Hessian矩陣的無線電能傳輸阻抗匹配算法

李 飛，常雨芳

(湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 ，湖北 武漢 430068)

1 引言

傳統(tǒng)電能傳輸過程將電纜線作為媒介，所以在傳輸過程中會(huì)出現(xiàn)一定損耗，且線路老化等原因會(huì)導(dǎo)致電火花，影響供電設(shè)備的安全性，減少其使用壽命。若在某些特殊環(huán)境下使用傳統(tǒng)電能傳輸方式，這些缺陷通常是致命的，甚至?xí)l(fā)生安全事故，造成經(jīng)濟(jì)損失。無線電能傳輸方法的出現(xiàn)使上述問題得到有效解決。其作為一種新型技術(shù)，不但減少傳輸污染，還能夠降低線路損耗，使電能傳輸過程更加便捷。現(xiàn)階段，微波、激光與磁耦合諧振成為無線傳輸?shù)闹饕d體，可以滿足在不同場(chǎng)合、不同功率下的電能傳輸需求。

但是，在無線電能傳輸過程中，電能量難以完全傳輸?shù)截?fù)載點(diǎn)，導(dǎo)致能源效益有所降低。為此，相關(guān)專家學(xué)者提出通過阻抗匹配方法，改變電路端口的等效阻抗，確保不會(huì)有能量返回，從而提高傳輸效率。例如，文獻(xiàn)[1]中設(shè)計(jì)了一種負(fù)載自適應(yīng)阻抗匹配方法，將功率放大器放置在高頻逆變電路中，同時(shí)在磁諧振設(shè)備與負(fù)載之間添加變換器。如果阻抗發(fā)生變化，通過變換器將負(fù)載電阻調(diào)制到最大效率傳輸電阻。文獻(xiàn)[2]中設(shè)計(jì)了一種無線電能傳輸?shù)淖畲笮矢櫜呗?。通過分析發(fā)射與接收兩端電路等價(jià)模型確定等效負(fù)載阻抗匹配優(yōu)化值，并提出基于鎖相環(huán)的頻率跟蹤與負(fù)載跟蹤策略，保證系統(tǒng)輸出功率與效率保持不變。然而，如果利用上述方法在無線電能傳輸系統(tǒng)中進(jìn)行阻抗匹配，難以計(jì)算系統(tǒng)總能量，且不能確定電能傳輸?shù)钠胶恻c(diǎn)，導(dǎo)致系統(tǒng)輸出電流與電壓波形不夠平穩(wěn)。

針對(duì)上述問題，本研究結(jié)合電能傳輸系統(tǒng)模型，利用Hessian矩陣計(jì)算系統(tǒng)整體輸出能量，確定最佳平衡點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行阻抗匹配，有效改善匹配效果。仿真證明，該方法有效避免了復(fù)雜的計(jì)算過程，使阻抗匹配后的接收功率得以大大提高。

2 構(gòu)建電能傳輸系統(tǒng)及Hessian矩陣

2.1 無線電能傳輸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析

電能傳輸系統(tǒng)類型較多，本研究以最常用的磁諧振式傳輸系統(tǒng)為例進(jìn)行分析。該系統(tǒng)共分為無線電能發(fā)射與接收兩大模塊。其硬件結(jié)構(gòu)如下：發(fā)射模塊電路包含信號(hào)生成電路、功率放大電路以及阻抗匹配電路，其中阻抗匹配電路由定向耦合器、檢測(cè)模塊等設(shè)備構(gòu)成；能量接收部分則分為接收線圈與整流濾波。信號(hào)生成電路的主要任務(wù)是控制電源的開關(guān)頻率。開關(guān)頻率與線圈固有頻率較為接近時(shí)容易形成諧振[3-4]，這時(shí)能量從發(fā)送端向接收端傳輸，接收的能量利用穩(wěn)壓電路完成輸出。根據(jù)阻抗匹配電路，得到整體的電能傳輸系統(tǒng)中阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 電能傳輸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

1)信號(hào)源。該磁諧振式傳輸系統(tǒng)信號(hào)源符合國際無線充電聯(lián)盟標(biāo)準(zhǔn)的信號(hào)頻率，頻率精度為1Hz。與傳統(tǒng)合成器對(duì)比，其成本與功耗都較低，同時(shí)還具備高分辨與時(shí)間快速變換等優(yōu)勢(shì)。

2)高頻電源。在無線電能傳輸領(lǐng)域，通常使用的有A′、B′與A′B′三種功放。其中，A′類的缺點(diǎn)是功率低，理論效率最大只有50%；B′類功放功率具有較低的開關(guān)損耗，能夠提高傳輸效率，但是其功放只能放大二分之一周期的輸入信號(hào)，有時(shí)會(huì)造成很大的線性失真；A′B′類功率放大器是在上述兩種基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化的，放大器效率與失真率均有明顯改善。磁諧振式傳輸系統(tǒng)選取此種放大器作為激勵(lì)電源，負(fù)責(zé)將直流電源變換為高頻交變電能。

3)自動(dòng)離散阻抗匹配電路。一般在阻抗匹配電路中，反射系數(shù)測(cè)試模塊包含耦合器與檢測(cè)器[5-6]。耦合器能夠?qū)⑷肷渑c反射功率區(qū)分，有助于檢測(cè)器對(duì)信號(hào)反射系數(shù)的實(shí)時(shí)檢測(cè)，反射系數(shù)檢測(cè)在傳輸系統(tǒng)中發(fā)揮重要作用。耦合器可以隨時(shí)監(jiān)測(cè)傳輸線上信號(hào)發(fā)送狀況。在使用幅相測(cè)量芯片完成反射系數(shù)測(cè)量后獲取相位信息，再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換將數(shù)據(jù)發(fā)送至中央處理器，從而獲得可調(diào)節(jié)參量，并控制系統(tǒng)中阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)。

2.2 構(gòu)建等效電路模型

經(jīng)過對(duì)上述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化分析可知，當(dāng)所有線圈產(chǎn)生諧振時(shí)，諧振線圈和電路之間等效成串聯(lián)回路，該回路包括電感電容與寄生電阻[7]。依據(jù)該原理，假設(shè)RL表示負(fù)載阻抗，線圈的等效電感與電阻分別表示為L1和R1，電容描述成C1，接收線圈的串聯(lián)等效電感、電阻則寫作L2和R2，電容為C2。發(fā)射和接收線圈存在互感系數(shù)M，因此可獲得下述方程

I1(R1+jωL1)+jωI2M12=Vs

(1)

(2)

(3)

(4)

則系統(tǒng)輸入功率的計(jì)算公式為

(5)

式(5)中

(6)

B1=R1+A1B1=R1+A1(R2+R1)

(7)

(8)

同理能夠獲得電能傳輸系統(tǒng)輸出功率

(9)

系統(tǒng)傳輸效率計(jì)算公式如下

(10)

通過式(10)能夠看出，電能傳輸功率和其效率、工作頻率、阻抗以及互感系數(shù)、電容值均存在復(fù)雜的聯(lián)系。在系統(tǒng)表現(xiàn)出最優(yōu)諧振狀態(tài)時(shí)，L1、C1、L2以及C2具有相同的諧振頻率，因此將系統(tǒng)傳輸功率的表達(dá)式改進(jìn)為

(11)

2.3 構(gòu)建Hessian矩陣

結(jié)合上述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與等效電路模型構(gòu)建Hessian矩陣，找出系統(tǒng)電能傳輸平衡點(diǎn)，使輸出電壓保持平穩(wěn)，保證系統(tǒng)正常運(yùn)行。假設(shè)阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)模型下n個(gè)傳輸系統(tǒng)中，第i個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程表示為

δi=ωi-ω0

(12)

(13)

(14)

從系統(tǒng)平衡角度出發(fā)，Hessian函數(shù)如下所示，該函數(shù)代表系統(tǒng)整體傳輸能量，在本文研究中將其近似看作如下能量函數(shù)

(15)

在此基礎(chǔ)上，計(jì)算電能傳輸系統(tǒng)Hessian函數(shù)的每階偏導(dǎo)如下

(16)

(17)

(18)

如果ufi=ufi0，則有

(19)

從式(19)中能夠得出?xH=0，其可作為傳輸系統(tǒng)最佳平衡點(diǎn)。這是因?yàn)镸′(x)屬于半負(fù)定的常數(shù)矩陣，也是可逆矩陣，因此該系統(tǒng)平衡點(diǎn)必須符合?xH=0。

如果Hessian矩陣為正定，能夠判斷出此系統(tǒng)在勵(lì)磁控制律約束下可以逐漸接近穩(wěn)定，同時(shí)在平衡點(diǎn)作用下，確保電壓輸出波形的穩(wěn)定。

3 自動(dòng)阻抗匹配算法設(shè)計(jì)

針對(duì)無線電能傳輸系統(tǒng)而言，在保持系統(tǒng)穩(wěn)定工作前提下，傳輸與接收線圈的傳輸距離與負(fù)載情況改變，均會(huì)導(dǎo)致電源端負(fù)載等效阻抗的改變。為此，本研究采用了控制過程較為簡(jiǎn)單的阻抗匹配算法。結(jié)合負(fù)載和電源阻抗共軛匹配原理，生成一種能夠自動(dòng)實(shí)現(xiàn)阻抗匹配的方法，將其應(yīng)用在無線電能傳輸系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)接收功率的優(yōu)化與電能傳輸效率的改善。

1)阻抗匹配建模分析

通常情況下，電能傳輸系統(tǒng)阻抗匹配模型共分為高頻電源、匹配網(wǎng)絡(luò)、傳輸線圈與負(fù)載等部分[9]。其中，傳輸和接收線圈的耦合系數(shù)表示為κ。阻抗匹配模型構(gòu)建的本質(zhì)就是獲取電路阻礙電流通過的能量。

假設(shè)Zeqr代表阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)中的等效阻抗，如果系統(tǒng)傳輸線圈出現(xiàn)諧振，而接收線圈又屬于純電阻網(wǎng)絡(luò)，此時(shí)其效率計(jì)算公式如下

(20)

假設(shè)Zrt代表接收線圈到發(fā)射線圈的等效阻抗，如果系統(tǒng)在諧振狀態(tài)下工作，則反射阻抗Zrt的實(shí)部描述為

(21)

通過式(20)與(21)可獲得整個(gè)系統(tǒng)的阻礙電流值

(22)

(23)

由式(23)可知，傳輸效率和線圈參數(shù)、傳輸距離和負(fù)載大小之間存在一定關(guān)聯(lián)。在線圈參數(shù)一定情況下，對(duì)于任意傳輸距離，系統(tǒng)會(huì)與唯一最佳負(fù)載相對(duì)應(yīng)，使系統(tǒng)的傳輸效率達(dá)到最佳[11]。

2)阻抗匹配實(shí)現(xiàn)

本文針對(duì)的是四線圈構(gòu)成的阻抗匹配網(wǎng)絡(luò)，匹配的基本過程為：電源為線圈提供電流，線圈生成高頻交流電且和發(fā)射線圈耦合，同時(shí)又將獲取的交流電利用高頻磁場(chǎng)發(fā)送至接收線圈。在特定系統(tǒng)頻率下，Lt與Lr依賴寄生電容和外接電容實(shí)現(xiàn)自諧振，保證系統(tǒng)能在長距離傳輸時(shí)達(dá)到高效傳輸目的[12]。負(fù)載與接收線圈經(jīng)過耦合作用，吸收接收線圈電能，為負(fù)載電阻提供電流。

對(duì)于遠(yuǎn)距離傳輸，電源和負(fù)載線圈的半徑較小，通常設(shè)計(jì)成單匝或兩匝，而為提高發(fā)射和接收線圈的高品質(zhì)因數(shù)，需保證半徑較大。

(24)

因此可以得出阻抗匹配的關(guān)系式如下

(25)

4 仿真數(shù)據(jù)分析與研究

為驗(yàn)證基于Hessian矩陣的無線電能傳輸阻抗匹配算法的有效性，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。

仿真中設(shè)定傳輸線圈電感、電容與電阻等參數(shù)值是始終不變的，且不考慮電感、電容突變導(dǎo)致的頻率失諧現(xiàn)象，直接使用理想交流電源。具體仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)表

在上述仿真環(huán)境下對(duì)本文方法、文獻(xiàn)[1]與文獻(xiàn)[2]方法在接收功率方面的性能進(jìn)行測(cè)試，隨著電能傳輸距離的不斷擴(kuò)大，三種方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 不同阻抗匹配算法的接收功率對(duì)比結(jié)果

由表2結(jié)果可知，在三種阻抗匹配算法下，所提方法的接收功率最高，且隨著傳輸距離不斷增加，功率下降幅度不大。這說明本文方法能將從高頻電源發(fā)射出的大部分能量經(jīng)過阻抗匹配后不會(huì)被返回電源，被接收端完全接收，使整體輸入阻抗與電源阻抗更加接近，減少發(fā)射電路功率反射，進(jìn)而增加接收端功率，提高傳輸效率。

除上述對(duì)比外，本研究還對(duì)比了三種方法下的無線電能傳輸系統(tǒng)的電壓輸出波形，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同方法下系統(tǒng)輸出電壓波形圖

分析圖2可知，在Hessian矩陣影響下，本文方法掌握了系統(tǒng)平衡點(diǎn)，計(jì)算出該系統(tǒng)最大傳輸電能量，不會(huì)出現(xiàn)傳輸過載現(xiàn)象，輸出電壓始終保持平穩(wěn)狀態(tài)，進(jìn)而確保無線電能傳輸系統(tǒng)能夠穩(wěn)定高效運(yùn)行。

5 結(jié)語

為提高無線電能傳輸系統(tǒng)工作效率，確保電流與電壓穩(wěn)定，本研究在Hessian矩陣基礎(chǔ)上進(jìn)行阻抗匹配。仿真結(jié)果證明了該方法的可行性，能有效提高傳輸效率。雖然阻抗匹配策略一定程度上能改善系統(tǒng)傳輸效率，但是在匹配切換過程中會(huì)導(dǎo)致負(fù)載電流發(fā)生變化，影響系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性。隨著科技進(jìn)步，此技術(shù)會(huì)越來越成熟，未來可將其應(yīng)用在電動(dòng)汽車等熱門領(lǐng)域。