基于距離測度的三角模糊交互多屬性決策方法

李 霞，張紹林，逄格煒

（1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)檔案館,山東 青島 266109；2.中南大學(xué)商學(xué)院,湖南 長沙 410083；3.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)動(dòng)漫與傳媒學(xué)院,山東 青島 266109）

模糊多屬性決策能夠有效刻畫人們面對復(fù)雜決策問題時(shí)主觀認(rèn)知的不確定性，在實(shí)際生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，并相繼出現(xiàn)多種模糊變量類型。自VAN LAARHOVEN 等[1]首次使用三角模糊數(shù)表示模糊評價(jià)信息以來，國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于三角模糊多屬性決策問題進(jìn)行了大量的研究，現(xiàn)階段已取得豐富的學(xué)術(shù)成果。例如，付沙等[2]針對屬性權(quán)重和決策矩陣均為三角模糊數(shù)的多屬性決策問題，提出了一種基于集對分析的多屬性決策方法。針對動(dòng)態(tài)三角模糊多屬性決策問題，梅曉玲[3]以各時(shí)段屬性值與對應(yīng)三角模糊屬性值均值水平的離差為研究對象，通過構(gòu)建效用函數(shù)模型將離差值轉(zhuǎn)化為精確效用函數(shù)值，并由此得到方案排序。趙萌等[4]將策略權(quán)重操控問題的研究拓展到模糊多屬性決策，提出了基于可能度和貼近度公式的混合線性規(guī)劃模型來得出排名范圍，并建立決策者策略權(quán)重向量最優(yōu)模型。此外，WANG 等[5]給出綜合模糊層次分析法和模糊VIKOR 法的混合多屬性決策方法來解決可持續(xù)供應(yīng)鏈第三方物流供應(yīng)商選擇問題。經(jīng)文獻(xiàn)梳理發(fā)現(xiàn)，關(guān)于三角模糊多屬性決策問題的研究還存在一定局限性，如現(xiàn)有排序方法無法確定兩個(gè)不同三角模糊數(shù)的大小關(guān)系，已有三角模糊多屬性決策方法的研究主要是基于屬性相互獨(dú)立的前提下展開的，通常情況下，決策屬性指標(biāo)體系應(yīng)具有獨(dú)立性，但在實(shí)際問題中，屬性指標(biāo)間的獨(dú)立性常常難以滿足。例如，若用價(jià)格、性能和售后3 個(gè)屬性指標(biāo)選擇設(shè)備，一般來說，性能和售后好的設(shè)備價(jià)格高，這種屬性間存在的交互作用使得屬性權(quán)重不滿足可加性[6]。因此，本文對屬性間存在交互作用的三角模糊多屬性決策問題進(jìn)一步展開研究。

1 預(yù)備知識

這里首先介紹一下關(guān)于三角模糊數(shù)及可信性分布的基本知識，以便進(jìn)行后續(xù)探討。

定義1[1]定義在實(shí)數(shù)域 R上的模糊數(shù)=(aL,aM,aU),其中aL≤aM≤aU，稱為三角模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)μa?:R →[0,1]表示為：

定義2[7]設(shè) Θ是一個(gè)非空集合，P(Θ)為 Θ的冪集。Cr是定義在P(Θ)上的集函數(shù)。若Cr滿足以下四條公理，則稱Cr是一個(gè)可信性測度。

公理1（規(guī)范性）Cr{Θ}=1。

公理2（單調(diào)性）如果A?B，則有Cr{A}≤Cr{B}。

公理3（自對偶性）對于任意A∈P(Θ)，Cr{A}+Cr{AC}=1。

三元組(Θ,P(Θ),Cr)稱為可信性空間。

定義3[8]一個(gè)模糊變量就是指從可信性空間(Θ,P(Θ),Cr)到實(shí)數(shù)集上的函數(shù)。

定義4[9]對于一個(gè)模糊變量ξ，其可信性分布Ψ :R →[0,1]定義為

也就是說，可信性分布Ψ(x)反映的是模糊變量ξ取值小于或等于x的可信度。結(jié)合三角模糊數(shù)=(aL,aM,aU)隸屬函數(shù)表達(dá)式,我們可以得到其可信性分布

相應(yīng)的直觀表示，如圖1 所示。

圖1 三角模糊數(shù)的可信性分布

2 三角模糊數(shù)的排序方法

甘庭聰?shù)萚12]利用可能度研究三角模糊數(shù)的排序方法，根據(jù)不同情況，分別給出了相應(yīng)的可能度計(jì)算公式。對于三角模糊數(shù)=(0.1,0.4,0.5)和=(0.2,0.3,0.5)，按照文中的分類規(guī)則，應(yīng)采用的可能度公式為

針對上述一些排序方法的局限性，這里結(jié)合可信性分布理論給出新的排序方法。

期望值反映了模糊數(shù)的中心趨向，通常用來表示模糊數(shù)的大小?；谇懊骊P(guān)于三角模糊數(shù)的可信性分布，LIU 等[7]給出了三角模糊數(shù)a?的期望值直觀上看，圖1 所示的可信性分布面積反映了三角模糊數(shù)的不確定性，當(dāng)面積為0 時(shí)，三角模糊數(shù)退化為實(shí)數(shù)。對于三角模糊數(shù)容易得到其可信性分布的面積

按照本文的三角模糊數(shù)排序方法可以有效解決現(xiàn)有方法無法區(qū)分不同三角模糊數(shù)大小的問題。

證明充分性顯然成立?，F(xiàn)證必要性，若，由以上比較規(guī)則，我們有

求解方程組，可得aL=bL，aM=bM，aU=bU。定理得證。

3 三角模糊數(shù)的距離測度

對于區(qū)間數(shù)IRPINO等[13]基于一維均勻分布視角，給出了以下距離公式：

4 考慮交互作用的模糊多屬性決策方法

4.1 基于Shapley 指數(shù)和2-可加測度的三角模糊信息集結(jié)算子

傳統(tǒng)的多屬性決策方法中的信息集結(jié)往往建立在屬性相互獨(dú)立、互不影響的假設(shè)前提之上，而現(xiàn)實(shí)問題中的多個(gè)決策屬性間往往是相互關(guān)聯(lián)的。為了應(yīng)對屬性之間的交互作用現(xiàn)象，SUGENO[14]提出了模糊測度的概念。

定義5[14]有限集合N={1,2,···,n}上的一個(gè)模糊測度μ:P(N)→[0,1]滿足：

1)μ(φ)=0,μ(N)=1；

2)若A,B∈P(N)且A?B，則μ(A)≤μ(B)。

其中P(N)是N的冪集。

基于可加測度的集結(jié)算子不再適于模糊測度的情形，因此，可以采用Choquet 積分進(jìn)行信息集結(jié)。

定義6[15]f是定義在X={x1,x2,···,xn}上的非負(fù)實(shí)值函數(shù)，μ是N上的一個(gè)模糊測度，函數(shù)f關(guān)于μ的Choquet 積分定義為：

其中 (·)表示X中元素下標(biāo)的一個(gè)置換，使得f(x(1))≤f(x(2))≤···≤f(x(n)),且A(i)={x(i),x(i+1),···,x(n)}，A(n+1)=φ。

由定義5 可知，模糊測度定義在集合的冪集上，當(dāng)決策屬性數(shù)量為n個(gè)時(shí)，需要確定 2n個(gè)參數(shù)，這種復(fù)雜性限制了其實(shí)際應(yīng)用。為此，文獻(xiàn)[16]提出了k-可加模糊測度，隨著k的增加，模糊測度的參數(shù)也越多，其表現(xiàn)能力就越強(qiáng)，而2-可加測度只涉及到屬性的相對重要性和2 個(gè)屬性間交互性，較好解決了復(fù)雜性和表現(xiàn)能力之間的矛盾，在實(shí)際應(yīng)用中得到了認(rèn)可[17]。因此，我們進(jìn)一步采用2-可加測度來代替一般的模糊測度。

定理2[16]設(shè) μ為N={1,2,···,n}上的一個(gè)模糊測度,則 μ為一個(gè)2-可加測度，當(dāng)且僅當(dāng)對所有的i,j∈N，都存在 μ(i) 和 μ(i,j)滿足以下條件:

1)μ(i)≥0(?i∈N),

2)∑{i,j}?Nμ(i,j)?(|N|?2)∑i∈Nμ(i)=1,

3)∑i∈Sj(μ(i,j)?μ(i))≥(|S|?2)μ(j)(?S?N),其中j∈S且|S|≥2。

Shapley 函數(shù)是合作博弈論中一個(gè)重要的分配指標(biāo)，根據(jù)各參與者對其所參與聯(lián)盟的邊際貢獻(xiàn)的期望值來確定最優(yōu)收益分配方案。而在實(shí)際多屬性決策問題中，也存在屬性間相互關(guān)聯(lián)、相互依賴的現(xiàn)象。因此，文獻(xiàn)[18]將Shapley 函數(shù)引入到模糊測度中，用來反映多屬性決策問題的屬性權(quán)重。為方便使用，MENG 等[19]給出了如下關(guān)于2-可加測度的Shapley 指數(shù)表達(dá)式：

基于以上分析，我們給出如下2 可加Shapley三角模糊Choquet 積分集結(jié)(2ASTFCA)算子：

容易驗(yàn)證，該算子滿足冪等、有界及單調(diào)性。

4.2 求解最優(yōu)2-可加測度的規(guī)劃模型

對于一個(gè)三角模糊多屬性決策問題，令方案集A={a1,a2,···,am}，屬性集C={c1,c2,···,cn}。方案ai在屬性cj下的屬性值為定義在[0,1]上的三角模糊數(shù)即相應(yīng)的決策矩陣記為R=當(dāng)屬性權(quán)重完全已知時(shí)，可以利用集結(jié)算子求得方案綜合屬性值，而更多的情形是，只有關(guān)于屬性的部分權(quán)重信息，記為Wj(j=1,2,···,n)。

在多屬性決策中，方案之間的離差越大就越容易區(qū)分方案優(yōu)劣關(guān)系。為得到屬性權(quán)重，需要先求得各屬性的2-可加測度。為此，基于前面定義的三角模糊數(shù)距離測度，我們以各個(gè)方案之間離差最大化為目標(biāo)，構(gòu)建規(guī)劃模型(M-1)：

其中，Φj(μ,C)為屬性cj的Shapley 值，μ為定義在屬性集C上的2-可加測度，d為三角模糊數(shù)之間的距離測度，Wj為屬性cj的部分權(quán)重信息。

通過求解模型(M-1)，可以得到關(guān)于屬性集的最優(yōu)2-可加測度，然后由式(9)求得各屬性的Shapley 值并作為屬性權(quán)重。

4.3 決策步驟

基于上述分析，我們給出以下決策步驟。

第3 步：通過模型(M-1)確定屬性集C上的2-可加測度。

第4 步：由公式(9)計(jì)算各屬性cj的Shapley 值。

第5 步：應(yīng)用2ASTFCA 算子得到各方案ai的綜合三角模糊評價(jià)值。

第6 步：采用本文給出的三角模糊數(shù)排序規(guī)則進(jìn)行方案排序。

5 算例分析

作為深度開發(fā)農(nóng)業(yè)資源潛力、增加農(nóng)民收入的一種創(chuàng)新途徑，休閑農(nóng)業(yè)近年來已經(jīng)進(jìn)入一個(gè)全面發(fā)展的時(shí)期。青島市作為傳統(tǒng)旅游城市，將休閑農(nóng)業(yè)作為農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級突破口，取得了顯著的成效。已初步構(gòu)建起“食、住、行、游、購、娛”為一體的休閑農(nóng)業(yè)格局。但由于休閑農(nóng)業(yè)項(xiàng)目呈個(gè)體小型化和區(qū)域分散性特點(diǎn)，存在著休閑農(nóng)業(yè)旅游信息獲取難、不準(zhǔn)確、無法滿足個(gè)性化需求，高峰時(shí)期不能提供導(dǎo)流分流及缺少及時(shí)有效的問題反饋機(jī)制等問題，極大地影響了游客旅游體驗(yàn)，并在一定程度上制約了青島休閑農(nóng)業(yè)的產(chǎn)業(yè)化發(fā)展。隨著第五代移動(dòng)通訊(5G)及物聯(lián)網(wǎng)等現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，通過構(gòu)建青島市休閑農(nóng)業(yè)綜合信息服務(wù)平臺能夠有效解決上述問題。目前市場上能夠提供該平臺開發(fā)的軟件開發(fā)方較多，經(jīng)過初步篩選，得到了4 家開發(fā)方以做進(jìn)一步評價(jià)，記為A={a1,a2,a3,a4}。關(guān)于休閑農(nóng)業(yè)綜合信息服務(wù)平臺的評價(jià)主要圍繞安全穩(wěn)定性、功能完備性、兼容性、可維護(hù)性、經(jīng)濟(jì)性5 個(gè)屬性，記為C={c1,c2,c3,c4,c5}，各屬性的重要性范圍為：W1=[0.2,0.25]，W2=[0.15,0.25]，W3=[0.15,0.2]，W4=[0.2,0.3]，W5=[0.1,0.2]。決策者以[0,1]上的三角模糊數(shù)對方案在各屬性下進(jìn)行評價(jià)，并得到如下決策矩陣

由于所有屬性均為效益型，無需進(jìn)行規(guī)范化處理。由模型(M-1)，可得到：

利用Lingo 軟件求解該模型，可得到屬性集上的最優(yōu)2-可加測度：

再由公式(9)求得各屬性的Shapley 值：

然后通過2ASTFCA 算子集結(jié)得到各方案的綜合屬性值：

最后按照本文給出的三角模糊數(shù)排序方法，可得到4 個(gè)方案的排序結(jié)果為：a3?a1?a2?a4。

6 結(jié)束語

為確保三角模糊多屬性決策問題能夠得到更準(zhǔn)確的決策結(jié)果，本文基于可信性分布理論提供了一種關(guān)于三角模糊數(shù)的新排序方法。通過擴(kuò)展區(qū)間數(shù)的Wasserstein 距離，給出了三角模糊數(shù)的距離公式。針對屬性間的交互作用，定義了基于2-可加測度和Shapley 指數(shù)的集結(jié)算子對三角模糊決策信息進(jìn)行集結(jié)，并給出在部分權(quán)重信息下通過構(gòu)建規(guī)劃模型求解最優(yōu)2-可加測度的方法。最后，結(jié)合青島市休閑農(nóng)業(yè)綜合信息服務(wù)平臺開發(fā)方選擇問題，說明了所給方法的求解過程及有效性。