第一類弱奇異Volterra積分方程解的漸近展開式

劉思靖, 王同科

(天津師范大學數(shù)學科學學院, 天津 300387)

1.引言

積分方程是近代數(shù)學的一個重要分支, 在數(shù)學、物理、力學中應(yīng)用廣泛[1-4].本文考慮第一類卷積核Volterra積分方程, 其形式如下

其中C為給定常數(shù), 自由項f(x)和核函數(shù)k(x)已知.若k(x)中含有x?α,0<α<1或logx, 則方程(1.1)稱為代數(shù)弱奇異或?qū)?shù)奇異Volterra積分方程.當核函數(shù)k(x) =x?α時, 該方程可轉(zhuǎn)化為第二類Volterra積分方程, 其形式為[5]13

顯然當C0時, 上式無法給出解的顯式表達式.當k(x)=logx時, 其解為[5]13

其中γ=0.577216···為Euler常數(shù)(下同), 該解要求f′(0)存在, 且當x>0時,f(x)二階可導(dǎo).

積分方程可以用解析方法求解, 但僅對一些簡單的方程有效, 如Polyanin等[5]給出了一些方程的解析解.更多的研究集中在方程的數(shù)值求解方面, 如HUANG等[6]使用Taylor展開對未知函數(shù)求和, 得到一個近似解; Mundewadi等[7]基于Hermite小波方法將Abel積分方程簡化為代數(shù)方程求解; XIANG[8]使用Laplace變換導(dǎo)出帶有高振蕩核的Volterra積分方程解的表達式, 并利用Clenshaw-Curtis-Filon型方法求其近似解; YANG[9]通過Laplace變換將奇異的Volterra積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程, 結(jié)合Taylor展式及Laplace逆變換求出數(shù)值解.需要指出的是, Laplace變換作為一個重要的數(shù)學工具, 在各類線性微分和積分方程的求解中起著重要作用, 其難點在于逆變換的計算.

本文考慮自由項f(x)在x=0點含有代數(shù)和對數(shù)奇性, 并在此處成立以下的級數(shù)展開式

在(1.2)式中若αk取值為實數(shù)(包括無理數(shù)), 則稱此級數(shù)為psi級數(shù)[10]; 若αk取值僅為有理數(shù),稱此級數(shù)為Puiseux級數(shù)[11].本文考慮αk為實數(shù)的一般情形.我們通過Laplace變換導(dǎo)出積分方程(1.1)的解在零點及無窮遠點(僅對核函數(shù)代數(shù)奇異情形)漸近展開式的一般形式, 其在零點的展開式可以作為方程(1.1)當x比較小時的近似解; 其在無窮遠點的展開式可以作為方程(1.1)當x比較大時的近似解.對這些展開式做Pad逼近[2]還可以提高近似解的精度.最后給出實例來說明展開式的正確性以及本文方法的有效性.

2.Laplace變換及其逆變換

本節(jié)為預(yù)備知識, 給出Laplace變換及其逆變換的各種類型漸近展開式.

定義1給定一個函數(shù)f(x), 它的Laplace變換定義為

其逆變換為[12]

引理1[13]設(shè)f(x)在零點存在形如(1.2)的psi級數(shù)展開式, 其中αk(k= 1,2,3,···)為實數(shù),滿足?1<α1<α2<···→∞,σk,j為非負整數(shù).則F(s)在無窮遠點的psi級數(shù)展開式為

引理2[11]設(shè)F(s)在無窮遠點成立psi級數(shù)展開式

(i) 若βk為實數(shù), 并滿足0< β1< β2< ··· →∞,μk,j為非負整數(shù), 則F(s)的Laplace逆變換f(x)在x=0點的展開式為

(ii) 若βk(k=1,2,···)為實數(shù), 并滿足0≤β1<β2<···→∞,μk,j為負整數(shù), 則

引理3[13]設(shè)F(s)當s →∞時一致趨向于0, 其在s=0點的psi級數(shù)展開式為

其中γk(k= 1,2,···)為實數(shù)并滿足?N0< γ1< γ2< ··· →∞,ρk,j及N0為非負整數(shù).進一步假設(shè)F(s)含有非零奇點si(i=1,2,··· ,M), 且成立如下的Laurent級數(shù)展開式

其中vi ≥0(i=1,2,··· ,M).則F(s)的逆變換f(x)在x=∞點具有如下形式的psi級數(shù)展開式

引理4設(shè)β ≥0, b為任意實數(shù),λ為非負整數(shù), 則有

應(yīng)用(2.5)式對G2(s)進行Laplace逆變換, 可得

再對G1(s)應(yīng)用(2.4)式, 可知(2.9)式成立.

3.方程解的漸近展開式

對積分方程(1.1)兩邊作用Laplace變換, 應(yīng)用卷積定理[12], 得

其中U(s) =L[u(x)],K(s) =L[k(x)],F(s) =L[f(x)].顯然對U(s)求逆可得方程(1.1)的精確解u(x), 但通常情況下難以實現(xiàn).下面針對一些重要的核函數(shù)求u(x)在零點和無窮遠點的漸近展開式.

我們先求解在零點的漸近展開式.設(shè)f(x)在零點的psi級數(shù)為(1.2)式, 則其Laplace變換F(s)在無窮遠點的psi級數(shù)為(2.2)式.當k(x)=x?αlogμx,0<α<1,μ為非負整數(shù)時, 有[13]

則由(2.2)式

對于這種一般情形,可以由數(shù)學軟件求出U(s)在s=∞點的有限項級數(shù)展開式,進而由引理2或引理4求出u(x)在x=0點的有限項psi級數(shù)展開式, 下面討論三種常用的重要情形.

(I)μ=0的情形

定理1設(shè)f(x)在零點的psi級數(shù)為(1.2)式, 且k(x)=x?α, 則方程(1.1)的解u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為

證 當k(x)=x?α時,K(s)=Γ(1?α)sα?1.當s →∞時, 有

則U(s)在s=∞點的展開式為

則由引理2(i)可知, 積分方程(1.1)的解u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為(3.3)式.

(II)α=0, μ=1的情形

定理2設(shè)f(x)在零點的psi級數(shù)為(1.2)式, 且k(x)=logx, 則方程(1.1)的解u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為

證當k(x) = logx時,K(s) =?s?1(logs+γ).則sK(s)+C=?(logs+γ ?C), 從而U(s)在s=∞點可展開為

則由引理4可知, 積分方程(1.1)的解u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為(3.4)式.

(III) 0<α<1, μ=1, C=0的情形

定理3設(shè)f(x)在零點的psi級數(shù)為(1.2)式, 且k(x) =x?αlogx, 則方程(1.1)(C= 0)的解u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為

其中ψ(1?α)=?！?1?α)/Γ(1?α).

證當k(x)=x?αlogx時,K(s)=sα?1(Γ′(1?α)?Γ(1?α)logs).從而U(s)在s=∞點可展開為

則由引理4可知, 積分方程(1.1)的解u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為(3.5)式.

由于我們假定f(x)在零點具有一般形式的psi級數(shù)展開式, 所以u(x)在x= 0點的展開式非常復(fù)雜.若f(x)不包含對數(shù)項, 即則(3.3)、(3.4)和(3.5)式可分別化簡為

其中(3.6)式中的Mittag-Leffier函數(shù)En1,n2(z)定義為

注1Linz[14]僅給出了(3.6)式中的第一項, 此處我們給出了方程的解在x= 0點的無窮項級數(shù)展開式.由(3.3)和(3.6)知, 只要f(0)= 0(對應(yīng)α1= 0), 則方程(1.1)的解u(x)在x= 0點一定奇異, 而這種奇異性質(zhì)完全由(3.3)和(3.6)式刻畫出來.在設(shè)計數(shù)值算法時, 我們應(yīng)當考慮解的這種奇異性質(zhì).

注2若f(x)在零點的展開式為有限項, 則(3.4)和(3.7)式即為方程(1.1)的精確解.例如取f(x)=1,C=1, 則方程(1.1)為

由(3.7)式可得

為方程(3.9)的精確解.

本小節(jié)針對三種常見的核函數(shù)給出了積分方程(1.1)的解在零點的漸近展開式, 這些展開式顯式地給出了u(x)與f(x)之間的依賴關(guān)系, 刻畫了u(x)在x= 0點的奇異性質(zhì).注意到(3.4)和(3.7)的展開式中含有特殊形式的無窮積分, 當C ?γ <0時, 可通過Gauss-Laguerre求積公式來計算.

方程(1.1)的解在x= 0點的漸近展開式當x比較小時有比較高的精度, 通常我們僅取解的有限項級數(shù)展開式, 記為up,0(x).為了擴大級數(shù)的收斂域, 我們進一步求出up,0(x)的Pad逼近,記為ur,0(x).為了檢驗級數(shù)的逼近效果, 定義誤差函數(shù)

讓x由小變大通過計算一些eξ,0(x), 來判斷級數(shù)解的逼近精度.

下面我們推導(dǎo)方程的解在無窮遠點的漸近展開式, 只考慮μ=0和0<α<1的情形.

定理4設(shè)F(s)當s →∞時一致趨向于0, 且在零點的psi級數(shù)為(2.6)式.對于核k(x) =x?α, 考慮以下幾種情形.

(I)F(s)除s=0外無其它奇點.

(i)C=0, 積分方程(1.1)的解在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

(ii)C >0, 積分方程(1.1)的解在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

(iii)C <0, 積分方程(1.1)的解u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

(II)F(s)有其它奇點, 形如(2.7)式.此時, 記h(s)=

(i)C ≥0, 積分方程(1.1)的解u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

(ii)C <0, 積分方程(1.1)的解u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

證當k(x)=x?α時,K(s)=Γ(1?α)sα?1.當s →0時, 若C=0, 則有

(I)(i)當F(s)除s=0點外無其它奇點,且C=0時,U(s)除s=0點外無其它奇點.由(3.1)式可知U(s)在s=0點的展開式為

由引理3可得u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式up,∞,0(x), 如(3.10)式所示.

(I)(ii) 當F(s)除s= 0點外無其它奇點, 且C >0時,U(s)除s= 0點外無其它奇點.由(3.15)知U(s)在零點的展開式為

由引理3可得u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式up,∞,C(x), 如(3.11)式所示.

(II)(ii) 當F(s)有非零奇點, 且C <0時,U(s)有奇點si(i= 0,1,··· ,M).不妨設(shè)U(s)的這M+1個奇點互異,其中s0為sK(s)+C的零點.則直接計算可得U(s)在s=s0點的Laurent級數(shù)展開式為

其中v0≥0為整數(shù).將h(s)在si(i=1,2,··· ,M)點做Taylor展開, 有

由U(s)=F(s)h(s), 可得U(s)在s=si點的Laurent級數(shù)展開式為

其中vi ≥0為整數(shù).分別對上述展開式做Laplace逆變換, 可得

注意到U(s)在零點的級數(shù)展開式仍為(3.16), 由引理3可知u(x)在x=∞點的級數(shù)展開式為up,∞,C(x)+us0(x)+即展開式(3.14)成立.其它情形顯然成立.本節(jié)針對一些核函數(shù)求出了方程(1.1)的解在零點及無窮遠點的psi級數(shù)展開式, 對于這些級數(shù)展開式進行收斂性分析是一項非常困難的工作.目前已知Hemmi等[10]針對非線性常微分方程的psi級數(shù)解討論了收斂性.正如Olver[15]所言: 不管函數(shù)的漸近展開式是否收斂, 它們都可以在數(shù)值計算中發(fā)揮重要作用.一般來說, 我們應(yīng)當使用交叉驗證的方法判斷這些級數(shù)的精度.例如, 對于解在零點的漸近展開式通過定義誤差函數(shù)可以得到級數(shù)解的有效范圍; 再如, 對于解在無窮遠點的漸近展開式, 如果它和解在零點的展開式在某一個有限區(qū)間內(nèi)匹配很好, 則可以認為兩個展開式都正確, 而且x越大, 該展開式的逼近越精確.另外, 我們還可以使用數(shù)值方法來檢驗兩種形式的漸近展開式的正確性和有效性.

4.數(shù)值算例

本節(jié)給出幾個算例說明解的漸近展開式的正確性及有效性.

例1考慮第一類線性弱奇異Volterra積分方程

其精確解可由數(shù)學軟件求出, 但表達式很復(fù)雜, 不再給出.對方程(4.1)進行Laplace變換, 得

將U(s)在s=∞點進行級數(shù)展開, 由定理1或(3.6)式, 可得到u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為

由此可知, 解u(x)在x= 0點弱奇異.由于U(s)有兩個一階極點s1= i和s2=?i, 分別將U(s)在這兩點做Laurent級數(shù)展開, 可得

進一步將U(s)在s=0點進行級數(shù)展開, 由定理4, 可得u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

對up,0(x)取到x30, 對up,∞(x)取到1/x10, 并對它們分別做Pad逼近, 結(jié)果為

對上述四個展開式up,i(x),ur,i(x)(i= 0,∞)分別在(0,200]上繪制絕對誤差對數(shù)圖形, 如圖1所示, 其中ei= log10|u(x)?up,i(x)|;er,i= log10|u(x)?ur,i(x)|, i= 0,∞.從圖1可以看出, 當x足夠小時, 展開式up,0(x)及ur,0(x)都有著很高的精度; 當x逐漸增大時, 展開式up,∞(x)及ur,∞(x)的精度逐漸提高.盡管在零點及無窮遠點的級數(shù)展開式及Pad逼近式的精度都很高, 但我們發(fā)現(xiàn)在圖1左右兩圖中交點的誤差還是Pad逼近后的精度高于原級數(shù),這說明我們所做的Pad逼近能夠提高級數(shù)的逼近精度, 并且由此我們還得到例1的解在全區(qū)間(0,∞)上的級數(shù)展開式, 即當x ≤9時, 用ur,0(x)近似u(x); 當x>9時, 用ur,∞(x)近似u(x), 則總體逼近精度可達到10?5量級.

圖1 例1解的展開式絕對誤差對數(shù)圖形

例2考慮第一類線性弱奇異Volterra積分方程

由定理1, 可得到u(x)在x=0點的psi級數(shù)展開式為

在上式中n取到21, 求其Pad逼近, 得

由up,0(x)和ur,0(x)的表達式知該方程的解在x=0點代數(shù)且對數(shù)奇異.

由于U(s)有一個一階極點則由定理4, 可得u(x)在x=∞點的psi級數(shù)展開式為

在上式中n取到10, 并進一步求出u(x)在x=∞點的Pad逼近式

本例無法求出精確解, 我們通過對Laplace變換U(s)在區(qū)間(0,90]上進行數(shù)值結(jié)果比對,部分結(jié)果在表1中列出, 其中uc(x)代表Laplace逆變換數(shù)值解, 由固定Talbot方法[16]得到.在表1中eξ,0=|uc(x)?uξ,0(x)|;reξ,∞=|uc(x)?uξ,∞(x)|/|uc(x)|, ξ=p,r.由于該問題的解不穩(wěn)定, 當x足夠大時, 數(shù)值增長很快, 我們?nèi)∠鄬φ`差來估計精度.從表1可以看出, 當x足夠小時,up,0(x)與Pad逼近ur,0(x)都有較高的精度, 還可發(fā)現(xiàn)Pad逼近ur,0(x)不但精度高而且收斂范圍較大; 當x逐漸增大時,up,∞(x)與ur,∞(x)的精度逐漸提高, 但仍發(fā)現(xiàn)Pad逼近ur,∞(x)精度相對更高.從表1中還可發(fā)現(xiàn)當x= 20時,ur,0(20) 與ur,∞(20) 的精度接近, 均在10?7量級.由此可知, 當x ≤20時, 用ur,0(x)計算, 當x >20 時, 用ur,∞(x)計算, 則可得到在全區(qū)間(0,∞)上至少具有10?7精度的近似解表達式.

表1 例2計算結(jié)果對比

例3取f(x) =其中K0(x)為第二類零階變形Bessel函數(shù), 其在x= 0點的級數(shù)展開式為

考慮兩種核函數(shù)k1(x)=logx,C1=1/2和k2(x)=x?1/2logx,C2=0.方程(1.1)可寫為

對方程(4.3)進行Laplace變換, 得

上式中K(y), E(y)分別為第一類和第二類完全橢圓積分, 定義為

直接由Mathematica對Ui(s)(i=1,2)在s=∞點進行級數(shù)展開, 得

則由定理2和定理3可得ui(x)(i=1,2)在x=0點的展開式前幾項為

定義誤差函數(shù)ep,i(x) = log10|uc,i(x)?up,i(x)|, i= 1,2, 其中uc,i(x)代表Laplace逆變換數(shù)值解, 由固定Talbot方法[16]得到.對上述誤差函數(shù)在(0,4]內(nèi)繪圖, 如圖2所示.由圖2可知展開式up,i(x)(i= 1,2)在零點附近具有很高的精度, 但隨著x的增大展開式的精度逐漸下降, 需使用數(shù)值方法求解.由于此時已經(jīng)分離出解的奇性, 利用該展開式, 高精度數(shù)值算法的設(shè)計將更加容易.

圖2 例3展開式up,i(x)(i=1,2)的絕對誤差對數(shù)圖形

5.總結(jié)

本文對于第一類線性弱奇異Volterra積分方程, 用Laplace變換方法研究解在零點及無窮遠點(僅對代數(shù)奇異核)的漸近展開式.這些展開式的作用體現(xiàn)在兩個方面, 一是揭示了方程的解在零點及無窮遠點的漸近性質(zhì); 二是這些展開式可以作為方程的解當自變量變小或變大時的近似解.最后通過一些例子說明了展開式的正確性和有效性.相比于其它求解方法, 本文方法不僅可以分離出解的奇異部分, 還可能在部分問題的計算中得到方程在全區(qū)間上的近似解.