關(guān)于混凝土壩應(yīng)力監(jiān)測(cè)應(yīng)變計(jì)組應(yīng)變不平衡量調(diào)整

盧正超，蘆綺玲，王 雪，劉學(xué)強(qiáng)

（1.流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100038；2.中國(guó)水利水電科學(xué)研究院 水電中心，北京 100038；3.山西省水利發(fā)展中心，山西 太原 030002；4.邵東市邵水管理所，湖南 邵陽(yáng) 422800）

1 研究背景

高混凝土壩的應(yīng)力問(wèn)題一直是大家關(guān)注的重點(diǎn)［1-2］。根據(jù)我國(guó)現(xiàn)行的混凝土壩監(jiān)測(cè)技術(shù)規(guī)范，對(duì)于1級(jí)混凝土大壩來(lái)說(shuō)，混凝土應(yīng)力應(yīng)變觀測(cè)為必設(shè)項(xiàng)目。混凝土應(yīng)力應(yīng)變觀測(cè)的目的是了解壩體的實(shí)際應(yīng)力分布，尋找最大應(yīng)力（拉、壓應(yīng)力和剪應(yīng)力）的位置、大小和方向，評(píng)價(jià)大壩的強(qiáng)度安全程度，為大壩的運(yùn)行和加固維修提供依據(jù)。我國(guó)新建的高混凝土壩，特別是拱壩，布置了數(shù)量眾多的應(yīng)變計(jì)組。如：二灘拱壩［3］（H=240 m）布置了41組應(yīng)變計(jì)組（6向29組，3向6組，2向35組），小灣拱壩［4］（H=294.5 m）布置了148組（9向57組，7向73組，5向18組），溪洛渡拱壩［5］（H=284.5 m）布置了145組（6向69組，5向66組，3向10組），烏東德大壩［6］（H=270 m）布置了68組（9向24組，7向38組，2向6組）。

應(yīng)變計(jì)（組）觀測(cè)混凝土應(yīng)力應(yīng)變本身具有很多干擾因素，導(dǎo)致觀測(cè)成果的精度長(zhǎng)期以來(lái)存在較大爭(zhēng)議。利用應(yīng)變計(jì)組測(cè)值計(jì)算混凝土應(yīng)力的基本假定是，同組的應(yīng)變計(jì)（及無(wú)應(yīng)力計(jì)）應(yīng)符合點(diǎn)溫度條件和點(diǎn)應(yīng)力條件。點(diǎn)溫度條件指的是，同組的應(yīng)變計(jì)（及無(wú)應(yīng)力計(jì)）同測(cè)時(shí)溫度測(cè)值的極差應(yīng)在誤差范圍之內(nèi)，工程上一般按1℃控制。點(diǎn)應(yīng)力條件指的是，同組各應(yīng)變計(jì)同測(cè)時(shí)的應(yīng)變測(cè)值應(yīng)滿(mǎn)足彈性力學(xué)第一應(yīng)變不變量原理，即某點(diǎn)互相垂直的三向正應(yīng)變之和，不因選擇的方向改變而改變。所謂的應(yīng)變不平衡量，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是多余觀測(cè)帶來(lái)的不滿(mǎn)足第一應(yīng)變不變量原理的量；從物理上來(lái)說(shuō)，應(yīng)變不平衡量產(chǎn)生的原因很多，不只是觀測(cè)誤差引起的，還有諸如應(yīng)變計(jì)組的各支應(yīng)變計(jì)并不真正在一個(gè)“點(diǎn)”上，埋設(shè)時(shí)不能保證應(yīng)變計(jì)的軸線在空間上兩兩垂直等因素。因此，應(yīng)變計(jì)組應(yīng)力計(jì)算中很重要的一個(gè)步驟是應(yīng)變不平衡量的檢查和處理。不平衡量調(diào)整的目的，主要為了合理地分配誤差，得到應(yīng)變的最或是值，提高觀測(cè)精度。經(jīng)驗(yàn)表明，應(yīng)變計(jì)組的應(yīng)變不平衡量，由于各種原因最大可能達(dá)到20 με～30 με左右，這相對(duì)于大壩混凝土最大100 με左右的拉應(yīng)變來(lái)說(shuō)是很可觀的，不合適的處理可能引入不必要的系統(tǒng)性偏差。但從此前流行甚廣的專(zhuān)業(yè)書(shū)籍［7-8］和近年發(fā)表的一系列期刊文章或?qū)W位論文［9-17］來(lái)看，應(yīng)變不平衡量處理存在一些不盡合理甚至錯(cuò)誤的做法：

（1）儲(chǔ)海寧［7］給出了4向和9向應(yīng)變計(jì)組應(yīng)變不平衡量調(diào)整的公式，朱趙輝［9］等針對(duì)7向應(yīng)變計(jì)組給出了類(lèi)似的公式，但二者均未給出理論依據(jù)，基本是按照一個(gè)平面內(nèi)的四支應(yīng)變計(jì)平分其不平衡量，7向、9向應(yīng)變計(jì)組的不平衡量調(diào)整公式不滿(mǎn)足各支應(yīng)變計(jì)應(yīng)變不平衡量調(diào)整（或稱(chēng)改正數(shù)）平方和最小的原則。文獻(xiàn)［7，10-12］等采用了與此相同的公式。

（2）郭晨［13］利用最小二乘法給出了7向應(yīng)變計(jì)組應(yīng)變不平衡量調(diào)整的公式。但在構(gòu)造最小二乘函數(shù)時(shí)，實(shí)際上將共用的應(yīng)變計(jì)重復(fù)計(jì)算了一次。鑒于7向應(yīng)變計(jì)組這一測(cè)量體系只有同精度的7支儀器，共用的應(yīng)變計(jì)只是因其位置特殊，其測(cè)值用于兩個(gè)平面的計(jì)算，重復(fù)計(jì)算相當(dāng)于提高了其精度指標(biāo)，于理無(wú)據(jù)，因此其給出的改正數(shù)公式不能認(rèn)為是正確無(wú)誤的。此公式被文獻(xiàn)［14-15］直接或間接引用。

（3）黃浩［16］利用最優(yōu)化平衡法進(jìn)行應(yīng)變計(jì)組平衡，某種程度上將問(wèn)題復(fù)雜化了，在數(shù)學(xué)上實(shí)際上和文獻(xiàn)［13］的最小二乘方法一樣。文獻(xiàn)［17］的五向應(yīng)變計(jì)組不平衡量修正公式有誤。

本文利用條件平差的有關(guān)算法，來(lái)統(tǒng)一處理各向應(yīng)變計(jì)組的不平衡量調(diào)整問(wèn)題。

2 應(yīng)變計(jì)組的常見(jiàn)結(jié)構(gòu)型式

國(guó)內(nèi)混凝土大壩工程中常用的應(yīng)變計(jì)組的結(jié)構(gòu)型式有4向、5向、7向和9向，如圖1所示。多向應(yīng)變計(jì)組一般安裝在如圖2（a）所示的球形組合安裝支架上，錦屏一級(jí)大壩則采用了一種新型的如圖2（b）所示金字塔形支架［11］，支架由6 mm直徑鋼筋焊接而成，改進(jìn)了前者易受到施工破壞且方向難于保證的問(wèn)題，值得推廣應(yīng)用，其5向和9向應(yīng)變計(jì)組布置見(jiàn)圖3（拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)實(shí)際上和圖1（b）、圖1（d）等價(jià)）。二灘大壩采用了2向、3向、6向應(yīng)變計(jì)組，分別用于壩體上、下游面和內(nèi)部應(yīng)力監(jiān)測(cè)。

圖1 應(yīng)變計(jì)組常見(jiàn)結(jié)構(gòu)型式

圖2 9向變計(jì)組安裝支架

圖3 錦屏一級(jí)大壩應(yīng)變計(jì)組埋設(shè)示意圖

3 應(yīng)變計(jì)組應(yīng)變不平衡量調(diào)整的傳統(tǒng)方法

混凝土內(nèi)部任一點(diǎn)的空間應(yīng)變?yōu)槎A張量，具有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量，而同一平面內(nèi)獨(dú)立的應(yīng)變分量有3個(gè)。對(duì)于前述4向（或5向）、7向和9向應(yīng)變計(jì)組，分別有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)平面內(nèi)布置了有4支應(yīng)變計(jì)（平面內(nèi)間隔成45°角），存在多余觀測(cè)。按第一應(yīng)變不變量原理，理論上同一平面內(nèi)兩兩軸線互相垂直的4支應(yīng)變計(jì)（s1與s2互相垂直，s3與s4互相垂直，參見(jiàn)圖1（a）或圖1（b））的應(yīng)變值應(yīng)滿(mǎn)足下述條件：

實(shí)際上，由于混凝土并非理想的均勻連續(xù)介質(zhì)以及觀測(cè)誤差的存在，上式往往不能成立，而存在不平衡量Δ1。

應(yīng)變計(jì)s1～s4的改正數(shù)δ1～δ4如下式（3）：

對(duì)于圖1（c）中的7應(yīng)變計(jì)組，不平衡量為公式（4），其中Δ1、Δ2為不平衡量，應(yīng)變計(jì)s1～s7的改正數(shù)δ1～δ7如下式（5）：

對(duì)于圖1（d）中的9應(yīng)變計(jì)組，不平衡量為式（6），其中Δ1、Δ2、Δ3為不平衡量，應(yīng)變計(jì)s1～s4的改正數(shù)δ1～δ9為式（7）：

上面的式（3）、式（7）與文獻(xiàn)［7］一致，式（5）與文獻(xiàn)［9］一致。

4 基于條件平差算法的不平衡量調(diào)整

4.1 條件平差算法 在測(cè)繪學(xué)中，利用基于最小二乘原理的條件平差法對(duì)多余觀測(cè)帶來(lái)的閉合差進(jìn)行檢查和處理，其主要目的是消除觀測(cè)值中的矛盾，合理分配誤差，求出觀測(cè)值或其函數(shù)的最或是值，提高觀測(cè)精度［18］。應(yīng)該明確指出，應(yīng)變計(jì)組的不平衡量調(diào)整問(wèn)題，數(shù)學(xué)上與條件平差問(wèn)題是完全等價(jià)的。下面采用條件平差算法對(duì)各向應(yīng)變計(jì)組的不平衡量調(diào)整進(jìn)行統(tǒng)一的處理。采用以下符號(hào)：

設(shè)有n個(gè)應(yīng)變測(cè)值為：s1，s2，…，sn

調(diào)整以后的應(yīng)變值（最或是值）為：ε1，ε1，…，εn

各測(cè)值的權(quán)為：P1，P2，…，Pn

各測(cè)值的改正數(shù)為：δ1，δ2，…，δn

r個(gè)條件方程的應(yīng)變不平衡量（或稱(chēng)改正數(shù)，相當(dāng)于測(cè)繪學(xué)中的閉合差）為：Δ1，Δ2，…，Δr

設(shè)A為條件方程的系數(shù)矩陣，D為改正數(shù)矩陣，E為不平衡量矩陣，S為應(yīng)變測(cè)值矩陣，即：

根據(jù)第一應(yīng)變不變量原理，得到r個(gè)條件方程：

r個(gè)不平衡量滿(mǎn)足下式：

從而得到r個(gè)條件方程的矩陣形式：

鑒于n＞r，式（10）的解不唯一。我們需要的是改正數(shù)平方和[pdd]=min（最?。┑奈ㄒ灰唤M改正數(shù)：δ1，δ2，…，δn。根據(jù)求條件極值的原理，設(shè)函數(shù)

為求函數(shù)Φ的極值，對(duì)上式（12）的變量D求一階偏導(dǎo)，并令其為零，求解得到：

將式（13）代入式（10），并設(shè)過(guò)渡矩陣

得到聯(lián)系數(shù)矩陣：

將式（15）帶入式（13），注意到N為對(duì)稱(chēng)矩陣，即可求解得到改正數(shù)矩陣：

對(duì)上述推導(dǎo)細(xì)節(jié)感興趣的讀者，可參閱文獻(xiàn)［18］。

4.2 九向應(yīng)變計(jì)組應(yīng)變不平衡量改正數(shù) 假定各應(yīng)變計(jì)等精度，權(quán)矩陣P為單位矩陣。考慮圖1（d）中的九向應(yīng)變計(jì)組，根據(jù)其不平衡量方程（6）得到系數(shù)矩陣A：

將式（17）帶入式（14）得到過(guò)渡矩陣N，進(jìn)而得到：

改成工程上常用的形式即：

得到調(diào)整后的應(yīng)變值：εi=si+δi，i=1，…，9。

4.3 七向應(yīng)變計(jì)組應(yīng)變不平衡量改正數(shù) 同樣假定各應(yīng)變計(jì)等精度，權(quán)矩陣P為單位矩陣可略去。采用與上述相同的方式進(jìn)行演算，考慮圖1（c）的七向應(yīng)變計(jì)組，利用其不平衡量方程（4）得到系數(shù)矩陣A：

將式（20）帶入式（14）得到過(guò)渡矩陣N，進(jìn)而得到：

改成工程上常用的形式即：

得到調(diào)整后的應(yīng)變值：εi=si+δi，i=1，…，7。

4.5 幾點(diǎn)討論 根據(jù)上面的演算結(jié)果，討論如下：

（1）傳統(tǒng)的應(yīng)變不平衡量調(diào)整式（5）和式（7）的基本思路是按照一個(gè)平面內(nèi)的四支應(yīng)變計(jì)平分所在平面內(nèi)的不平衡量，沒(méi)有明確的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，不滿(mǎn)足應(yīng)變不平衡量改正數(shù)平方和最小的原則，對(duì)于不完全相同的兩個(gè)平面共用的應(yīng)變計(jì)，其改正數(shù)（如公式（5）和（7）中的δ1、δ2和δ3）屬?gòu)?qiáng)令相等取平均，沒(méi)有顧及應(yīng)變計(jì)組中各應(yīng)變計(jì)的空間相對(duì)位置關(guān)系，其他各支也同樣存在數(shù)學(xué)處理與物理意義不符問(wèn)題。

（3）從一般意義上來(lái)說(shuō)，式（19）和式（22）中代數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)清楚地表明，改正數(shù)與應(yīng)變計(jì)組中各應(yīng)變計(jì)的空間相對(duì)位置關(guān)系有關(guān)：對(duì)于兩個(gè)平面共用的應(yīng)變計(jì)，其改正數(shù)關(guān)于兩個(gè)平面的不平衡量對(duì)稱(chēng)；僅在一個(gè)平面內(nèi)的應(yīng)變計(jì)，其改正數(shù)關(guān)于另外兩個(gè)平面的不平衡量對(duì)稱(chēng)，顯然具有清晰的物理意義。

（4）鑒于式（19）和式（22）中各應(yīng)變計(jì)的改正數(shù)與應(yīng)變計(jì)的空間相對(duì)位置關(guān)系有關(guān)，對(duì)于編號(hào)與圖1中編號(hào)順序不同的應(yīng)變計(jì)組來(lái)說(shuō)，需要調(diào)整編號(hào)順序。為避免混淆或符號(hào)錯(cuò)誤，基于物理概念，可采用下述方法（利用前述算法數(shù)學(xué)上可嚴(yán)格證明，因篇幅所限，此處略去）：對(duì)9向應(yīng)變計(jì)組，以圖3所示錦屏一級(jí)大壩的九向應(yīng)變計(jì)組為例，首先寫(xiě)出不平衡方程：

（5）若應(yīng)變計(jì)組中的某支或某幾支存在測(cè)值異常，不可直接套用式（19）和式（22），而應(yīng)該根據(jù)具體退化后剩余的不變量個(gè)數(shù)的情形而定，選擇7向或5向的調(diào)整式（以及下述8向或6向調(diào)整公式）或不進(jìn)行調(diào)整。比如，圖1（d）中所示九向應(yīng)變計(jì)組的s8或s9損壞數(shù)據(jù)不可用，則式（6）中第3式無(wú)意義，s8和s9不能進(jìn)行平差調(diào)整，其他各支按7向的公式進(jìn)行調(diào)整；圖1（d）中所示九向應(yīng)變計(jì)組兩平面共用的s1損壞數(shù)據(jù)不可用時(shí)，平差調(diào)整按下式進(jìn)行（可視為8向應(yīng)變計(jì)組平差調(diào)整）：

其中，s1可以通過(guò)平面內(nèi)插補(bǔ)得到。其他各支損壞的公式可類(lèi)推。對(duì)于圖1（c）中所示七向應(yīng)變計(jì)組的s3損壞數(shù)據(jù)不可用時(shí)，平差調(diào)整按下式進(jìn)行（可視為6向應(yīng)變計(jì)組平差調(diào)整）：

其中，s3可以通過(guò)平面內(nèi)插補(bǔ)得到。圖1（c）中所示七向應(yīng)變計(jì)組的損壞s3以外的1支，按5向的公式進(jìn)行調(diào)整。其他各支損壞的公式可類(lèi)推。

（6）對(duì)于前述2向、3向、6向應(yīng)變計(jì)組，因?yàn)闆](méi)有多余觀測(cè)，不存在不平衡，自然也就沒(méi)有不平衡量調(diào)整的問(wèn)題。

5 結(jié)論

本文利用條件平差的有關(guān)算法處理多向應(yīng)變計(jì)組的不平衡量調(diào)整問(wèn)題，得到如下結(jié)果：

（1）應(yīng)變計(jì)組的不平衡量調(diào)整與測(cè)繪學(xué)的條件平差問(wèn)題在數(shù)學(xué)上完全等價(jià)，利用其算法得到的9向、7向應(yīng)變計(jì)組的應(yīng)變不平衡量調(diào)整公式，與目前習(xí)用的公式相比，具有更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和更明確合理的物理意義，有助于提高混凝土應(yīng)變監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)質(zhì)量。

（2）首次得到9向、7向應(yīng)變計(jì)組因無(wú)效及故障失效退化后的8向、6向應(yīng)變計(jì)組的應(yīng)變不平衡量調(diào)整公式。

（3）該方法也可用于研究不等精度測(cè)量問(wèn)題。

（4）在應(yīng)變不平衡量調(diào)整改正數(shù)計(jì)算前，應(yīng)檢查同組的應(yīng)變計(jì)是否滿(mǎn)足點(diǎn)溫度和點(diǎn)應(yīng)力條件。對(duì)不滿(mǎn)足點(diǎn)應(yīng)力條件的應(yīng)變計(jì)組，應(yīng)檢查各支應(yīng)變計(jì)是否異常或存在系統(tǒng)誤差；存在系統(tǒng)誤差的應(yīng)變計(jì)，視為無(wú)效儀器。根據(jù)應(yīng)變計(jì)組退化情況（排除無(wú)效及故障失效儀器），具備平差條件時(shí)，應(yīng)用本文給出的相關(guān)公式對(duì)剩余的正常工作的應(yīng)變計(jì)進(jìn)行應(yīng)變不平衡調(diào)整計(jì)算。