橢圓曲線y2=3px(x2+2)的正整數(shù)點(diǎn)

萬(wàn) 飛，鄧婭容，汪 越

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

橢圓曲線y2=3px(x2+2)的正整數(shù)點(diǎn)

萬(wàn) 飛，鄧婭容，汪 越

（紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199）

橢圓曲線；正整數(shù)點(diǎn)；同余；Legendre符號(hào)

1 引言及相關(guān)結(jié)論

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論中很重要的問(wèn)題[1-9]。對(duì)于形如

的橢圓曲線方程，當(dāng)=2時(shí)，變?yōu)?/p>

的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，目前還沒(méi)有相關(guān)結(jié)論，本文主要討論橢圓曲線(2)的正整數(shù)點(diǎn)情況。

2 重要引理

3 相關(guān)定理

4 定理證明

表1 (3)式分解的8種情形

下面分別討論這8種情形下橢圓曲線(2)的整數(shù)點(diǎn)的情況。

則(4)式不成立。因此，情形Ⅰ不成立，即橢圓曲線(2)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

情形Ⅱ 仿情形I證明知該情形不成立，即橢圓曲線(2)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

情形Ⅴ 仿情形Ⅰ證明知該情形不成立，即橢圓曲線(2)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

情形Ⅵ 仿情形Ⅰ證明知該情形不成立，即橢圓曲線(2)無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

即

由引理1知，方程(6)至多有1組正整數(shù)解，故橢圓曲線(2)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

即

由引理2知，方程(7)至多有1組正整數(shù)解，故橢圓曲線(2)至多有1個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

綜上所述，定理得證。

Integer Points of Elliptic Curves2=3(2+2)

WAN Fei, DENG Ya-rong, WANG Yue

(College of Teachers Education, Honghe University, Mengzi 661199, China)

It was proved that the elliptic curve in title at most has two positive integer points with the help of the properties ofcongruence and Legendre symbol.

elliptic curve; positive integral point; congruence; Legendre symbol

O156

A

1009-9115(2021)06-0001-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2021.06.001

紅河學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目（SC1943），云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目（2019J1182）

2020-12-16

2021-05-04

萬(wàn)飛（1969-），女，云南建水人，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育及初等數(shù)論。

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）