利用字典學(xué)習(xí)方法的聲速剖面反演研究

邢傳璽，張東玉，宋 揚，吳耀文，謝李祥

（1.云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，云南昆明 650500；2.哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)重點實驗室，黑龍江哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學(xué)水聲工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引 言

目前，關(guān)于水聲學(xué)研究的熱點主要集中在水下定位、目標(biāo)探測以及聲吶系統(tǒng)性能的研究[1]。聲速作為最為基礎(chǔ)的水聲環(huán)境參數(shù)，是了解和研究水聲信道結(jié)構(gòu)和水聲傳播的重要前提。采用直接測量的方法測量水聲環(huán)境中的聲速，需要耗費大量的物力人力，采用反演的方法能節(jié)省資源[1]。對于匹配場處理，海洋聲速剖面的估計需要使用有限的聲學(xué)數(shù)據(jù)對聲場進(jìn)行反演[2]。這樣的反問題是一個非線性且不確定性很高的問題[3]。經(jīng)驗正交函數(shù)（Empirical Orthogonal Function,EOF）方法也稱特征向量分析方法，被普遍應(yīng)用在聲速剖面的表示上，按照聲速剖面樣本矩陣得到經(jīng)驗正交函數(shù)，并取前n階表示聲速擾動，換言之，使用n個正交基表示海區(qū)的聲速擾動[4]。為了在調(diào)整參數(shù)搜索大小的同時確保物理上可行的解決方案，至少需要將聲速剖面（Sound Speed Profile,SSP）建模為前三階EOF的總和來對SSP反演進(jìn)行正則化[2]。但是，這種正則化方法對前幾階EOF系數(shù)具有最小能量約束，得到的 SSP估計值通常分辨率比較低。

已經(jīng)有學(xué)者將K-奇異值分解（K-Singular Value Decomposition,K-SVD）字典學(xué)習(xí)應(yīng)用于水聲領(lǐng)域，用于在聲傳播實驗中對聲速剖面進(jìn)行表示[5]。K-SVD算法是一種流行的字典學(xué)習(xí)方法，它通過找到向量的字典，以最佳方式對訓(xùn)練集中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分區(qū)，使用少數(shù)字典向量描述每個原始信號。K-SVD字典學(xué)習(xí)方法主要有兩個階段[5]：構(gòu)建字典階段以及利用構(gòu)建的字典對樣本進(jìn)行稀疏表示階段。這兩個階段的任何一個階段都有許多不同算法可供選擇。相對于使用主成分分析（Principal Component Analysis,PCA）得出的EOF，K-SVD算法得到的學(xué)習(xí)字典（Learning dictionary,LD）并不限于正交。因此LD能提供更好的信號壓縮，由于矢量是平均的，因此更接近原始信號。

結(jié)合以上分析，本文討論了利用K-SVD算法在聲速剖面反演中的應(yīng)用和稀疏表示方法，使用K-SVD算法生成了描述測量的聲速剖面觀測值的一維海洋SSP數(shù)據(jù)的LD，對K-SVD字典學(xué)習(xí)算法進(jìn)行了說明，并根據(jù)K-SVD方法評估了重建性能。給出了LD和EOF的SSP重建結(jié)果。結(jié)果表明，與在相同數(shù)據(jù)上訓(xùn)練的前幾階EOF相比，所得LD中的每個字典原子都說明了更多的SSP變化，有更小的重構(gòu)誤差，反演精度更高。

1 基本原理

1.1 射線理論

利用水聲傳播實驗的結(jié)果對海洋環(huán)境中的聲速進(jìn)行建模反演，傳播模型的計算精度決定了反演結(jié)果的精度，因此選擇合適的傳播模型進(jìn)行建模十分重要[6]。在海洋環(huán)境中，從水聽器的垂直線陣列（Vertical Line Array,VLA）觀察到的聲壓使用射線理論進(jìn)行正向建模。聲線模型的解是波動方程的近似解。

在直角坐標(biāo)系下，射線模型中s處的聲壓可表示為[7]

使ω的同次項相等得到聲源s0到接收點s1的傳播時間[7]：

1.2 K-SVD算法

其中，T0為稀疏系數(shù)，也稱其為稀疏度[10]。

此時優(yōu)化問題可描述為[10]

2 聲速剖面稀疏表示

結(jié)合字典學(xué)習(xí)K-SVD方法，首先對實測得到的聲速剖面在N個時間點進(jìn)行采樣，聲速剖面在深度上具有M個值，得到聲速剖面訓(xùn)練信號的集合，從獲得的數(shù)據(jù)中訓(xùn)練SSP字典，根據(jù)式（8），利用稀疏方法中的OMP表示出訓(xùn)練信號的稀疏向量，對于k個元素的字典，OMP能夠以k步收斂到字典元素跨度上的投影[8]。在進(jìn)行有限次數(shù)的迭代之后，OMP會針對字典的所選子集提供最佳的稀疏向量值，表示聲速剖面。

本文所述的反演過程實質(zhì)就是利用K-SVD更新得到目標(biāo)函數(shù)中最優(yōu)的稀疏系數(shù)和最優(yōu)字典，生成聲速剖面的表示模型。

K-SVD算法反演的數(shù)據(jù)處理和聲速剖面表示的流程圖如圖1所示。算法的輸入為聲速剖面訓(xùn)練樣本C。輸出為字典D和稀疏表示系數(shù)A。

計算的具體步驟如下：

（1）獲取訓(xùn)練信號集：從實際測量的聲速剖面中獲得N個聲速剖面，并采用插值法，插值得到深度上等距離離散的聲速值，轉(zhuǎn)化到K個垂直標(biāo)準(zhǔn)層，得到聲速矩陣CM×N，即SSP訓(xùn)練樣本集C。

（3）稀疏編碼：使用OMP算法求解式（1）的目標(biāo)方程，得到稀疏系數(shù)矩陣A。

（4）K-SVD字典更新：依次更新字典的原子，經(jīng)過k次迭代后得到字典Dk。

（5）算法停止準(zhǔn)則：停止條件設(shè)置為迭代次數(shù)或者重構(gòu)信號和原信號之間的誤差率，以決定迭代是否繼續(xù)。

（6）算法逐列更新完字典后，用新字典Dk做稀疏分解，并判斷是否達(dá)到停止條件，如果達(dá)到終止條件，得到最優(yōu)字典和稀疏系數(shù)矩陣。

圖1 K-SVD算法流程圖Fig.1 The flow chart ofK-SVD

3 反演方法

聲速剖面反演實質(zhì)就是將測量的聲場數(shù)據(jù)，通過一定的代價函數(shù)和搜索策略，估計待反演的參數(shù)，再重構(gòu)形成反演后的聲速剖面[11]。

仿真采用的海洋環(huán)境如下：海底為液體海底，聲速為1 700 m·s-1、密度為1.5 g·cm-3、吸收為0.5 dB·λ-1（λ為波長），海水深度為25 m。發(fā)射信號頻率采用200～600 Hz、長度為3 s的加Blackman窗進(jìn)行幅度調(diào)制的線性調(diào)頻脈沖，且聲源位于水下深度10 m處，收發(fā)距離為1 km，采用1列8個均勻間隔的垂直線陣列單元，在6～20 m范圍內(nèi)接收聲信號。

式中，tb為背景聲速下的聲傳播時間；dk為沿背景聲速下特征聲線的積分小項[12]。

采用式（11）作為代價函數(shù)P：

圖2 進(jìn)行敏感度分析的聲速剖面Fig.2 A sound velocity profile for sensitivity analysis

從圖3中可看出代價函數(shù)對于待反演參數(shù)的敏感性良好，且在實際值的位置出現(xiàn)了最大值。

聲速剖面反演流程如圖4所示，步驟如下：

（1）使用K-SVD算法生成的字典，來計算聲速剖面；

（2）將計算的聲速剖面代入射線傳播模型中，進(jìn)行拷貝場計算，計算得到本征聲線的傳播時間，并將計算結(jié)果代入代價函數(shù)與測量真值進(jìn)行匹配[14]，根據(jù)代價函數(shù)的計算結(jié)果，重新生成字典，重新生成一個新的聲速剖面；

圖3 反演參數(shù)對應(yīng)的敏感度因子Fig.3 Sensitivity factors of inversion parameters

圖4 聲速剖面反演流程圖Fig.4 The flow chart of SSP inversion

（3）重復(fù)步驟（2），在沒有達(dá)到設(shè)定的閾值G前不斷計算；

（4）完成初始設(shè)定的代數(shù)計算后，如果得到的結(jié)果最優(yōu)值收斂在某數(shù)值附近，則說明反演算法穩(wěn)健[6]，將代價函數(shù)取得最優(yōu)值時的字典代入式（9）求解聲速剖面，并將其作為最終的反演結(jié)果。

4 實驗分析

為了驗證字典學(xué)習(xí)方法優(yōu)于EOF方法，利用中國黃海某海域進(jìn)行的聲速剖面反演實驗測量的聲速剖面數(shù)據(jù)進(jìn)行EOF和K-SVD方法的驗證。聲速剖面取自作者分別于2013～2015年期間在中國黃海某海域利用溫鹽深系統(tǒng)（Conductivity,Temperature,Depth,CTD）測量的實際數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)記錄了0～25 m深度范圍的CTD測量數(shù)據(jù)，深度分辨率為0.1 m。通過將原始CTD數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為SSP并減去平均值，可以從數(shù)據(jù)集中獲得訓(xùn)練樣本。將采樣序列中的50（N=50）個聲速剖面作為訓(xùn)練集。使用保形三次樣條插值將配置文件統(tǒng)一下采樣至K=25點[13-15]。SSP樣本集如圖5所示。

首先檢驗K-SVD方法對訓(xùn)練樣本的重構(gòu)性能，用50個聲速剖面樣本集來訓(xùn)練K-SVD算法的LD，圖6分別顯示了使用EOF和K-SVD方法生成的經(jīng)驗正交函數(shù)和字典原子對聲速變化的方差貢獻(xiàn)率。從圖6可以看出，EOF方法生成的經(jīng)驗正交函數(shù)只有前5階經(jīng)驗正交函數(shù)的系數(shù)可以提供有關(guān)海洋SSP變化的信息，采用K-SVD方法生成的所有字典原子都能夠提供海洋聲速變化的有用信息。

圖5 聲速剖面樣本及其2維圖像Fig.5 Sound speed profile samples and their two dimensional representation

圖6 EOFs階數(shù)和字典原子數(shù)對聲速變化的方差貢獻(xiàn)率Fig.6 Variance contribution rates of EOFs order and number of dictionary atomics to variation of sound velocity

采用一個隨機矩陣作為訓(xùn)練的初始字典，將實際測量的 50個樣本作為訓(xùn)練字典的樣本數(shù)據(jù)集，用除去樣本集外的其他測量數(shù)據(jù)，來進(jìn)行聲速剖面的反演實驗。

測量數(shù)據(jù)來源于2013年在中國黃海某海域測量的數(shù)據(jù)，實驗分別采用爆炸聲和線性調(diào)頻信號作為聲源信號，其中線性調(diào)頻信號頻率為 200～600 Hz，聲源位于水下10 m深處，利用矢量水聽器和4元垂直陣接收信號，矢量水聽器位于水下9 m深處，4元垂直陣的深度范圍為5～10 m，收發(fā)相距10 km。字典原子數(shù)K設(shè)為20，稀疏度T設(shè)為2，每次實驗的迭代次數(shù)為120次。反演了10條聲速剖面，反演結(jié)果如圖7所示。

為了進(jìn)一步驗證字典學(xué)習(xí)方法對于聲速剖面反演的優(yōu)點，使用EOF方法生成的第一個經(jīng)驗正交函數(shù)的系數(shù)作為K-SVD算法的初始字典，對實測的聲速剖面進(jìn)行反演。

使用SSP數(shù)據(jù)集Y來訓(xùn)練EOF和LD，使用平均誤差（Mean Error,ME）來度量兩者的重構(gòu)性能。平均誤差EM可表示為[13]

圖8（a）是使用EOF方法選前3階經(jīng)驗正交函數(shù)作為基函數(shù)得到的反演剖面。圖8（b）是使用K-SVD方法得到的一組反演剖面。同等條件下，進(jìn)行30組反演實驗，EOF方法的重構(gòu)平均誤差為0.690 4 m·s-1，K-SVD方法重構(gòu)的平均誤差為0.110 2 m·s-1。從圖7給出的兩種方法的仿真結(jié)果以及計算的平均誤差來看，K-SVD方法的重構(gòu)效果優(yōu)于EOF方法。結(jié)果表明，K-SVD方法僅用一個字典就可以實現(xiàn)EOF方法搜索選擇3個以上EOF系數(shù)相同的甚至更小的平均誤差。

圖7 10條實測聲速剖面的K-SVD反演結(jié)果Fig.7 Inversion results of 10 measured sound speed profiles byK-SVD method

同時使用文獻(xiàn)[6]中的混合優(yōu)化算法對兩種方法進(jìn)行反演參數(shù)尋優(yōu)，在不同的聲速剖面下 EOF方法通常需要的迭代次數(shù)約是K-SVD方法的5倍。圖9顯示了K-SVD方法和EOF方法的平均誤差收斂曲線，經(jīng)過30次的迭代，EM降低了近70%。從圖9中可以看出，對于K-SVD方法，收斂速度要快得多，并且EOF方法至少需要三個尋優(yōu)參數(shù)，K-SVD方法只有兩個尋優(yōu)參數(shù)，計算效率更高。

圖8 EOF方法和K-SVD方法聲速剖面反演結(jié)果Fig.8 Inversion results of the measured SSP by EOF andK-SVD methods

圖9 兩種方法的聲速平均誤差收斂曲線Fig.9 Convergence curves of mean error of sound velocity by the two methods

5 結(jié) 論

使用字典學(xué)習(xí)可以生成最佳字典，以稀疏地重建給定的信號。由于這些LD對正交性沒有強制要求，因此生成的字典原子可以更好地擬合原始數(shù)據(jù)。相比于EOF，每個LD基函數(shù)對于信號的變化規(guī)律都是有益的。提高了基函數(shù)對于數(shù)據(jù)分布的貢獻(xiàn)，使用很少的基函數(shù)即可近似重構(gòu)信號，獲得更好的反演精度。

采用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法處理了實際測量的聲速剖面數(shù)據(jù)。與EOF方法進(jìn)行了對比，K-SVD算法比EOF算法使用更少的基函數(shù)即可很好地描述SSP的變化。LD中僅用一個系數(shù)即可描述每個觀測到的SSP中幾乎所有的變化。LD中更多的信息元素可實現(xiàn)這種性能提升。說明，在保證精度的前提下，K-SVD方法相比于傳統(tǒng)EOF算法簡化了算法流程，計算效率更高，平均誤差降低了約50%。