圓型限制性三體問題的動(dòng)力學(xué)特征

劉文芳，胡詩楊,2，劉福窯

（1.上海工程技術(shù)大學(xué) 數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，上海 201620；2.廣西大學(xué) 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，南寧 530004）

近幾年，激光干涉引力波天文臺(tái)（LIGO）陸續(xù)發(fā)現(xiàn)數(shù)十個(gè)引力波事件[1]，證實(shí)了一個(gè)世紀(jì)前愛因斯坦的預(yù)言.目前，捕獲的引力波均由兩個(gè)大質(zhì)量天體并和所輻射，即波源為雙星系統(tǒng)，這類系統(tǒng)廣泛存在于宇宙之中.事實(shí)上，宇宙中還可能存在由3 個(gè)天體組成的孤立系統(tǒng)，這類系統(tǒng)中的天體在相互繞轉(zhuǎn)的過程中同樣會(huì)輻射引力波，在引力波探測(cè)技術(shù)不斷發(fā)展的今天，利用引力波探測(cè)三體系統(tǒng)成為一種可能.

要利用引力波這一媒介來研究三體問題，熟知三體模型及其軌道特征是先決條件.三體系統(tǒng)[2?3]的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)極不穩(wěn)定，系統(tǒng)內(nèi)天體容易發(fā)生相互碰撞或逃逸現(xiàn)象.目前只能通過數(shù)學(xué)手段推斷三體系統(tǒng)存在“8 字”型、“蝴蝶”型軌道[4?6]，但在宇宙中并沒有發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的光學(xué)、電磁對(duì)應(yīng)體.當(dāng)3 個(gè)天體中有1 個(gè)天體的質(zhì)量遠(yuǎn)小于另外兩個(gè)天體的質(zhì)量，即兩大質(zhì)量天體不受第三天體的引力影響，這類三體系統(tǒng)稱為限制性三體問題[7?8].限制性三體問題在宇宙中有跡可循，如地球、月球、人造衛(wèi)星組成的三體系統(tǒng)中，人造衛(wèi)星對(duì)地球和月球的引力可以忽略不計(jì)，此系統(tǒng)可看作限制性三體問題[9]；太陽、木星及木星的任何一顆衛(wèi)星組成的三體也可作為限制性三體問題來處理.

限制性三體問題按照兩主天體相互繞轉(zhuǎn)的軌跡又可分為圓型限制性三體問題和橢圓型限制性三體問題[10].關(guān)于圓型限制性三體問題的研究較為熱門.張漢清等[11]借助相空間中的一類流函數(shù)，提出一種計(jì)算圓型限制性三體問題的周期性軌道的方法；陳云龍等[12]利用力梯度辛算法求解圓型限制性三體問題的哈密頓正則方程，并分析該模型的混沌軌道；石紹伍等[13]研究受扁率攝動(dòng)和輻射攝動(dòng)影響的圓型限制性三體問題的軌道穩(wěn)定性，并指出兩種攝動(dòng)會(huì)對(duì)混沌軌道造成影響.圓型限制性三體問題存在拉格朗日平動(dòng)點(diǎn)，如兩個(gè)三角平動(dòng)點(diǎn)和3 個(gè)共線平動(dòng)點(diǎn).當(dāng)航天器或天體運(yùn)動(dòng)至平動(dòng)點(diǎn)時(shí)，達(dá)到引力平衡狀態(tài)，此時(shí)平動(dòng)點(diǎn)上的物體和兩主天體保持相對(duì)靜止.李翔宇等[14]分析圓型限制性三體問題的零速度曲面，研究平動(dòng)點(diǎn)附近的不同周期性軌道.圓型限制性三體問題在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用極為廣泛，航空航天的發(fā)展與該模型的軌道特征、拉格朗日平動(dòng)點(diǎn)密切相關(guān)，所以，研究此類問題的軌道動(dòng)力學(xué)對(duì)發(fā)展近地衛(wèi)星、繞月衛(wèi)星、深空探測(cè)器有重要意義.

本研究基于圓型限制性三體問題的哈密頓函數(shù)，利用數(shù)值積分算法模擬不同參數(shù)、初始條件的軌道，分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)零速度曲線的影響.同時(shí)，本研究尋找了大量模型的混沌軌道，研究混沌軌道與系統(tǒng)參數(shù)、初始條件之間的聯(lián)系，并闡述混沌軌道產(chǎn)生的原因.

1 圓型限制性三體問題的動(dòng)力學(xué)模型

三體問題由3 個(gè)天體構(gòu)成，各天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及整個(gè)體系的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)由天體之間的萬有引力決定.對(duì)于每一個(gè)天體，均需要3 維坐標(biāo)和3 維動(dòng)量來描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).所以，三體問題是一個(gè)包含18 個(gè)變量的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).在三體問題的基礎(chǔ)上，規(guī)定其中兩天體幾乎占據(jù)體系所有質(zhì)量，并繞質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；第三天體在兩主天體的軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量及對(duì)兩主天體的引力作用可以忽略不計(jì).那么，三體問題轉(zhuǎn)變?yōu)閳A型限制性三體問題.

1.1 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的三體運(yùn)動(dòng)方程

三體系統(tǒng)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)示意圖如圖1所示.圖中，3 個(gè)天體分別標(biāo)記為Ma、Mb和Mc，對(duì)應(yīng)質(zhì)量為ma、mb和mc(規(guī)定ma>mb?mc)，那么體系的質(zhì)量參量μ=mb/(ma+mb).取兩主天體Ma和Mb的質(zhì)心為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系原點(diǎn).兩主天體分別位于(?μ,0)和(1 ?μ,0)，以角速度ω繞坐標(biāo)系原點(diǎn)做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)(藍(lán)色虛線軌跡).同時(shí)，整個(gè)坐標(biāo)系以角速度ω做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(灰色虛線軌跡).兩主天體在運(yùn)動(dòng)過程中始終處于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系x軸上，并與初始坐標(biāo)完全一致.采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來描述圓型限制性三體問題，可以忽略體系中兩主天體的運(yùn)動(dòng)，只需關(guān)注第三天體Mc，將原本具有18 個(gè)變量的三體問題簡(jiǎn)化為只含有4 個(gè)變量的動(dòng)力學(xué)模型，為進(jìn)一步研究提供便利.

圖1 三體系統(tǒng)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Sketch map of motion of three-body system in rotating frame

設(shè)第三天體Mc的坐標(biāo)為(x,y)，可知Mc與兩主天體Ma、Mb的距離分別為r1、r2，公式為

根據(jù)式(1)，寫出第三天體在兩主天體作用下的引力勢(shì)能U(x,y)和有效勢(shì)V(x,y)，公式為

式中：vx和vy分別為第三天體在x和y方向的速度，可得第三天體的拉格朗日量為

用廣義動(dòng)量px、py代替式(4)中的速度，并通過勒讓德變換，可得第三天體的無量綱化哈密頓量為

上述哈密頓量的正則方程[15]為

式(6)也為Mc天體的演化方程.給定Mc的初始坐標(biāo)及動(dòng)量(x0,y0,px0,py0)，式(6)兩邊積分可得Mc任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).此外，觀察式(5)不難發(fā)現(xiàn)，哈密頓量中含有ypx和xpy，這是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系附加給第三天體的坐標(biāo)，即動(dòng)量耦合項(xiàng)(當(dāng)采用慣性坐標(biāo)系時(shí)，這一耦合部分將消失).由于存在此項(xiàng)，使得哈密頓量式(5)中的坐標(biāo)、動(dòng)量不可分離，最終導(dǎo)致式(6)不存在解析解.盡管如此，依然可以利用數(shù)值積分算法，如龍格?庫塔法、辛算法求解正則方程式(6)，得到第三天體Mc的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而分析相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)特征.

1.2 雅可比積分和零速度曲線

在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，第三天體的哈密頓量不顯含時(shí)間t，所以此哈密頓量為守恒量，并與第三天體的能量等價(jià).根據(jù)哈密頓量的全微分，可知哈密頓量與雅可比積分存在代數(shù)關(guān)系為

式中：Cj為雅可比常數(shù)，在一定程度上表征第三天體的能量大小.將雅可比積分中(px+y)和(py?x)固定為0(即速度為0)，可得到第三天體的零速度曲線方程為

由式(8)可得，當(dāng)給定雅可比常數(shù)Cj時(shí)，無論第三天體如何演化，其坐標(biāo)(x,y)必須滿足零速度曲線方程，即雅可比常數(shù)Cj的取值會(huì)影響第三天體的運(yùn)動(dòng)范圍.取雅可比常數(shù)Cj=3.200，質(zhì)量參量μ=0.012 30，根據(jù)式(8)可得到第三天體的零速度曲線如圖2(a)所示.

圖2 不同參數(shù)下第三天體的運(yùn)動(dòng)區(qū)域和禁行域示意圖Fig.2 Sketch maps of motion region and forbidden zone of the third body for different parameters

圖中，黑色圓點(diǎn)為兩主天體；紅色區(qū)域的邊界線為零速度曲線.當(dāng)?shù)谌祗w朝向紅色區(qū)域運(yùn)動(dòng)并到達(dá)零速度曲線時(shí)，速度變?yōu)?.此時(shí)，第三天體將在兩主天體的引力作用下遠(yuǎn)離紅色區(qū)域.顯然，第三天體不可能越過零速度曲線到達(dá)紅色區(qū)域內(nèi)部，所以此紅色封閉區(qū)域也稱為第三天體的禁行域.圖2(a)中，禁行域?qū)⒄麄€(gè)軌道平面大致分為3 個(gè)區(qū)域.其中，A 區(qū)域和B 區(qū)域分別為兩主天體周圍的軌道平面；C 區(qū)域?yàn)槌鼳、B 兩區(qū)域及禁行域以外的所有軌道平面.不難發(fā)現(xiàn)，A 區(qū)域和B 區(qū)域由(0.6,0)坐標(biāo)點(diǎn)附近的“通道”相連，但與C 區(qū)域完全隔絕.這說明第三天體的初始位置決定后續(xù)的運(yùn)動(dòng)范圍：當(dāng)初始位置位于A、B 兩區(qū)域內(nèi)，第三天體的運(yùn)動(dòng)范圍被限制在這兩區(qū)域之中，無法產(chǎn)生逃逸行為；當(dāng)初始位置位于C 區(qū)域時(shí)，第三天體的后續(xù)運(yùn)動(dòng)只能在C 區(qū)域內(nèi)，此情況下可能發(fā)生逃逸現(xiàn)象.

不同參數(shù)對(duì)應(yīng)不同的零速度曲線，相應(yīng)的禁行域也會(huì)發(fā)生變化.在圖2(a)的基礎(chǔ)上，略微減小雅可比常數(shù)Cj可得此情況下的第三天體禁行域，如圖2(b)所示.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，A、B、C 區(qū)域均被連通.這意味著即使第三天體的初始位置在兩主天體附近，其在后續(xù)運(yùn)動(dòng)過程中也可以到達(dá)C 區(qū)域，甚至產(chǎn)生逃逸行為.同理，在圖2(a)的基礎(chǔ)上，略微減小質(zhì)量參量μ，可得此參數(shù)下的禁行域，如圖2(c)所示.這時(shí)禁行域?qū)⒄麄€(gè)軌道平面分割為互不相通的3 個(gè)區(qū)域，說明第三天體的運(yùn)動(dòng)受到更多約束.綜上所述，不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)應(yīng)不同的零速度曲線和禁行域；較小的質(zhì)量參量或較大的雅可比常數(shù)將縮小第三天體的運(yùn)動(dòng)區(qū)域；改變系統(tǒng)參數(shù)將影響第三天體的軌道特征.

2 圓型限制性三體問題的軌道動(dòng)力學(xué)

雅可比常數(shù)Cj和質(zhì)量參量μ只是在一定程度上限制了第三體的運(yùn)動(dòng)范圍.對(duì)第三體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡起決定作用的是該天體的初始條件.本節(jié)選取數(shù)條不同初始條件、不同參數(shù)的軌道，通過數(shù)值積分算法，模擬各軌道的演化，并分析其中部分軌道的動(dòng)力學(xué)特征.

2.1 軌道構(gòu)型

在模型(5)中，取12 條不同軌道，各軌道的雅可比常數(shù)Cj和初始橫坐標(biāo)x0見表1.每條軌道的質(zhì)量參量μ固定為0.001 00，初始縱坐標(biāo)y和動(dòng)量px均為0，根據(jù)式(5)求出初始py值，采用八九階變步長龍格?庫塔法[RKF8(9)]①八九階變步長龍格?庫塔法[RKF8(9)]是一種高精度、可自適應(yīng)步長的數(shù)值積分算法.此算法可以在不同的積分步數(shù)中，自動(dòng)選擇最優(yōu)步長，盡可能減少舍入誤差，并在一定積分時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)守恒量（如本文的雅可比常數(shù)Cj）誤差維持在機(jī)器精度.積分式(6)，可以得上述12 條軌道的演化軌跡，如圖3 至圖5所示.采用此算法可以得到高精度的數(shù)值解，避免在后續(xù)分析中對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征產(chǎn)生誤判.

圖3 雅可比常數(shù)Cj=3.003 時(shí)不同軌道示意圖Fig.3 Sketch maps of different orbits when Jacobi constant Cj=3.003

圖4 雅可比常數(shù)Cj=3.010 時(shí)不同軌道示意圖Fig.4 Sketch maps of different orbits when Jacobi constant Cj=3.010

圖5 雅可比常數(shù)Cj=3.050 時(shí)不同軌道示意圖Fig.5 Sketch maps of different orbits when the Jacobi constant Cj=3.050

表1 不同測(cè)試軌道的雅克比常數(shù)及初始橫坐標(biāo)參數(shù)Table 1 Parameters of Jacobian constant and initial x-coordinate values for different test orbits

圖3 中，黑色圓點(diǎn)表示兩主天體.其中，較大質(zhì)量主天體MA位于(?0.001,0)；另一主天體MB(質(zhì)量占整體的0.001)位于(0.999,0)；紅色封閉區(qū)域和藍(lán)色實(shí)線分別為第三天體的禁行域和運(yùn)動(dòng)軌跡.當(dāng)?shù)谌祗w的起始點(diǎn)靠近較大質(zhì)量主天體MA時(shí)，第三天體會(huì)在該主天體附近運(yùn)動(dòng)，且能運(yùn)動(dòng)至距離該主天體較近的位置.由于遠(yuǎn)處的主天體MB質(zhì)量較小，對(duì)第三天體的引力也較小，無法將第三天體吸引至自身周圍運(yùn)動(dòng).所以，盡管此時(shí)禁行域沒有隔絕兩主天體周圍的軌道平面，第三天體也無法在x0較小的情況下在兩主天體附近做往返運(yùn)動(dòng)，如圖3(a)所示.將x0增大至0.35，此時(shí)第三天體不僅不能繞較小質(zhì)量的主天體MB運(yùn)動(dòng)，也無法在MA的較低軌道上運(yùn)行，如圖3(b)所示.當(dāng)?shù)谌祗w的起始點(diǎn)位于(?1.1,0)時(shí)，其后續(xù)會(huì)沿著整個(gè)禁行域的邊界運(yùn)動(dòng).盡管禁行域在x軸負(fù)半平面留有諸多可供第三天體通過的“缺口”，第三天體仍然無法任意通過這些“缺口”，如圖3(c)所示.當(dāng)?shù)谌祗w的起始點(diǎn)在MB附近時(shí)，第三天體的運(yùn)動(dòng)不同于前3 種情況，不再局限于某一區(qū)域內(nèi)，而是存在于更廣闊的軌道平面；且此時(shí)第三天體不會(huì)運(yùn)動(dòng)至MA附近，如圖3(d)所示.綜觀圖3 不難發(fā)現(xiàn)，此參數(shù)下第三天體的軌道構(gòu)型大致分為3 類：環(huán)繞MA的擬周期軌道(包含高軌道和低軌道)，環(huán)繞禁行域的擬周期軌道，在禁行域外部(遠(yuǎn)離兩主天體一側(cè))的有界軌道.

由圖4 可見，當(dāng)雅可比常數(shù)Cj由3.003 增大至3.010 時(shí)，第三天體的軌道構(gòu)型的類別并沒有明顯改變.由圖4(a)和(b)可見，第三天體在大質(zhì)量主天體MA附近釋放后，將被限制在該主天體周圍，圍繞該主天體做擬周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)谌祗w在靠近較小質(zhì)量主天體MB附近釋放時(shí)，其后續(xù)將沿著禁行域的邊界運(yùn)動(dòng)，規(guī)律與圖3(c)類似.當(dāng)x0增大至1.05，即第三天體在MB右邊釋放.此時(shí)第三天體受到來自兩主天體的引力均較小，可在自身具有一定初速度的情況下運(yùn)動(dòng)至較遠(yuǎn)區(qū)域，如圖4(d)所示.繼續(xù)增大雅可比常數(shù)Cj至3.050，此時(shí)第三天體的軌道構(gòu)型與之前相比變化較大.由圖5 可見，禁行域?qū)⒄麄€(gè)軌道平面分割為3 個(gè)互相獨(dú)立的區(qū)域，第三天體根據(jù)初始位置被限制在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng).當(dāng)x0位于禁行域內(nèi)側(cè)(靠近MA一側(cè))時(shí)，第三天體的軌跡也只存在于此區(qū)域，如圖5(a)和圖5(b)所示.此參數(shù)下，第三天體存在只圍繞較小質(zhì)量主天體運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖5(c)所示.

綜上，圓型限制性三體問題中，第三天體的軌道構(gòu)型與雅可比常數(shù)及初始坐標(biāo)均有關(guān)聯(lián)，分析這種關(guān)系可以提高航天器的入軌成功率及效率，在航空航天中具有重大意義[16].地球、月球、航天器組成的三體系統(tǒng)可近似作為圓型限制性三體問題來處理.地球、月球分別對(duì)應(yīng)兩主天體，航天器可看作第三天體，其對(duì)兩主天體的引力作用可以忽略.雅可比常數(shù)和第三天體初始坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)航天器的能量和變軌位置，可以根據(jù)需要的軌道類型(繞月軌道、地球近地軌道等)，通過數(shù)值模擬來精確計(jì)算出航天器的關(guān)機(jī)點(diǎn)和變軌點(diǎn)，以及成功入軌所需要的能量.

2.2 混沌軌道

拉普拉斯決定論認(rèn)為，一個(gè)系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的全部狀態(tài)參數(shù)可以決定系統(tǒng)的演化過程.在哈密頓動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，如果軌道的演化規(guī)律由軌道的初始狀態(tài)決定，那么就說此條軌道符合拉普拉斯決定論.這類軌道具有嚴(yán)格的周期性或擬周期性，稱為有序軌道.還有一種軌道，在給定初始狀態(tài)后，其后續(xù)的演化表現(xiàn)出隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性，這類軌道對(duì)初始條件極為敏感且不具備周期性，稱為混沌軌道.混沌軌道(混沌狀態(tài))是目標(biāo)物體的重要?jiǎng)恿W(xué)特征之一，尋找這類軌道是分析目標(biāo)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)鍵.

可以借助諸多混沌指標(biāo)來判斷軌道狀態(tài).常見的混沌指標(biāo)有最大李雅普諾夫指數(shù)、快速李雅普諾夫指標(biāo)、較小排列指標(biāo)、余弦指標(biāo)和功率譜等.其中，最大李雅普諾夫指數(shù)判斷結(jié)果較為準(zhǔn)確，被廣泛應(yīng)用于分析物體的非線性現(xiàn)象.常用于計(jì)算最大李雅普諾夫指數(shù)的方法有兩種：一是利用兩鄰近軌道的相空間距離之差來計(jì)算的兩粒子法[17?18]；二是通過求解運(yùn)動(dòng)方程的變分方程，利用變分來得到最大李雅普諾夫指數(shù)的變分法.本研究采用變分法計(jì)算最大李雅普諾夫指數(shù)λ，相應(yīng)的表達(dá)式[19]為

式中：δ(t)和δ(0)分別為軌道在t時(shí)刻和0 時(shí)刻的切向量，且δ(0)=1.式(9)說明，最大李雅普諾夫指數(shù)λ是一種衡量軌道偏移程度的指標(biāo).若軌道處于混沌狀態(tài)，那么軌道的切向量變化劇烈，這種劇烈程度會(huì)體現(xiàn)在變分δ(t)中，并導(dǎo)致λ趨于一個(gè)正數(shù)；有序軌道的δ(t)和δ(0)時(shí)刻保持近似相等，λ趨于0.因此，可以通過λ值判斷目標(biāo)軌道的狀態(tài).

根據(jù)劉維爾可積定理，哈密頓量式(5)是一個(gè)含有兩個(gè)自由度的保守系統(tǒng)，但只存在一個(gè)首次積分式(7)，說明圓型限制性三體問題是一個(gè)不可積系統(tǒng)，可能存在混沌軌道①系統(tǒng)不可積是存在混沌軌道的必要非充分條件..固定雅可比常數(shù)Cj=3.050，質(zhì)量參量μ=0.001 00，分別取4 條初始值不同的軌道，計(jì)算每條軌道的最大李雅普諾夫指數(shù)，如圖6 所示.當(dāng)log10λ隨積分時(shí)間t的增加而不斷減小時(shí)，λ趨于0，對(duì)應(yīng)有序軌道，圖中黑色軌道和紅色軌道；當(dāng)log10λ趨于穩(wěn)定時(shí)，λ為正數(shù)，對(duì)應(yīng)兩混沌軌道，圖中綠色軌道和藍(lán)色軌道.圖6 說明，在圓型限制性三體問題中，第三天體存在混沌軌道，且混沌軌道的出現(xiàn)與第三天體的初始條件有關(guān).

圖6 不同軌道的最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.6 The maximum Lyapunov exponents for different orbits

由圖6 可見，當(dāng)t達(dá)到105時(shí)，log10λ=?3.5 可作為判斷混沌軌道的臨界值(圖中粉色三角記號(hào)).在接下來的分析中，若log10λ≥ ?3.5，可以判斷軌道處于混沌狀態(tài)；反之，軌道則為有序.固定雅可比常數(shù)為3.050，分別取質(zhì)量參量μ=0.001 00、0.000 50、0.000 10 和0.000 05，并在區(qū)間[0.05,0.80]內(nèi)掃描x0，可以得到這些軌道在演化時(shí)間達(dá)到105時(shí)的最大李雅普諾夫指數(shù)隨x0的分布，如圖7 所示.圖中，紅色虛線表示混沌軌道和有序軌道的分界線，位于虛線上方的軌道是混沌軌道，虛線以下的軌道處于有序狀態(tài).當(dāng)μ=0.001 00 時(shí)，存在大量混沌軌道，混沌軌道約占軌道總數(shù)38%；混沌軌道的分布并不集中，而是較為均勻地散布在整個(gè)x0的取值區(qū)間，如圖7(a)所示.將μ減小至0.000 50，混沌軌道的數(shù)目也隨之下降，約占軌道總數(shù)的25%，如圖7(b)所示.此情況下混沌軌道主要分布在區(qū)間[0.2,0.6]內(nèi).繼續(xù)減小μ值，此時(shí)混沌軌道幾乎均勻分布在兩主天體連線的中點(diǎn)處，數(shù)目只占全體軌道數(shù)的6%，如圖7(c)所示.圖7(d)說明，存在一類較小μ值，只要x0在區(qū)間[0.05,0.8]內(nèi)取值，第三天體均做有序運(yùn)動(dòng).綜觀圖7 不難發(fā)現(xiàn)，混沌軌道出現(xiàn)的概率隨著μ的減小而減小，這是因?yàn)橘|(zhì)量參量μ反映了兩主天體的質(zhì)量比：當(dāng)μ較大時(shí)，兩主天體質(zhì)量差距不懸殊，可以在特定位置給第三天體提供方向相反、大小近似的萬有引力；兩力抗衡的情況下，第三天體容易產(chǎn)生混沌現(xiàn)象；當(dāng)μ足夠小時(shí)，兩主天體的質(zhì)量差距過大，較小質(zhì)量主天體對(duì)第三天體的引力作用可以忽略，導(dǎo)致第三天體只在較大質(zhì)量主天體引力的約束下做嚴(yán)格的有序運(yùn)動(dòng).

圖7 不同質(zhì)量參量下最大李雅普諾夫指數(shù)λ 與初始坐標(biāo)x0 的關(guān)系Fig.7 Relations between the maximum Lyapunov exponents λ and initial coordinates x0 for different mass parameters

綜上所述，圓型限制性三體問題中，第三天體既存在有序軌道，也存在混沌軌道.混沌軌道產(chǎn)生的原因與兩主天體對(duì)第三天體的引力有關(guān).混沌軌道的分布范圍與系統(tǒng)參數(shù)及軌道的初始條件有關(guān)，且存在特定的質(zhì)量參量μ使得第三天體在一定的區(qū)域內(nèi)不存在混沌運(yùn)動(dòng).

3 結(jié)語

本研究利用數(shù)值積分算法求解不同參數(shù)、不同初始條件下圓型限制性三體問題的軌道，并討論相應(yīng)的禁行域及動(dòng)力學(xué)特征.研究發(fā)現(xiàn)，此模型的軌道構(gòu)型與雅可比常數(shù)和第三天體的初始位置密切相關(guān).當(dāng)固定質(zhì)量參量時(shí)，較小的雅可比常數(shù)對(duì)應(yīng)小范圍存在的禁行域，第三天體有機(jī)會(huì)在較大軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；增大雅可比常數(shù)將擴(kuò)大禁行域的影響范圍，進(jìn)而把第三天體限制在更狹小的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng).同時(shí)，禁行域的形狀只是限制第三天體運(yùn)動(dòng)范圍的一個(gè)指標(biāo)，第三天體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡還與初始條件有關(guān).當(dāng)?shù)谌祗w的初始位置位于較大質(zhì)量的主天體附近時(shí)，其后續(xù)會(huì)環(huán)繞該主天體做有界運(yùn)動(dòng).同時(shí)，存在一些特定的參數(shù)和初始條件，使得第三天體只環(huán)繞較小質(zhì)量主天體運(yùn)動(dòng).

混沌軌道是圓型限制性三體問題中的一類特殊軌道，其產(chǎn)生的原因及分布與系統(tǒng)參數(shù)和初始條件有關(guān).在質(zhì)量參量較大的情況下，兩主天體都能給第三天體帶來量級(jí)相當(dāng)?shù)囊?，這時(shí)第三天體容易產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng).當(dāng)質(zhì)量參量足夠小時(shí)，可以忽略小質(zhì)量主天體對(duì)第三天體的引力作用，相當(dāng)于第三天體只處于大質(zhì)量主天體的強(qiáng)引力場(chǎng)中，這種情況一般不容易產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.本研究發(fā)現(xiàn)的混沌隨第三天體初始位置的分布關(guān)系為后續(xù)在其他參數(shù)下尋找混沌軌道的研究提供了指導(dǎo)方向.同時(shí)，混沌是宇宙中大部分多天體系統(tǒng)在形成及運(yùn)行過程中需要經(jīng)歷的一個(gè)階段，研究天體系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象可以更深刻地理解天體系統(tǒng)的演化及引力定律.

研究中采用的圓型限制性三體問題只含有牛頓項(xiàng)，事實(shí)上，該類模型還含有后牛頓項(xiàng).后牛頓限制性三體問題是廣義相對(duì)論下對(duì)限制性三體系統(tǒng)更加精確的描述.部分學(xué)者研究了軌道半長徑和軌道偏心率對(duì)后牛頓圓型限制性三體問題的動(dòng)力學(xué)影響[20?21]，但質(zhì)量參量和雅可比常數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的影響尚不明確.所以，在后續(xù)的研究中，將采用此類模型，分析雅可比常數(shù)和質(zhì)量參量對(duì)第三天體軌道的影響.