對(duì)一道三角形面積最值問(wèn)題的探究*

重慶市合川中學(xué) (401520) 胡學(xué)剛

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 劉成龍

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

本題敘述簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富，考查了解三角形、余弦定理、面積公式、函數(shù)最值、平面向量等高中主干知識(shí)，解答視角寬，具有較強(qiáng)的典型性和探究性，有一定難度和區(qū)分度.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)模長(zhǎng)的多角度處理，過(guò)程涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等的運(yùn)用.

二、解法探究

視角1 代數(shù)運(yùn)算視角

思路分析1:對(duì)向量模長(zhǎng)直接平方,結(jié)合余弦定理和三角形面積公式求解.

思路分析3：因?yàn)橐阎獥l件可以全部轉(zhuǎn)化為三角形三邊的關(guān)系,所以可以直接利用海倫—秦九韶公式求解.

解法3：由解法1知,a=2,10b2+15c2=124.

評(píng)注：以上3種解法都是從代數(shù)角度出發(fā)，抓住向量模長(zhǎng)平方的常見處理方式，結(jié)合余弦定理聯(lián)立求解，屬于通性通法.具體來(lái)講，解法1直接對(duì)已知中的模長(zhǎng)平方，利用轉(zhuǎn)化與化歸，將面積表示成只含一個(gè)變量的邊或角的函數(shù)關(guān)系，因?yàn)檗D(zhuǎn)化成角較困難，所以直接轉(zhuǎn)化成c或b邊，再利用二次函數(shù)的最值得到求解.解法2利用了已知條件BC=2，將條件先轉(zhuǎn)化為已知向量的模長(zhǎng)后再平方，降低了運(yùn)算量，與解法1本質(zhì)上一樣.解法3直接利用海倫—秦九韶公式，將邊直接代入化簡(jiǎn)，繞開了面積公式的推導(dǎo)，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

視角2 解析幾何角度

思路分析4：因?yàn)橄蛄烤邆鋽?shù)和形的特征，所以可以考慮建立合適的直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)A縱坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系求解.

圖1

思路分析5：因點(diǎn)A坐標(biāo)滿足的方程可化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以可利用A點(diǎn)的軌跡求解.

評(píng)注：以上2種解法均建立了坐標(biāo)與面積間的關(guān)系.解法4是直接利用不等式的性質(zhì)求出最大值，而解法5是利用了A點(diǎn)的軌跡求解，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

視角三 平面幾何角度

思路分析6：因?yàn)锽C邊長(zhǎng)度是定值，所以只要BC邊上的高取得最大值即可.

解法6：由解法1得 10b2+15c2=124.在ΔABC中,過(guò)A作AD⊥BC交BC于D.

圖2

圖3

圖4

圖5

評(píng)注:以上4種解法都是從平面幾何角度出發(fā)，探求三角形面積的最大值.解法6是直接設(shè)高，利用函數(shù)與方程等思想求出高的最大值.解法7-9是利用向量模長(zhǎng)的幾何意義，巧妙構(gòu)造幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合等思想探究BC邊上高的最大值.平面幾何法構(gòu)造巧妙，相比代數(shù)法和解析幾何法更簡(jiǎn)單、直觀，可充分發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

三、問(wèn)題推廣

推廣是數(shù)學(xué)研究的重要手段,數(shù)學(xué)的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上,向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展,從實(shí)際的概念及問(wèn)題推廣出各式各樣的新概念、新問(wèn)題具體來(lái)講，推廣是指根據(jù)問(wèn)題結(jié)構(gòu)或解決方法，將數(shù)學(xué)問(wèn)題從一個(gè)較小的范圍拓展到更大范圍的研究過(guò)程.數(shù)學(xué)推廣為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本方法和路徑,這是因?yàn)閿?shù)學(xué)推廣本身就是數(shù)學(xué)研究的重要方法,數(shù)學(xué)問(wèn)題推廣的過(guò)程本身就是數(shù)學(xué)研究的過(guò)程.本文問(wèn)題所呈現(xiàn)問(wèn)題可推廣為更一般性的結(jié)論：