從屬于指數(shù)函數(shù)的星像函數(shù)子類的四階Toeplitz行列式

張海燕, 湯 獲

(赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

1 引言與預(yù)備知識

設(shè)S表示單位圓盤D={z∈: |z|<1}內(nèi)單葉解析且具有如下形式

(1)

的函數(shù)族.設(shè)P表示單位圓盤D內(nèi)具有如下形式

且滿足條件Rep(z)>0的解析函數(shù)族.由文獻[1]易知, 對于函數(shù)p(z)∈P, 存在Schwarz函數(shù)ω(z), 使得

定義1[2]設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在單位圓盤D內(nèi)解析.如果存在D內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω(z), 滿足ω(0)=0, |ω(z)|<1且f(z)=g(ω(z)), 則稱f(z)從屬于g(z), 記為f(z)g(z).特別地, 如果g(z)在D上是單葉的, 則

f(z)g(z)(z∈D)?f(0)=g(0),f(D)?g(D).

設(shè)函數(shù)f(z)∈A, 若滿足條件Re[zf′(z)/f(z)]>0, 則稱f屬于星像函數(shù)類, 記為f∈S*.顯然,f∈S*將單位圓盤映射到右半平面且星像的區(qū)域[2].

目前, 關(guān)于星像函數(shù)類的研究已有很多結(jié)果.例如： Ma等[3]引入了某類星像函數(shù)類S*(φ),

定義2[8]設(shè)函數(shù)f∈S, 若f滿足條件:

(2)

(3)

Mendiratta等[8]研究了該函數(shù)類的積分表達式、 包含關(guān)系、 系數(shù)估計增長定理與偏差估計、 從屬關(guān)系及函數(shù)類的半徑問題等. Thomas等[9]定義了函數(shù)f的q階Toeplitz行列式Tq(n)：

其中a1=1,n≥1,q≥1.特別地, 有

即

2 主要結(jié)果

|cn|≤2,n=1,2,….

|cn+k-μcnck|<2, 0≤μ≤1,

(4)

令

則顯然有p(z)∈P, 且

(6)

另一方面, 有

比較式(5)和式(7)兩邊z,z2,z3,z4,z5,z6的系數(shù), 可得

由引理2, 易證|a2|≤1.由引理1, 可得

同理可證

設(shè)c1=c,c∈[0,2], 由引理2和引理3可知,

(9)

證明: 由式(8)和引理1可知,

設(shè)c1=c,c∈[0,2], |x|=t,t∈[0,1], 則由三角不等式可得

設(shè)

與定理2的證明類似可得如下定理:

(10)

(11)

(12)

設(shè)c1=c,c∈[0,2], 由引理3可得

令

與定理5的證明類似可得如下定理:

(13)

(14)

(15)

證明: 因為

所以由三角不等式可得

將式(4),(9)～(14)代入式(16), 即得式(15).證畢.