自然增長條件下非線性橢圓方程的全局BMO估計

常文銳, 徐秀娟, 佟玉霞

(華北理工大學(xué)理學(xué)院, 河北 唐山 063210)

1.引言

通過使用基本解的表達公式, 獲得了先驗估計: 對每一個1<γ <∞, 有

其中C僅與γ有關(guān).這意味著F的可積性傳遞到了Du的可積性.

Iwaniec[3]將上述估計拓展到p-Laplacian方程

表明對每個r ≥p, 由F ∈Lγ(Rn,Rn)可得Du ∈Lγ(Rn,Rn), 這稱之為非線性Caldern-Zygmund理論.

關(guān)于p-Laplacian方程及其推廣形式的非線性Caldern-Zygmund理論的研究是很有意義的.

Dibenedetto和Manfredi[4]考慮了方程組

其中u=(u1,u2,··· ,um)∈W1,p(Rn), F=(F1,F2,··· ,Fm)∈[Lp(Rn)]m,得到了

該文也考慮了|F|p?2F∈[BMO(Rn)]m的情況, 獲得了結(jié)論

其中C僅依賴于n和p.

YU和ZHENG[5]考慮了具有間斷系數(shù)的非線性退化橢圓方程

在系數(shù)矩陣A(x)滿足一致橢圓條件并屬于VMO函數(shù)類的情況下, 使用極大函數(shù)方法, 獲得了結(jié)論

YAO, ZHANG和ZHOU[6]考慮了一類擬線性橢圓方程

的弱解, 使用Hardy-Littlewood極大函數(shù)方法, 獲得了結(jié)論

考慮如下p-Laplacian型擬線性橢圓方程

其中1< p < ∞,F(x) = (F1,F2,··· ,Fn)∈BMO(Rn),A={aij(x)}n×n ∈(C0,α(Rn))n2為對稱矩陣, 且滿足一致橢圓條件.也就是說, 存在正常數(shù)0<γ ≤1, 使得

非齊次項B(x,u,ξ)滿足自然增長條件:

特別的, 當(dāng)A(x)為單位矩陣且B ≡0時, (1.3)即為

通常, 方程(1.3)的解采用弱形式, 下面給出弱解的定義.

定義1.1稱u ∈W1,p ∩L∞(Rn)是方程(1.3)的有界弱解, 若存在M >0, 使得|u|≤M, 且對任意的(Rn), 有

下面給出BMO函數(shù)類的定義.

定義1.2[10]令Br(x)∈Rn表示中心在x ∈Rn, 半徑為r的球, 對任何給定的u(x)(Rn), 記

若

則稱函數(shù)u ∈BMO(Rn).

根據(jù)文[10]第四章的John-Nirenberg不等式可知, 若f ∈BMO(Rn), 則, 其中1

本文證明中主要采用了極大函數(shù)的方法.極大函數(shù)的定義如下.

定義1.3[5]對給定的u(x)Rn),q ≥1, 極大函數(shù)(u,x)定義為

經(jīng)典的極大函數(shù)對應(yīng)q=1的情況.根據(jù)標準的調(diào)和分析理論可知,(u,x)的L∞范數(shù)可以與u(x)的BMO范數(shù)相比較.即存在兩個僅依賴于n和1≤q <∞的正常數(shù)C1和C2, 使得

參見文[4, 10].

一般來說, 當(dāng)非齊次項B滿足自然增長條件時, 非線性Caldern-Zygmund型Lp估計和BMO估計是很困難的.本文證明中主要采用了文[11-12]的方法以及文[5]中關(guān)于橢圓和拋物方程組的Lp理論的處理思想, 并借鑒文[13]關(guān)于低階非齊次項為自然增長條件的處理技巧, 基于比較討論, 獲得了自然增長條件下非齊次p-Laplacian型橢圓方程(1.3)弱解的全局BMO估計.

本文的主要結(jié)論如下.

定理1.1設(shè)u ∈W1,p∩L∞(Rn)是方程(1.3)的有界弱解,其中A(x)∈(C0,α(Rn))n2滿足一致橢圓條件(1.4), 若F(x)∈BMO(Rn), 則有?u ∈BMO(Rn); 且存在常數(shù)C=C(p,n,μ,γ,M),使得

2.預(yù)備引理

本節(jié)將開始介紹使用的預(yù)備引理.證明過程中將省略球心x0∈Rn.

首先給出迭代引理, 其最初來自Giaquinta-Giusti的研究(見文[14]中引理1.1).

引理2.1令φ(x)為定義在0≤T0≤t ≤T1的非負有界函數(shù), 設(shè)T0≤t

這里A,B,σ,θ為非負常數(shù)且θ <1, 則存在一個僅依賴于σ,θ的正常數(shù)C, 對滿足T0≤ρ < R ≤T1的所有ρ,R, 都有

下面的引理建立了一個Caccioppoli不等式.

引理2.2設(shè)u ∈W1,p ∩L∞(Rn)是方程(1.3)的有界弱解,A(x)滿足一致橢圓條件(1.4), 則存在常數(shù)C=C(p,γ,μ,M), 使得

其中

證令截斷函數(shù)Rn), 滿足

將方程(1.3)寫為

選取

為檢驗函數(shù), 其中β為待定常數(shù).由方程(2.1)在分布意義下弱解的定義, 有

利用一致橢圓條件式(1.4), 有

由Young不等式, u的有界性和式(1.5)可得

綜上, 有

令β足夠大, 使得, 并令ε1,ε2,ε3足夠小, 使得+ε2+ε3于是有

其中C取決于p,γ,μ,M.由于|u| ≤M, 故存在常數(shù)C0使得1

引理2.2證畢.

由引理2.2可以產(chǎn)生兩個重要的結(jié)論.

推論2.1設(shè)u ∈W1,p ∩L∞(Rn)是方程(1.3)的有界弱解,F(x)∈BMO(Rn),A(x)滿足一致橢圓條件式(1.4), 則存在一個常數(shù)C=C(p,n,γ,μ,M), 使得

證根據(jù)引理2.2, Poincar不等式和John-Nirenberg不等式(1.7)有

推論2.1證畢.

推論2.2設(shè)u ∈W1,p ∩L∞(Rn)是方程(1.3)的有界弱解,F(x)∈BMO(Rn),A(x)滿足一致橢圓條件式(1.4), 則存在一個正常數(shù)s>p和C=C(p,n,γ,μ,M), 使得

證令截斷函數(shù)(Rn), 滿足

取

為檢驗函數(shù), 采用引理2.2的證明方法, 可得Caccioppoli不等式

其中p?=max{1

由Gehring引理可得, 存在一個正常數(shù)s>p, 使得

因為F(x)∈BMO(B2R), 由式(1.7)知,

于是有

推論2.2證畢.

要建立方程(1.3)的弱解的BMO估計, 需要建立方程(1.3)與其常系數(shù)方程的弱解相比較的擾動討論.因此, 下面給出了關(guān)于p調(diào)和函數(shù)的一些結(jié)論.

對任意定點x0∈Rn和球BR(x0)?Rn, 令

設(shè)v ∈W1,p(BR(x0))是下述具有常系數(shù)AR的邊值問題

的弱解.對任意固定的ξ ∈Rn, 注意到

于是AR滿足一致橢圓條件, 且和式(1.4)中的常數(shù)相同.通過標準的計算可知, 存在常數(shù)C=C(p,γ), 使得

而且, 根據(jù)文[4]可知, 有如下Lipschitz估計和C1,α(BR(x0))估計: 存在正常數(shù)C=C(n,p,γ),使得對0

且存在β ∈(0,1)(僅依賴于n,p)和常數(shù)C=C(n,p,γ), 使得對0

下面回憶一個基本不等式(見文[13]中引理2), 在證明中很有用: 設(shè)A=(aij)滿足一致橢圓條件, 有常數(shù)0<γ <1使得

則存在常數(shù)C=C(p,γ), 使得

特別的, 當(dāng)p ≥2時, 有

引理2.3[13]令v ∈W1,p(BR(x0))是具有常系數(shù)方程的Dirichlet邊值問題(2.24)的弱解,則存在常數(shù)C=C(γ)使得對所有0<ρ

而且對|u|≤M, 有極大值定理成立, 即

引理2.4令u ∈W1,p ∩L∞(Rn)是方程(1.3)的弱解,v ∈W1,p(BR)是具有常系數(shù)方程的Dirichlet邊值問題(2.24)的弱解, 則存在常數(shù)C=C(n,p,γ,M)使得

證由方程(1.3)和邊值問題(2.24)弱解的定義, 取φ=)做檢驗函數(shù), 有

對上式恒等變形得

記上式為I1=I2+I3+I4, 下面分兩種情況進行證明.

情況1p ≥2.估計I1, 由式(2.29)可得

估計I2.首先定義

根據(jù)文[15]中的式(3.16), 即對任給ξ ∈Rn,

于是有

估計I3.由Young不等式得

估計I4.由引理2.3,|u|≤M,|v|≤M, 于是|u ?v|≤2M.利用自然增長條件式(1.5), 有

綜上, 有

取ε1,ε2足夠小, 使得ε1C+ε2C <1, 即有

于是有

利用推論2.2, 推論2.1, 和John-Nirenberg不等式(1.7), 有

情況2 1

令ε0足夠小, 使得ε0C <1, 有

由于I1=I2+I3+I4, 結(jié)合情況1中對I2,I3,I4的估計, 即可得出結(jié)論.引理2.4證畢.

3.定理1.1的證明

證首先, 對任意的κ ∈Rn和常數(shù)r, 利用Hlder不等式有

任給球BρR(x0), 其中ρ ∈(0,1)是待定常數(shù).由引理2.4和式(2.27)可得

由引理2.4和式(3.1)可知

于是有

由推論2.1, 有

令ρ和R足夠小, 使得式(3.4)即

使用引理2.1的迭代理論, 可得

最后使用極大函數(shù)的Fefferman-Stein定理, 可得