基于核心素養(yǎng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)
——橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程第二課時(shí)

劉錦貴（廣東省陽(yáng)江市第一中學(xué)，廣東 陽(yáng)江 529500）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課內(nèi)容是新人教A 版選擇性必修第一冊(cè)第三章第一節(jié)《橢圓》.在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之前，我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，并且學(xué)習(xí)了使用定義及待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在曲線與方程中學(xué)習(xí)了直譯法求軌跡方程.本節(jié)課作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的第2 課時(shí)，重在處理課本108頁(yè)例題2 與例題3，從中得到形成橢圓的另一些方法，并從例題2 與例題3 中體會(huì)橢圓與圓之間的關(guān)系.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.加深橢圓概念的理解，進(jìn)一步探討生成橢圓的方法.

2.通過(guò)幾何直觀想象感受橢圓與圓之間的關(guān)系.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1.學(xué)生在初中時(shí)學(xué)習(xí)了直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理，需要引導(dǎo)學(xué)生將這些學(xué)過(guò)的內(nèi)容與高中必修二中垂直與斜率相乘等于-1 聯(lián)系起來(lái).

2.學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)橢圓，對(duì)橢圓的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程掌握得還不夠深入，求軌跡方程的方法思路還有待加強(qiáng).

3.在探究圓與橢圓之間的關(guān)系時(shí)，較為抽象，需借助多媒體輔助教學(xué).

四、教學(xué)支持條件分析

學(xué)校教室已安裝西沃一體機(jī)，實(shí)物投影儀，幾何畫(huà)板.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)回顧

1.定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于｜F1F2｜）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）.

2.標(biāo)準(zhǔn)方程.

焦點(diǎn)在x軸：；

焦點(diǎn)在y軸：.

鞏固練習(xí)：已知點(diǎn)B（-3，0），C（3，0），且△ABC的周長(zhǎng)為16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）.

因?yàn)椋麬B｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝16，

所以｜AB｜＋｜AC｜＝10＞｜BC｜.

由橢圓定義知點(diǎn)A的軌跡是橢圓，根據(jù)橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程可知2a＝10，c＝3.

所以b2＝a2-c2＝16，

所以頂點(diǎn)A的軌跡方程是.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，回顧求軌跡方程的一般思路，為接下來(lái)的內(nèi)容提供基礎(chǔ).

（二）學(xué)習(xí)新知

例1如圖1，在圓x2＋y2＝4 上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

圖1

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4 上，

把x0＝x，y0＝2y代入①得x2＋4y2＝4，即.

所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

練習(xí)1：（課本115 頁(yè)第9 題）如圖2，DP⊥x軸，D為垂足，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，且，當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡形狀.

圖2

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4 上，

所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.

師生活動(dòng)：

提出問(wèn)題：從例1 中你能發(fā)現(xiàn)圓與橢圓之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生回答：橢圓可以由圓壓縮得到.

從而得出形成橢圓的一個(gè)方法.

進(jìn)一步提問(wèn)1-1：回想一下有關(guān)圓的知識(shí)，你能想到什么？

學(xué)生回答：圓的定義，半徑，對(duì)稱，直徑所對(duì)的圓周角是直角，垂徑定理……

進(jìn)一步提問(wèn)1-2：回想必修二斜率知識(shí)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，與斜率有什么關(guān)系？

學(xué)生回答：斜率相乘等于-1.

利用幾何畫(huà)板演示給學(xué)生看，如圖3 所示，讓學(xué)生觀察幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示.

圖3

進(jìn)一步提問(wèn)1-3：我們通過(guò)幾何畫(huà)板演示可以看到圓上的動(dòng)點(diǎn)P滿足kAP×kBP＝-1，橢圓里面是否存在類似的結(jié)論呢？

學(xué)生回答：kAM×kBM＝-0.25，為負(fù)常數(shù).

進(jìn)一步提問(wèn)1-4：是否到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率之積為一個(gè)負(fù)常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是橢圓，請(qǐng)看例題3.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從直觀想象中觀察出圓與橢圓之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的學(xué)科素養(yǎng)，為接下來(lái)例題2 的引出做好了鋪墊.

例2 如圖4 所示，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程.

圖4

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為.

當(dāng)t＞0 時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是一條神秘曲線；

當(dāng)t＝-1 時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是圓；

當(dāng)t＜0 且t≠-1 時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

師生活動(dòng)：

提問(wèn)：你能得出什么結(jié)論呢？

學(xué)生回答：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)（不等于-1）的軌跡為橢圓，但要注意去掉不符合的兩個(gè)點(diǎn).

進(jìn)一步提問(wèn)：這個(gè)負(fù)常數(shù)t是否具備什么特點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到橢圓還有其他產(chǎn)生方式，感受橢圓蘊(yùn)含著豐富的、奇妙的性質(zhì)，促使學(xué)生掌握坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，并由淺入深，一步一步得到一些新的結(jié)論，為接下來(lái)的拓展做鋪墊.

（三）拓展思考

思考1：已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0），M是橢圓（a＞b＞0）異于A，B的一點(diǎn)，直線AM，BM的斜率之積是否為定值？如是，求出定值；反之，說(shuō)明理由.

所以直線AM，BM的斜率之積為定值.

得出一個(gè)結(jié)論：直線AM，BM的斜率之積為定值.

思考2：已知A，B是橢圓＝1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AM，BM的斜率都存在，且kAM·kBM≠0，請(qǐng)問(wèn)：直線AM，BM的斜率之積是否還為定值？如是，求出定值；反之，說(shuō)明理由.

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-x1，-y1），

所以直線AM，BM的斜率之積為定值.

得出一個(gè)結(jié)論：直線AM，BM的斜率之積為定值-.

拓展練習(xí)2：已知P是橢圓＝1（0＜m＜4）上任意一點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2（k1k2≠0），若｜k1｜＋｜k2｜的最小值為1，則橢圓E的方程為_(kāi)________________________.

圖5

解：連接BO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B1，連接AB1，

因?yàn)镸，O分別是AB，BB1的中點(diǎn)，

所以O(shè)M∥AB1，即kOM＝kAB1，

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會(huì)圓與橢圓之間的關(guān)系，并形成一些相關(guān)的結(jié)論，為以后更好地學(xué)習(xí)有關(guān)橢圓的性質(zhì)奠定基礎(chǔ).

六、教學(xué)反思

本節(jié)課由例題2 和例題3 得到形成橢圓的另外一些方法，并從得到這些方法的過(guò)程中，體會(huì)圓與橢圓之間的關(guān)系；同時(shí)，將圓中的有關(guān)結(jié)論推廣到橢圓中，得到有關(guān)橢圓的一些結(jié)論，并將得到的結(jié)論應(yīng)用于解題中.在教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)充分利用多媒體軟件輔助教學(xué)，讓學(xué)生更好地直觀想象、感受圓與橢圓的關(guān)系.