一道“不等式恒成立”問題的解答探究

安徽省合肥市第四中學(xué) (233000) 管良梁

導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立問題，對(duì)于學(xué)生而言一直都是一個(gè)難點(diǎn).處理此類問題一般有兩種方法：分類討論、參數(shù)分離.學(xué)生遇到“不等式恒成立”問題，首選的方法就是“參數(shù)分離”.本文簡(jiǎn)要呈現(xiàn)師生應(yīng)用“參數(shù)分離”解決一道“不等式恒成立”問題的思考與解答歷程，嘗試對(duì)這類方法進(jìn)行梳理，希望能起到拋磚引玉的作用.

1 問題呈現(xiàn)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)任意x∈(0,+∞)，不等式aex+(a+1)x≥(a+1)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2 解答探究

本題的第(1)問比較簡(jiǎn)單，學(xué)生基本能獨(dú)立完成.第(1)問答案：當(dāng)a>0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0)；當(dāng)a<0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞).第(2)問學(xué)生解答展示：

評(píng)注：解法1在對(duì)xex+1-2x正負(fù)的判斷過程中計(jì)算量較大，花費(fèi)的時(shí)間較多，學(xué)生很難獨(dú)立完成.

在解法1的基礎(chǔ)下引導(dǎo)學(xué)生能不能通過不同的變形簡(jiǎn)化計(jì)算？

解法2雖然比解法1要簡(jiǎn)單一點(diǎn)，但是計(jì)算還是比較繁瑣，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生變形簡(jiǎn)化計(jì)算.

評(píng)注：由于解法3在變形的過程中除以的a+1和ex都大于0，所以計(jì)算量大幅減小，從而提高了解題效率.

在解法3的提示下，有學(xué)生提出了解法4.

評(píng)注：解法4和解法3類似，在變形的過程中除以的a+1和ex都大于0，所以計(jì)算量也大幅減小，解題效率也得以提高.

3 解后反思

相比較而言解法3和解法4，雖然沒有分“干凈”，但是解答起來(lái)比較方便.所以遇到此類問題時(shí)，需要我們結(jié)合條件觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇合適的分參方式，簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率.