一類具有強(qiáng)弱奇性的Duffing方程周期正解的存在性

宋娟, 王振輝, 程志波

(河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河南 焦作 454003)

1.引言

近些年來, Duffing方程在物理、化學(xué)、機(jī)械、經(jīng)濟(jì)和電子技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.一方面工程實(shí)際中的許多非線性振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型都可以轉(zhuǎn)化為該方程來研究, 如船的橫搖運(yùn)動(dòng)、結(jié)構(gòu)振動(dòng)、化學(xué)鍵的破壞、微弱周期信號(hào)檢測、電力系統(tǒng)周期振蕩分析、橫向波動(dòng)方程的軸向張力擾動(dòng)模型等[1-3]; 另一方面在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的混沌研究中, Duffing方程作為刻畫系統(tǒng)狀態(tài)的重要模型在分析中有著廣泛應(yīng)用.例如A.Bernabe等基于混沌理論, 利用Duffing方程對原油價(jià)格的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了研究[4-6].因此, Duffing方程的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注, 有很多學(xué)者把研究重點(diǎn)放在了半線性Duffing方程解的性態(tài)研究, 如周期解、有界解、擬周期解、解的個(gè)數(shù)以及解的穩(wěn)定性的研究; 然而, 這些研究主要是集中在強(qiáng)奇性微分方程, 而對于具有弱奇性Duffing方程的研究卻沒有涉及.直到2007年以來, 國內(nèi)外學(xué)者開始利用Leray-Schauder選擇原理與錐壓縮錐拉伸等不動(dòng)點(diǎn)定理來證明相關(guān)問題.[7-9]近些年來, 有很多學(xué)者把研究重點(diǎn)放在了奇性Duffing方程周期解的研究.[10-14]例如, 在文[13]中, 王在洪研究了Duffing方程

其中g(shù) ∈C(R,R),e ∈C(R,R)是一個(gè)T-周期函數(shù),g(x)滿足半線性條件

并且g(x)滿足強(qiáng)排斥型奇性, 即

上述文章主要討論了強(qiáng)排斥型奇性Duffing方程周期正解的存在性, 而如果方程(1.1)強(qiáng)弱奇性同時(shí)存在, 如果方程(1.1)具有吸引型奇性, 這些問題有待進(jìn)一步的研究.本文, 我們利用Manasevich-Mawhin連續(xù)定理, 研究方程(1.1)在強(qiáng)弱奇性同時(shí)存在下正周期解的存在性.

2.主要結(jié)論

首先, 我們給出Manasevich-Mawhin連續(xù)定理, 對于T-周期的邊值問題

引理2.1[15]令Ω是在:={x ∈C1(R,R), x(t+T)≡x(t), ?t ∈R}上的有界開集.并且滿足下列條件:

(i) 對每一個(gè)λ ∈(0,1)

在?Ω上沒有解;

(ii) 方程

在?Ω ∩R上沒有解;

(iii)F的Brouwer度

接下來, 利用引理2.1, 我們得到下面的結(jié)論.

定理2.1假設(shè)下列條件成立:

(H1)g(x)是單調(diào)遞增函數(shù);

(H2) 存在正常數(shù)a,b使得對所有的x ∈(0,+∞), 有g(shù)(x)≤ax+b;

(H3) 下列不等式成立

由(H1)條件, 我們得

同理, 我們有

自x(t)的連續(xù)性, 則我們知道存在ξ ∈(0,T), 使得

由(2.3), 我們有

并且

結(jié)合上面兩個(gè)不等式, 我們得到

方程(2.2)左右兩邊同乘以x(t) 并進(jìn)行0到T的積分, 我們有

這里g+(x)=max{g(x),0}.

由式子(2.5)和(2.9), 我們有

更進(jìn)一步, 我們得

我們知道對于λ ∈(0,1), (2.2)在?Ω上沒有解并且當(dāng)x(t)∈?Ω ∩R, x(t)=E2或x(t)=E1.存在E使得

且滿足E ∈(E1,E2).則引理2.1的條件(i)和(ii)成立.

接下來, 我們考慮引理2.1中的條件(iii).自(H1), 我們得到

定理2.2假設(shè)下列條件成立:

(H4)g(x)是單調(diào)遞減函數(shù);

(H5) 存在正常數(shù)a,b使得對所有的x ∈(0,+∞), 有-g(x)≤ax+b;

(H6) 下列不等式成立

通過下面的例子來闡明我們的定理.

例2.1考慮下面帶阻尼的奇性Duffing方程