多層網(wǎng)絡則描述了復雜網(wǎng)絡或復雜系統(tǒng)之間的聯(lián)系。多層網(wǎng)絡在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用[1-2]，如因特網(wǎng)和電力網(wǎng)絡之間因互相依賴而組成的多層網(wǎng)絡[3-4]；一個生物細胞可以看成是代謝網(wǎng)絡，蛋白質相互作用網(wǎng)絡和基因轉錄網(wǎng)絡的相互依賴而形成的多層網(wǎng)絡[5]。這些聯(lián)系在保證每個復雜系統(tǒng)正常運行的同時，也給其帶來了系統(tǒng)性風險，如重大停電事故與大范圍的通信中斷[3,6]、嚴重的交通癱瘓[7-8]等。負責電力傳輸與分配的電力網(wǎng)絡依賴于信息傳輸網(wǎng)絡提供監(jiān)控和調(diào)度等方面的支持，同時，信息傳輸網(wǎng)絡也依賴于電力網(wǎng)絡提供電力保障[3,9]。類似地，電力網(wǎng)絡和鐵路網(wǎng)絡也存在著雙向的依賴關系，電力網(wǎng)絡的故障會影響鐵路交通的正常運轉，而鐵路的非正常運轉又會影響發(fā)電站燃料和物資的供應。因此，研究復雜系統(tǒng)的魯棒性，需要考慮它們之間的相互依賴性，并基于這種依賴性對復雜系統(tǒng)進行分析和建模，以了解這種相互依賴性導致系統(tǒng)大規(guī)模癱瘓的發(fā)生機理，從而為減少和干預級聯(lián)失效提供預防、應急和控制措施[2]。

除了相互依賴的關系之外，多層網(wǎng)絡還可以描述復雜系統(tǒng)之間其他性質的耦合或聯(lián)系，如協(xié)作[10]、競爭[11-12]和對抗[13]等。人們將網(wǎng)絡層間存在依賴關系的多層網(wǎng)絡稱為相依網(wǎng)絡，或網(wǎng)絡的網(wǎng)絡[14-16]。另外，多層網(wǎng)絡還可以表示同一組節(jié)點具有不同性質連接的網(wǎng)絡。在這樣的多層網(wǎng)絡中，每種類型的連接都可獨自形成一個網(wǎng)絡，但是它們共享同一個節(jié)點集合。如航空網(wǎng)絡可被視作一個多層網(wǎng)絡，每個機場為一個節(jié)點，不同航空公司的航線為不同類型的連接[17]。當然在多層網(wǎng)絡中并不一定每個節(jié)點都能夠出現(xiàn)在所有的網(wǎng)絡層中，但每層網(wǎng)絡中出現(xiàn)的節(jié)點都是系統(tǒng)節(jié)點的子集。如某些航空公司在某些機場并不一定有運營的航班，但是其包含的節(jié)點一定是航空網(wǎng)絡中所有節(jié)點(機場)的子集。類似地，多層網(wǎng)絡中的同一節(jié)點可在不同網(wǎng)絡層中扮演不同角色，如在交通網(wǎng)絡中，一個城市可能同時是航空網(wǎng)絡、鐵路網(wǎng)絡和公路網(wǎng)絡的交通樞紐[18]。在這種情況下，同一個節(jié)點的不同角色互為副本節(jié)點，類似的情況還存在于社交網(wǎng)絡中[19-21]。

文獻[3]于2010 年提出了雙層相依網(wǎng)絡上的滲流模型，用于研究網(wǎng)絡之間的相互依賴性對于級聯(lián)故障和網(wǎng)絡魯棒性的影響。在相依網(wǎng)絡中，一旦某個節(jié)點被刪除或者失效，與其互相依賴的其他網(wǎng)絡中的節(jié)點就會完全失效。這是一種非常強的依賴關系，在這種情況下，相依網(wǎng)絡和共享同一節(jié)點集的多層網(wǎng)絡等價。研究發(fā)現(xiàn)，雙層相依網(wǎng)絡上的滲流模型為一階不連續(xù)相變，這與單層網(wǎng)絡上的二階連續(xù)相變有著本質的不同。該結論證明了網(wǎng)絡的相互依賴性不但極大地降低了網(wǎng)絡魯棒性，而且影響了網(wǎng)絡的破碎方式。更令人驚訝的是，當相依網(wǎng)絡的度分布的異質性增強時，相依網(wǎng)絡對隨機故障的脆弱性也會增強，如兩個具有冪律度分布的相依無標度網(wǎng)絡會比兩個相依隨機網(wǎng)絡在隨機攻擊下更加脆弱，這與單個網(wǎng)絡的情況完全相反(單個無標度網(wǎng)絡對于隨機攻擊的魯棒性是非常高的)。從統(tǒng)計物理學的角度來看，多層相依網(wǎng)絡上的一階不連續(xù)相變本質上為混合相變(hybrid percolation)，即在網(wǎng)絡發(fā)生滲流相變的臨界點，網(wǎng)絡巨分支規(guī)模既存在二階連續(xù)相變所具備的臨界現(xiàn)象，也存在一階相變的不連續(xù)跳躍現(xiàn)象。系統(tǒng)的序參量(互聯(lián)巨分支規(guī)模S)與節(jié)點的保留概率p存在漸近關系S?Sc∝(p?pc)1/2，其中pc為網(wǎng)絡發(fā)生滲流相變的臨界點。這與單層網(wǎng)絡中k核滲流[22]、靴攀滲流[23]、關節(jié)節(jié)點滲流[24]及核滲流[25]中的混合相變完全相同[26]。

以上研究是基于網(wǎng)絡節(jié)點的強依賴假設，即多層網(wǎng)絡中相互依賴的一組節(jié)點，其中一個失效時，其余也立即失效。這種點對點的強相互依賴還被推廣到單層網(wǎng)絡中，用于描述節(jié)點之間的隱含依賴性[27-33]。強依賴雖然能夠刻畫一些現(xiàn)實系統(tǒng)之間的節(jié)點耦合機制，但在某些情況下網(wǎng)絡中某個節(jié)點的失效可能不會導致其他網(wǎng)絡中與之依賴的節(jié)點完全失效，而是造成一定程度的損害，從這個角度來說弱耦合機制更能夠描述復雜系統(tǒng)之間更為一般的耦合和聯(lián)系。在弱依賴的情形下，多層網(wǎng)絡的性質與強依賴的情況有明顯的不同。首先，網(wǎng)絡與網(wǎng)絡之間耦合拓撲結構會對網(wǎng)絡的級聯(lián)失效動力學有著強烈的影響。而對于強耦合的多層網(wǎng)絡中的一組相依節(jié)點，一旦其中一個節(jié)點失效，其余節(jié)點也就完全失效，它們之間的依賴結構不會對系統(tǒng)有顯著影響。此外，弱依賴多層網(wǎng)絡模型能夠描述復雜系統(tǒng)更為豐富的耦合機制，如依賴強度的異質性[34]、依賴強度的非對稱性[35]及依賴關系的拓撲結構[36]等。在弱依賴的情況下，多層網(wǎng)絡在級聯(lián)失效過程中會表現(xiàn)出更為豐富的相變現(xiàn)象。

多層網(wǎng)絡的研究已經(jīng)吸引了物理學、數(shù)學、信息科學、管理學和計算機等多學科交叉領域學者的廣泛關注。經(jīng)過十多年的發(fā)展，多層網(wǎng)絡級聯(lián)失效已在理論建模、實證分析和應用研究方面取得非常豐富的成果，國內(nèi)相關學者已經(jīng)在概念模型[37]、功能與動力學[38-39]、魯棒性優(yōu)化[40]和級聯(lián)失效的預防[41]等方面進行了較為系統(tǒng)的綜述。在多層網(wǎng)絡的研究中，滲流理論扮演了非常重要的角色。為了介紹滲流理論對多層網(wǎng)絡模型的作用和相關進展，本文聚焦基于滲流理論的相依多層網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效。首先介紹描述相依多層網(wǎng)絡級聯(lián)失效的理論模型，再分別介紹多層網(wǎng)絡跨層節(jié)點耦合特性、網(wǎng)絡層內(nèi)連接結構特征、層內(nèi)節(jié)點耦合特性、攻擊方式等幾個方面的特征對魯棒性和級聯(lián)失效動力學的作用，然后介紹具有弱耦合機制的多層網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效動力學的特性，最后進行總結并展望未來可能的研究問題和相關方向。

1 理論模型

多層網(wǎng)絡模型始于相依雙層網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型的研究[3]。隨后人們將雙層相依網(wǎng)絡推廣到了M個網(wǎng)絡，因此雙層相依網(wǎng)絡是多層網(wǎng)絡的一個特例[42-43]。這M個網(wǎng)絡都具有N個節(jié)點，將這M個網(wǎng)絡標記為A,B, ···，每個網(wǎng)絡中的N個節(jié)點按照自然數(shù)編號為1,2, ···,N。不同網(wǎng)絡中具有相同自然數(shù)編號的節(jié)點具有相互依賴性。第一個網(wǎng)絡中的某個節(jié)點Ai，第二個網(wǎng)絡中節(jié)點Bi等M個網(wǎng)絡中的M個節(jié)點之間存在相互依賴性。對于互相依賴的一組節(jié)點，如果其中一個節(jié)點失效，其余所有節(jié)點就會立即失效。這M個網(wǎng)絡中任意一個網(wǎng)絡X都可以擁有獨立或相關聯(lián)的拓撲結構。

多層網(wǎng)絡的級聯(lián)失效由隨機刪除網(wǎng)絡A中比例為1?p的節(jié)點觸發(fā)，其中p表示保留節(jié)點的比例。由于不同網(wǎng)絡中節(jié)點之間的互相依賴性，網(wǎng)絡A中的一個節(jié)點刪除會導致其余M?1 個網(wǎng)絡中依賴于該節(jié)點的節(jié)點也立即失效。當一個節(jié)點失效時，其所有邊也將會被刪除。各層網(wǎng)絡中一部分節(jié)點失效后，會破碎成一些規(guī)模不等的分支，這些分支被稱為分支集群。如果一些節(jié)點和它們所依賴的節(jié)點在各自所在的網(wǎng)絡層中都能形成同一個分支，則這樣的分支被稱為互連分支。但是，由于網(wǎng)絡連接方式的差異性，某個網(wǎng)絡中的一個分支中的節(jié)點在另一個網(wǎng)絡中所依賴的節(jié)點并不一定能夠形成同一個分支。因此，不能形成互連分支的節(jié)點將會被刪除，從而誘發(fā)網(wǎng)絡的進一步破碎，進而形成一個級聯(lián)失效的過程。經(jīng)過一定步數(shù)的迭代，網(wǎng)絡最終會達到一個穩(wěn)態(tài)。

圖1 展示了相依網(wǎng)絡級聯(lián)失效示意圖。在圖1a中，級聯(lián)失效由初始失效的A3節(jié)點觸發(fā)；在圖1b中，A網(wǎng)絡破碎成兩個分支{A1,A2}和{A4,A5,A6,A7}，B網(wǎng)絡破碎成3 個分支{B1,B2}，{B4}和{B5,B6,B7}，由于{A1,A2}和{B1,B2}分支在網(wǎng)絡A和B中同時存在， 構成一個互聯(lián)分支集群。同時由于{B4}分支獨立，將會導致節(jié)點A4的連接被刪除，導致網(wǎng)絡A分支{A4,A5,A6,A7}進一步破碎為{A4},{A5}和{A6,A7}。在圖1c 中，{A5}為獨立分支，將會導致B5節(jié)點的連接被刪除。在圖1d 中，網(wǎng)絡B進一步發(fā)生破碎，最終又會導致A6和A7之間的連接被刪除，并達到AB兩個網(wǎng)絡中的互聯(lián)分支都一致的穩(wěn)態(tài)。

圖1 雙層相依網(wǎng)絡級聯(lián)失效示意圖

在達到穩(wěn)態(tài)的時候，只有網(wǎng)絡互連巨分支中的節(jié)點才能保存下來，用互連巨分支的規(guī)模S來度量網(wǎng)絡的魯棒性。理論和數(shù)值模擬研究的結果發(fā)現(xiàn)，如果保留節(jié)點的比例大于一個臨界值pc，在級聯(lián)故障過程結束時，網(wǎng)絡的互連巨分支就能夠存在，即S>0，相依網(wǎng)絡的功能就能保留下來；反之如果p

多層網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效的臨界點可用概率生成函數(shù)的方法來求解。定義RX為網(wǎng)絡X中的一條隨機邊能夠連接到穩(wěn)態(tài)時互連巨分支的概率，其中X∈{A,B,···}。同時定義為網(wǎng)絡X的度分布的生成函數(shù)，為網(wǎng)絡X的余度分布的生成函數(shù)，其中為網(wǎng)絡X的度分布。當網(wǎng)絡X中的一條隨機邊能夠連接到巨分支時，在沿著這條隨機邊所到達的一個節(jié)點的其余邊中，需要至少有一條能夠連接到網(wǎng)絡的巨分支。這條隨機邊所到達節(jié)點的度值k服從概率分布，因此網(wǎng)絡X中的一條隨機邊能夠連接到巨分支的概率為，寫成生成函數(shù)的形式為。類似地，對于度為k的節(jié)點，屬于互連巨分支則需要在所有k條邊中至少有一條能夠通向互連巨分支，其概率可以表示為1?(1?RX)k?？紤]網(wǎng)絡度分布，一個隨機節(jié)點屬于網(wǎng)絡X巨分支的概率為，寫成生成函數(shù)的形式為1 ?。因此，對于任意一個RX滿足方程：

網(wǎng)絡互聯(lián)巨分支的規(guī)模S可以寫成：

隨著節(jié)點保留比例p的變化，當 ψX首次與RX相等的時候，系統(tǒng)將發(fā)生滲流相變。考慮系統(tǒng)中所有的網(wǎng)絡，系統(tǒng)發(fā)生滲流相變的臨界點可由如下方程組給出：

式中，I為單位矩陣；J表示雅克比矩陣，其元素JAB=?ψA/?RB。在臨界點將 ψX展開，在式(1)和式(2)被同時滿足的情況下可得：

這一結果表明多層網(wǎng)絡上的不連續(xù)相變?yōu)榛旌舷嘧?，同時具備二階相變的臨界特性也具有一階不連續(xù)相變的跳躍[44]。這與k核滲流、靴攀滲流、核滲流和關節(jié)節(jié)點滲流中的混合相變的類型完全相同。文獻[24,45]的研究也說明，這種混合相變只存在于級聯(lián)失效的穩(wěn)態(tài)中，如果強行使級聯(lián)過程在任何有限次停止，都只能觀察到與經(jīng)典滲流一樣的臨界現(xiàn)象。文獻[46]研究了具備動力學過程的多層網(wǎng)絡上的魯棒性，發(fā)現(xiàn)不連續(xù)相變在耦合動力學系統(tǒng)上仍然存在。

代入網(wǎng)絡的度分布，可通過式(1)和式(2)求出網(wǎng)絡的滲流相變點pc和網(wǎng)絡巨分支的大小S。有關多層網(wǎng)絡模型的概率生成函數(shù)求解的方法，文獻[26,42]已經(jīng)進行了綜述。對于單個網(wǎng)絡的情況下，網(wǎng)絡度分布的異質性越強，其滲流臨界值pc就越小。與此相反的是，相互依賴的網(wǎng)絡度分布的異質性越強，網(wǎng)絡的臨界值pc就會越大。這說明在平均度相同的情況下，度分布異質性較強的多層網(wǎng)絡更脆弱，這一結果與單層網(wǎng)絡的情況截然相反。

多層網(wǎng)絡中這種不連續(xù)相變的產(chǎn)生機理可由多層網(wǎng)絡中的“臨界節(jié)點”來解釋。臨界節(jié)點被定義為滿足如下兩個條件的節(jié)點：1) 其自身或其任意依賴節(jié)點有且只有一條邊能夠連接到所在網(wǎng)絡的巨分支，這條邊被稱為臨界邊；2) 其自身和其所有依賴節(jié)點都能夠連接到它們所在網(wǎng)絡的巨分支。這條臨界邊至關重要，一旦它所連接的鄰居被刪除，臨界節(jié)點和它的依賴節(jié)點都會被刪除。在此失效傳播過程中，這條邊具有指向性，從臨界節(jié)點的一個鄰居指向該臨界節(jié)點。當臨界節(jié)點通過這些臨界邊能夠連接在一起的時候，就形成了一個“臨界分支”。一旦其中一個臨界節(jié)點被刪除，雪崩就會沿著一定方向在臨界分支中傳播，處在臨界分支最頂端的節(jié)點被稱為“基石節(jié)點”，它的刪除會導致整個臨界分支的崩潰。當p從大至小接近臨界點時，臨界分支的發(fā)散會導致網(wǎng)絡巨分支的不連續(xù)跳躍[44]。

2 跨層節(jié)點耦合特性

一些真實復雜系統(tǒng)中可能存在一些不依賴其他任何節(jié)點的“自治節(jié)點”，一個網(wǎng)絡中的某個節(jié)點也可能依賴于另一個網(wǎng)絡中的多個節(jié)點。此外，網(wǎng)絡間的依賴性不但有雙向的，還有單向的。圍繞雙向依賴或單向依賴、一對一依賴或一對多依賴的問題，已涌現(xiàn)出許多研究成果。文獻[48]研究了一個由兩個相互依賴的網(wǎng)絡A和B組成的系統(tǒng)，其中網(wǎng)絡A中的一部分節(jié)點qA依賴于網(wǎng)絡B中的節(jié)點，同時網(wǎng)絡B中的一部分節(jié)點qB依賴于網(wǎng)絡A中的節(jié)點。與多層網(wǎng)絡的原始模型相同，一個網(wǎng)絡中的一個節(jié)點最多只有一條有向的依賴邊。因此參數(shù)qA、qB或qA=qB≡q控制著網(wǎng)絡間的依賴強度，這一方法在后續(xù)的研究中被廣泛借鑒[49-52]。當一個網(wǎng)絡中的節(jié)點發(fā)生故障時，它們會導致另一個網(wǎng)絡中依賴于它們的節(jié)點也發(fā)生故障。當臨界占據(jù)概率p達到臨界點pc時，穩(wěn)態(tài)滲流巨分支就能夠出現(xiàn)。理論分析和數(shù)值模擬顯示，降低網(wǎng)絡之間耦合節(jié)點的比例qA和qB會導致網(wǎng)絡的相變形式在一個臨界點處從一階滲流相變轉變到二階滲流相變[48]。另外出于保護中心節(jié)點的目的，將其設置為“自治節(jié)點”可以有效提升網(wǎng)絡的魯棒性[50-51]。

文獻[53]研究了一對多的有向依賴的多層網(wǎng)絡模型，發(fā)現(xiàn)當網(wǎng)絡之間的依賴邊平均度趨向于無限或存在自治節(jié)點時，網(wǎng)絡穩(wěn)態(tài)的巨分支以連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)，而在其他情況下，網(wǎng)絡巨分支以不連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)。文獻[54]研究了非對稱依賴的相依網(wǎng)絡模型，即A網(wǎng)絡中的節(jié)點對B網(wǎng)絡中的節(jié)點是一對多的雙向依賴，而B網(wǎng)絡中的節(jié)點對A網(wǎng)絡是一對一的雙向依賴。在這種情況下，網(wǎng)絡A在隨著保留節(jié)點p的變化會出現(xiàn)多重相變現(xiàn)象，即網(wǎng)絡巨分支首先以二階連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)，隨后會再發(fā)生一次一階不連續(xù)相變，而網(wǎng)絡B的巨分支以一階不連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)。在部分節(jié)點存在耦合的情況下，多層網(wǎng)絡的每個網(wǎng)絡層都在其他網(wǎng)絡中隨機選擇一定數(shù)量的節(jié)點作為相互依賴的節(jié)點時，系統(tǒng)隨著攻擊強度的增大會出現(xiàn)多重相變的現(xiàn)象，即會發(fā)生多次崩潰[49]。此外，文獻[55]基于依賴邊在描述節(jié)點跨網(wǎng)絡耦合時連接和依賴的雙重作用，研究了雙層相依網(wǎng)絡多對多依賴時的魯棒性，發(fā)現(xiàn)增加網(wǎng)絡之間的耦合邊密度時會增加網(wǎng)絡的部分連通性，導致部分網(wǎng)絡的魯棒性增強。

真實網(wǎng)絡之間的互相依賴關系不是隨機的，而是根據(jù)節(jié)點的某些特性進行耦合的?？鐚酉嘁拦?jié)點的度度相關性也受到廣泛關注，即在正相關的時候，一個網(wǎng)絡中度值大(小)的節(jié)點更容易依賴于另一個網(wǎng)絡中度值大(小)的節(jié)點，反之則是負相關。如度值較大的港口往往與具有較多航班的機場之間存在較為緊密的耦合。文獻[56]研究了網(wǎng)間度度相關性和網(wǎng)間聚類系數(shù)對相依網(wǎng)絡魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)當兩個網(wǎng)絡之間依賴節(jié)點相似性較強時，系統(tǒng)在面對隨機故障時就會變得更加穩(wěn)健。類似地，文獻[57]的研究結果表明相同度值節(jié)點的耦合使得網(wǎng)絡的魯棒性會變得更強。同樣，當從兩個網(wǎng)絡挑選度值最大的部分節(jié)點進行耦合匹配時[58-59]，或降低互相依賴節(jié)點的不平衡性時[60]，網(wǎng)絡的魯棒性也可以顯著提高。另外，在網(wǎng)絡存在模塊度[61]、依賴簇[62]時，跨網(wǎng)絡節(jié)點的正相關耦合對網(wǎng)絡魯棒性仍有較強的促進作用。文獻[63]借助于Bako-Tang-Wiesenfeld 沙堆模型，發(fā)現(xiàn)節(jié)點連接度的無標度分布，層內(nèi)同配性和跨網(wǎng)絡中心節(jié)點之間的耦合可以顯著提升網(wǎng)絡的魯棒性。文獻[64]研究了多層網(wǎng)絡上的鍵滲流模型，發(fā)現(xiàn)當多層網(wǎng)絡中某一層網(wǎng)絡與其他網(wǎng)絡層節(jié)點耦合方式為反相關時，多層網(wǎng)絡上的鍵滲流存在多重相變的現(xiàn)象，即會發(fā)生多次相變，相變的次數(shù)與網(wǎng)絡的層數(shù)有關。隨后文獻[65]發(fā)現(xiàn)在多層網(wǎng)絡魯棒性優(yōu)化的過程中，增強度度相關性雖然可以提高網(wǎng)絡破碎時的攻擊閾值，但是也在網(wǎng)絡破碎的過程中引入了多重不連續(xù)相變的現(xiàn)象。

重疊邊在多層網(wǎng)絡中也是常見的。如在社交網(wǎng)絡中，兩個朋友通過電子郵件和電話兩種途徑進行通信的現(xiàn)象很常見；在交通網(wǎng)絡中，通過公路連接的兩個城市也可能通過鐵路或航班連接。文獻[66-67]幾乎同時研究了連接的重疊性對于相依網(wǎng)絡魯棒性的影響，重疊邊的存在也能有效促進多層網(wǎng)絡魯棒性的提升。對這種現(xiàn)象的一個直觀解釋是，重疊邊的存在減弱了兩個相依網(wǎng)絡巨分支節(jié)點分布的隨機性，導致網(wǎng)絡的互聯(lián)巨分支更容易涌現(xiàn)。

真實多層網(wǎng)絡并不是單層網(wǎng)絡的隨機組合，網(wǎng)絡層間的耦合會存在一些空間相關性[68-70]。這種空間相關性可以有效提升網(wǎng)絡魯棒性，使網(wǎng)絡在遭受蓄意攻擊時可能會以連續(xù)相變的形式崩潰[71]。文獻[72]研究了雙層相依規(guī)則網(wǎng)格上的滲流，在模型中，互相依賴的兩個節(jié)點的最大距離被限制在r之內(nèi)，當rqmax時是非常差的，刪除一個節(jié)點就會導致整個系統(tǒng)的崩潰，qmax會隨著隨機規(guī)則網(wǎng)絡平均度的降低而降低。這些結果說明相依節(jié)點之間的距離對于網(wǎng)絡的魯棒性和破碎形式起著非常重要的作用。當取消節(jié)點跨層依賴距離的限制時(相依節(jié)點隨機連接)，相依規(guī)則網(wǎng)格就非常脆弱，只要跨層耦合節(jié)點的比例q≠0時，系統(tǒng)就會發(fā)生一階不連續(xù)相變的現(xiàn)象。

文獻[74]提出了一種冗余滲流模型，該模型假設一個節(jié)點能夠保持功能的條件是至少還有另外一個相依節(jié)點能夠在其他網(wǎng)絡層中保持功能[74-75]。當層數(shù)等于2 時，該模型簡化為文獻[3]中最初的相依網(wǎng)絡模型。該模型描述了向多層網(wǎng)絡中添加新層可以增強系統(tǒng)的穩(wěn)健性，這一情況與網(wǎng)絡的網(wǎng)絡中隨著網(wǎng)絡數(shù)的增加系統(tǒng)的魯棒性降低的情況相反[42-43]。

3 網(wǎng)絡層內(nèi)連接結構特征

自從多層網(wǎng)絡的模型被提出以后，一些網(wǎng)絡性質，如簇系數(shù)、同配性、模塊度、有向性和空間嵌入特性等，對于網(wǎng)絡魯棒性和級聯(lián)失效動力學的影響也得到了廣泛關注。這些研究對于理解真實復雜系統(tǒng)的一些結構特性對于魯棒性的影響有重要的意義。

文獻[76]研究了網(wǎng)絡的簇結構對于相依多層網(wǎng)絡魯棒性的影響，發(fā)現(xiàn)簇結構能夠導致網(wǎng)絡的魯棒性的降低，表現(xiàn)為網(wǎng)絡滲流相變臨界點pc的顯著增大。文獻[52]通過兩種方式來調(diào)節(jié)網(wǎng)絡的簇系數(shù)，第一種是保證網(wǎng)絡平均度的不變的情況下改變網(wǎng)絡的簇系數(shù)；第二種方法是保證網(wǎng)絡度分布不變來調(diào)整網(wǎng)絡的簇系數(shù)，并研究了兩種簇系數(shù)的調(diào)整方式對部分節(jié)點存在依賴的多層網(wǎng)絡魯棒性的影響，同樣發(fā)現(xiàn)簇系數(shù)的增加能夠降低網(wǎng)絡的魯棒性并增加網(wǎng)絡的滲流閾值。隨著依賴節(jié)點比例的降低，簇系數(shù)對網(wǎng)絡魯棒性的影響會逐漸下降。同時，網(wǎng)絡從一階相變到二階相變的臨界點qc也會隨著簇系數(shù)的增加而增大。類似的發(fā)現(xiàn)可以在支持-依賴的雙層網(wǎng)絡中發(fā)現(xiàn)，即降低網(wǎng)絡間的耦合或網(wǎng)絡的簇系數(shù)都可以增加網(wǎng)絡的魯棒性[77]。

文獻[78]研究了多層有向網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效。雙層相依有向隨機網(wǎng)絡的崩潰過程分為兩個階段，即網(wǎng)絡巨分支以連續(xù)相變的形式涌現(xiàn)，隨后再發(fā)生一次不連續(xù)相變。同時也發(fā)現(xiàn)，當網(wǎng)絡度分布異質性較強時，網(wǎng)絡層內(nèi)的出度和入度的相關性可以增強相依網(wǎng)絡的魯棒性，而網(wǎng)絡度分布異質性較弱而網(wǎng)絡間耦合強度較強時，網(wǎng)絡層內(nèi)的出度和入度的相關性可以減弱相依網(wǎng)絡的魯棒性。對于多個有向網(wǎng)絡的耦合，隨著網(wǎng)絡保留節(jié)點比例p變化，網(wǎng)絡在破碎時可能會表現(xiàn)為二階相變、多重相變(先發(fā)生二級相變，然后再次發(fā)生一階相變)、一階相變以及不穩(wěn)定崩潰(在p=1 時，系統(tǒng)仍處于崩潰狀態(tài))等幾種不同的形式。崩潰的形式取決于網(wǎng)絡之間耦合節(jié)點比例q的大小[79]。

網(wǎng)絡社團結構對于多層網(wǎng)絡的魯棒性的作用也受到關注，文獻[80]發(fā)現(xiàn)一個多層網(wǎng)絡的魯棒性可以通過調(diào)整不同網(wǎng)絡層社團結構之間的相關性來控制。文獻[81]發(fā)現(xiàn)當網(wǎng)絡的社團結構特征增強時，相互依賴的網(wǎng)絡會更脆弱，這一結果與單一網(wǎng)絡的情況相反。當一個網(wǎng)絡層的社團結構非常強且社團間的連接非常稀疏時，另一層網(wǎng)絡社團強度的微小變化會引起整個系統(tǒng)魯棒性的突變。文獻[82]研究了具有社團結構的網(wǎng)絡的魯棒性，他們發(fā)現(xiàn)跨社團的連接邊在影響網(wǎng)絡魯棒性的同時，還扮演著類似于鐵磁-順磁自旋系統(tǒng)中外場的作用。

文獻[83]發(fā)現(xiàn)存在階層結構的相依網(wǎng)絡在受到攻擊時會出現(xiàn)多重相變的現(xiàn)象，網(wǎng)絡的魯棒性與每個階層中的社團數(shù)，階層的連接度和網(wǎng)絡間的依賴強度有關。具有模塊度的多層網(wǎng)絡在遭受攻擊時也會發(fā)生雙重相變的現(xiàn)象，其中一個相變發(fā)生在模塊分離的地方，另一個相變發(fā)生在各個模塊崩潰的時候。兩個相變的類型取決于多層網(wǎng)絡之間的依賴強度和依賴的結構[84]。

4 層內(nèi)節(jié)點耦合特性

理解多層網(wǎng)絡上的k核滲流對于研究網(wǎng)絡上的傳播動力學十分重要，如識別有影響力的傳播者和理解網(wǎng)絡局部化現(xiàn)象。文獻[85]研究了多層網(wǎng)絡上的k ≡(kA,kB,···,kM)核滲流，多層網(wǎng)絡上的k核巨分支比單個網(wǎng)絡A上kA核巨分支更難出現(xiàn)。對于雙層網(wǎng)絡A和B，單個網(wǎng)絡kA+kB核的滲流閾值比相應的多層網(wǎng)絡中的(kA,kB)核的滲流閾值更高。文獻[86]通過調(diào)整節(jié)點對鄰居局域依賴閾值k和網(wǎng)絡間的耦合節(jié)點比例q，發(fā)現(xiàn)節(jié)點保留概率p增大時，網(wǎng)絡可能會出現(xiàn)二階相變、多重相變和一階相變。文獻[87]研究了真實多層網(wǎng)絡層間的關聯(lián)性(如度關聯(lián)、節(jié)點相似性等)與多層網(wǎng)絡k核大小的關系。在網(wǎng)絡度分布的異質性較強時，正的度度相關性與網(wǎng)絡中強k核結構有很強的關聯(lián)性。如果網(wǎng)絡度分布均勻時，節(jié)點相似性水平上的正相關與網(wǎng)絡中強k核結構有較強的相關性。類似地，對于跨層節(jié)點存在度相關的多層網(wǎng)絡的度度相關性會導致多層網(wǎng)絡的k核巨分支更容易涌現(xiàn)[88]。這些研究為真實多層網(wǎng)絡k核結構的識別和預測提供了理論基礎[89]。

文獻[90]研究了多層網(wǎng)絡上的核滲流，反復刪除每層網(wǎng)絡上度值為1 的葉節(jié)點及其最近鄰節(jié)點，發(fā)現(xiàn)多層網(wǎng)絡上的核滲流具有一階不連續(xù)相變的特性，這與單層網(wǎng)絡上核滲流的連續(xù)相變有著本質的不同。文獻[91]將葉節(jié)點的定義推廣到度值小于k的節(jié)點，并通過反復刪除度值小于k的葉節(jié)點及其最近鄰節(jié)點的剪枝過程來研究多層網(wǎng)絡上的核滲流，這一模型被用于真實多層網(wǎng)絡的分解。

5 攻擊方式

文獻[92-93]研究了多層網(wǎng)絡在蓄意攻擊下的魯棒性，當度值較大的節(jié)點有較大的概率被攻擊時，網(wǎng)絡的魯棒性會顯著下降。同時當度大的節(jié)點受到保護，被攻擊概率降低時，多層網(wǎng)絡的滲流閾值并不能降低至0，這說明保護度值較大的節(jié)點不能阻止網(wǎng)絡的崩潰，這一結果與單層網(wǎng)絡有著本質的不同。文獻[94-95]研究了網(wǎng)絡的網(wǎng)絡在蓄意攻擊下的魯棒性，同樣發(fā)現(xiàn)蓄意攻擊能夠使相依網(wǎng)絡和多層網(wǎng)絡的魯棒性降低。蓄意攻擊可以讓多層網(wǎng)絡崩潰的更加迅速，探討多層網(wǎng)絡在蓄意攻擊下的魯棒性的極限是一個重要問題。因此，如何找到能夠迅速破壞多層網(wǎng)絡的最小節(jié)點集是一個計算代價高昂同時難以優(yōu)化的問題。文獻[96]提出了多層網(wǎng)絡有效度的指標作為蓄意攻擊目標節(jié)點的選擇依據(jù)，該策略考慮了多層網(wǎng)絡中節(jié)點的刪除所帶來的間接損傷，從而獲得了一個比現(xiàn)有的非計算密集型算法所得到的更小的初始攻擊目標節(jié)點集。

局域攻擊策略[97-99]是一種在現(xiàn)實中廣泛存在的攻擊策略，在多層網(wǎng)絡魯棒性的研究中也受到了廣泛關注[100-101]。文獻[102]研究了局域攻擊下空間耦合網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效動力學，他們發(fā)現(xiàn)當局域攻擊大于臨界尺寸時，級聯(lián)故障會擴散到整個系統(tǒng)，導致系統(tǒng)崩潰。此外，局域攻擊和隨機攻擊對不同度分布的相依網(wǎng)絡的破壞性也在文獻[103]中有對比研究，不同組合攻擊策略在相依網(wǎng)絡的研究中也受到關注[104]。

6 弱依賴多層網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效

在前文所述的多層網(wǎng)絡模型中，一個節(jié)點的失效會導致其依賴節(jié)點完全失效，這是一種點對點的強依賴。這一假設雖然能夠刻畫一些現(xiàn)實系統(tǒng)之間的節(jié)點耦合機制，如因特網(wǎng)中的節(jié)點對電力網(wǎng)絡中節(jié)點的依賴。但是在存在緩沖或應急機制的情況下，這一假設就會顯得過于簡單而直接，如一些基礎設施的節(jié)點可能存在備用電源，當電網(wǎng)故障時，它可能會因電力供應的減少而維持部分主要功能；類似地，在經(jīng)濟社會中，金融網(wǎng)絡和企業(yè)間的貿(mào)易網(wǎng)絡存在依賴性，金融機構通過向企業(yè)借貸而獲得利息和收益，而企業(yè)依靠金融網(wǎng)絡提供資金流來維持運作，當企業(yè)倒閉時，可能會對金融機構造成影響，而金融機構的倒閉也可能會對企業(yè)造成沖擊。由于風險的分散，這種沖擊可能不會非常強，一個企業(yè)倒閉可能不會造成與之相互依賴的金融機構的完全破產(chǎn)，反之亦然。因此，存在弱依賴節(jié)點的多層網(wǎng)絡更具有一般性[105]。

為了描述這種弱耦合機制，文獻[105]提出了一種點對邊的相互作用機制。當一個節(jié)點失效的時候，其依賴節(jié)點的部分功能會受到損害而失去一些連接。具體而言，假如A網(wǎng)絡中的一個節(jié)點Ai依賴于B網(wǎng)絡的節(jié)點Bi，如果節(jié)點Ai失效，節(jié)點Bi的每一條邊都有1?α 的概率被刪除(α 的概率保留)，反之亦然。當α=1 時，網(wǎng)絡之間的依賴性最弱，而當α=0 時，網(wǎng)絡的依賴性最強，此時等價于強依賴的多層網(wǎng)絡。當某個網(wǎng)絡層X中的一部分節(jié)點失效時，與這些失效節(jié)點有依賴性的節(jié)點就會受到影響而損失一些邊，從而導致它們所在的網(wǎng)絡破碎，使某些節(jié)點脫離網(wǎng)絡而失效。這些失效的節(jié)點又會導致其他網(wǎng)絡層(包括X)中相互依賴的節(jié)點受到損害。在這種依賴失效和破碎失效的交替作用下，級聯(lián)失效隨之產(chǎn)生。當網(wǎng)絡到達穩(wěn)態(tài)時，用每個網(wǎng)絡層中存活節(jié)點的比例來評估網(wǎng)絡的魯棒性。

圖2 給出了雙層相依網(wǎng)絡的級聯(lián)失效示意圖。在圖2a 中，級聯(lián)失效由初始失效的A3和B3節(jié)點觸發(fā)， 導致網(wǎng)絡A和B的同時破碎。在圖2b 中，B網(wǎng)絡中的B4節(jié)點因脫離巨分支而失效，進而會對A網(wǎng)絡中的A4節(jié)點造成損害而損失一條邊，進一步導致A5節(jié)點的失效。在圖2c 中，A網(wǎng)絡中的A5節(jié)點的失效會對B網(wǎng)絡中的B5節(jié)點造成損害而損失一條邊。進而導致B7節(jié)點的失效。在圖2d中，B網(wǎng)絡中B7失效后對網(wǎng)絡A中的A7造成影響，由于這種影響以一定概率發(fā)生而未造成實際損害，此時網(wǎng)絡達到穩(wěn)態(tài)。

圖2 弱依賴情況下，雙層相依網(wǎng)絡級聯(lián)失效示意圖

在弱依賴的情況下，一些互相依賴的復雜系統(tǒng)可能通過它們之間的聯(lián)系而具有某種結構。有一些復雜系統(tǒng)依賴的系統(tǒng)較多，而另外一些系統(tǒng)所依賴的系統(tǒng)較少。即不同系統(tǒng)的“超級度”存在差異。對于超級度不同的網(wǎng)絡層，它們的滲流閾值和滲流相變的類型也不相同。網(wǎng)絡層的超級度越大，其滲流閾值就越大，魯棒性也就越差。同時，一些超級度較大的網(wǎng)絡層在滲流時可能表現(xiàn)為一階不連續(xù)相變，而一些超級度較小的網(wǎng)絡層的滲流相變類型為二階連續(xù)相變，在超級度較大的網(wǎng)絡發(fā)生滲流時，會導致其已經(jīng)發(fā)生滲流的最近鄰網(wǎng)絡再次發(fā)生相變，從而導致系統(tǒng)中出現(xiàn)多重相變現(xiàn)象[106]。

多層網(wǎng)絡的雪崩過程本質上可以分解為兩個微觀動力學過程：深度滲透(層間級聯(lián))和廣度擴展(層內(nèi)級聯(lián))。在深度滲透的過程中，失效在跨層傳播過程中能夠逐步放大。在這些跨層耦合的節(jié)點中，一個節(jié)點的失效會引起另外一個甚至更多節(jié)點的失效，失效的節(jié)點越多，對剩余節(jié)點產(chǎn)生的破壞力就越大。在范圍擴展的過程中，故障會隨著各網(wǎng)絡層中連接的移除而在各層網(wǎng)絡的內(nèi)部傳播。在兩個過程的協(xié)同作用下，整個多層網(wǎng)絡會逐漸走向崩潰，同時系統(tǒng)滲流相變的類型會隨著網(wǎng)絡耦合強度的下降從一階不連續(xù)相變轉變?yōu)槎A連續(xù)相變，這意味著層間的級聯(lián)過程控制著層內(nèi)的級聯(lián)過程，并且對整個系統(tǒng)的魯棒性有著較強的控制力[107]。

弱依賴機制的引入使得多層網(wǎng)絡模型能夠較為自然地使用非對稱依賴的概念，這一特點在現(xiàn)實中也廣泛存在。對于互相依賴網(wǎng)絡中的兩個節(jié)點，一個重要的節(jié)點對次要的節(jié)點的依賴強度可能會不等于次要的節(jié)點對重要的節(jié)點的依賴強度。文獻[35]研究了節(jié)點與節(jié)點的非對稱依賴對于網(wǎng)絡魯棒性的影響，當調(diào)整跨網(wǎng)絡節(jié)點依賴強度的時候，網(wǎng)絡發(fā)生滲流相變的類型也能夠從一階相變轉變?yōu)槎A相變。文獻[108]研究了具有派系的弱依賴相依網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效，網(wǎng)絡在從不連續(xù)相變到連續(xù)相變的過程中呈現(xiàn)出混合相變現(xiàn)象：具有派系大的層發(fā)生連續(xù)滲流相變，具有派系小的層發(fā)生不連續(xù)滲流相變。

7 結束語

多層網(wǎng)絡上的級聯(lián)失效是復雜網(wǎng)絡動力學研究的重要問題。這一問題的研究與網(wǎng)絡科學諸多細分領域共同推動了多層網(wǎng)絡動力學研究的發(fā)展，如多層網(wǎng)絡的同步[38,109-116]、多層網(wǎng)絡上的信息傳播[117-120]、疾病傳播[121-129]和免疫[130-133]、多層網(wǎng)絡上演化博弈[134-139]和交通流[7-8,17]等。本文綜述了多層網(wǎng)絡滲流的基礎理論和級聯(lián)失效動力學研究，包含跨層節(jié)點的耦合特性、網(wǎng)絡層內(nèi)連接結構特征、層內(nèi)節(jié)點耦合特性和攻擊方式等幾個方面的研究。這些研究成果的推廣不但豐富了人們對多層網(wǎng)絡魯棒性和級聯(lián)失效動力學的認識，為多層網(wǎng)絡級聯(lián)失效的預防[41,140-141]和魯棒性的提升[40,142]等方面的應用研究提供了理論支撐，同時為多層網(wǎng)絡其他動力學的研究提供了借鑒。

在當前信息和人工智能飛速發(fā)展的今天，基礎設施系統(tǒng)的資源能夠得到及時有效的調(diào)度，從而實現(xiàn)系統(tǒng)容量的最優(yōu)化和負荷的最大化，如在交通網(wǎng)絡中，交通流可以通過實時大數(shù)據(jù)和智能算法實現(xiàn)最高效率的流轉，任意一個系統(tǒng)和環(huán)節(jié)發(fā)生故障就會引起整個系統(tǒng)的功能受到較大的損失。在這樣的背景下，多層網(wǎng)絡之間的相互作用機理也變得越來越復雜，因此對多層網(wǎng)絡耦合機理進行實證調(diào)研并進一步建模將是未來一個重要且具有挑戰(zhàn)性的問題。其次，真實的多層網(wǎng)絡系統(tǒng)十分復雜，一些大系統(tǒng)中還存在一些子系統(tǒng)，在各個系統(tǒng)之間存在不同層次的相互作用，如節(jié)點與節(jié)點存在耦合、子系統(tǒng)與子系統(tǒng)也存在耦合、相互作用的層次性對于多層網(wǎng)絡級聯(lián)失效動力學的影響也需要進一步考慮。此外，由于真實多層網(wǎng)絡各個子系統(tǒng)的功能是互相配合的，節(jié)點之間的相互依賴性是動態(tài)的，調(diào)研各個系統(tǒng)節(jié)點功能的時間相關性以及耦合結構的時間特性也是一個非常值得關注的問題。最后，多層網(wǎng)絡研究的發(fā)展需要在理論方法上有更進一步的突破，深挖和拓展現(xiàn)有理論及研究方法以解決以上問題也具有非常大的挑戰(zhàn)。